课件-全微分与梯度

4.全微分的概念全增量:

设

z=f(x,y)

在点P(x,y)

的某邻域内有定义,全增量z

f

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y)定义:

如果

z=f(x,y)

在点

(x,y)

的全增量z

f

(x

x,y

y)

f

(x,y)

可以表示为z

A

x

B

y

(

)仅与x,y有关

(x)2

(y)2则称z=f(x,y)

在点(x,y)

可微分dz

A

x

B

y

称为z=f(x,y)

在点(x,y)

的全微分z

xyz

(

x

x)(

y

y)

xy

yx

xy

xy

A

x

B

y

(

)xy(x)2

(y)2全微分特征:

0 (x

0,

y

0)xxyy全微分是自变量增量的线性函数;全微分与全增量之差是比

高阶的无穷小(

0)z

dz

o(

)函数若在某区域D

内各点处处可微分，则称这函数在D

内可微分.5、可微的条件定理

3（必要条件）

如果函数

z

f

(

x,

y)

在点

(

x,

y)

可微分,

则函数在该点连续.lim

z

lim[

A

x

B

y

(

)]

0x0y0x0y0函数在某点不连续

不可微定理5(可微的必要条件)x0若函数z=f(x,y)

在点(x,y)可微分,则称它在该点的偏导数必存在,且

dz

z

x

z

y

f

x

(

x0

,

y0

)x

y证明：由已知

z

A

x

B

y

(

)

x

z

A

x

(|

x

|)

y

z

B

y

(|

y

|)x

A

z

x

z

A

o(|

x

|)

A, (x

0)x

x函数在某点至少一个偏导数不存在

不可微xlim

f

(

x0

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

)一元函数在某点的导数存在多元函数的各偏导数存在例0x2微分存在．全微分存在．

y2

0.

y2

0x2

y2x2xy如，

f

(

x,

y)

在(0,0)处，

f

x

(0,0)

f

y

(0,0)

0.但函数在该点处并不连续.

在这点不可微x2f

(

x,

y)

y2

,

在(0,0)处连续,在这点不可微但f

x

(0,0),f

y

(0,0)

不存在.结论： 函数可微

两个偏导数存在连续反之不一定成立（4）

x

y

,(x)2

(y)2当

(x)2

(y)2

0时是无穷小量.思考题函数z

f

(

x,

y)在点(

x0

,

y0

)处可微的充分条件是:f

(x,y)在点(x0

,y0

)处连续；f

(

x,

y)、

f

(

x,

y)在点(

x

,

y

)的x

y

0

0某邻域存在；（3）z

f

(

x,

y)x

f

(

x,

y)y

，x

y当

(x)2

(y)2

0时是无穷小量；z

f

(

x,

y)x

f

(

x,

y)y定理6(可微的充分条件)若函数z=f(x,y)

的偏导数在点(x,y)

连续,则函数在该点可微.注意:反之不然.z

z上，记全微分为

dz

x

dx

y

dy.全微分的定义可推广到三元及三元以上函数du

udx

udy

udz.x

y

z例.求

z

e

xy

在(2,1)点的全微分xyz

ye

xy

,

z

xe

xyzy

1x

x

2

e2

,

z

2e2

,y

1y

x

2

dz

e2dx

2e2dy2例.求u

x

sin

y

e

yz

的全微分xu

1,u

1

cos

y

ze

yz,y

2

2zu

ye

yz

du

dx

(

1

cos

y

ze

yz

)dy

ye

yz

dz2

2多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导6、全微分在近似计算中的应用z

f

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y)

z

x

z

y

o(

)

当

x

,

y

很小时,有x

y(1) f

(

x

x,

y

y)

f

(x,y)

f

x

(x,y)x

f

y

(x,y)y.近似计算

z

dz

f

x

(x,y)x

f

y

(x,y)y.误差估计例 计算(1.04)2.02

的近似值.解

设函数

f

(

x,

y)

x

y

.取x

1,

y

2,

x

0.04,y

0.02.f

(1,2)

1,y1fx

(

x,

y)

yx

,fy

(

x,

y)

x

y

ln

x,

f

(1,2)

2,

f

(1,2)

0,xy由公式得(1.04)2.02

1

2

0.04

0

0.02

1.08.cu例

已知

f

(c,

)

c

sin求

f

(2.1,310

)0解:

取

c

2,

c

0.1,,600

30

1800

1

6c6

6fc

(c,

)

sin

,

f

(c,

)

c

cos

,

f

(2.1,310

)

f

(2,

)

f

(2,

)c

f

(2,

)例 有一圆柱体,

受压后发生变形,

它的半径由

20cm

增大到

20.05cm,高度由

100cm

减少到

99cm求此圆柱体体积变化的近似值．解设圆柱体的半径为

r高为

hV

r

2h体积为

V

则有记

r,

h,

V

的增量分别为

r,

h,

V则有V

dV

Vr

r

Vhh

2

r

h

r

r

2h将

r

20

h

100

r

0.05

h

1V

200代入上式得：即此圆柱体在受压后，体积减少了

200

cm3x的绝对误差为

|

x

x0

|

xy的绝对误差为z的绝对误差为|

y

y0

|

y|

z

z0

||

z

||

dz

||

f

x

(

x,

y)x

f

y

(

x,

y)y

||

f

x

(

x,

y)

||

x

|

|

f

y

(

x,

y)

||

y

||

f

x

(

x,

y)

|

x

|

f

y

(

x,

y)

|

yZ的绝对误差限

zz

f

(

x,

y)z|

z0

|

相对误差限方向导数与梯度方向导数的定义及意义梯度的定义及意义实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是

(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、问题的提出(k

0)T

(

x,

y)

y2x2k

x

yyxoP0的某一邻域内有定义，自点

P0沿向量

el

{cos

,

cos

}的方向引一条射线

l，点P(x,

y)是l上的任意一点，elPl函数z

f

(

x,y)在一点P0沿某一方向的变化率问题．定义

设函数z

f

(

x,

y)在点P0(

x0

,

y0

)设|

PP0

|

二、方向导数的定义0当P

沿着l

趋于P时，若P0z

|l沿方向l

的方向导数，记作存在，则称这个极限为函数z=f(x,y)在点P0处|

PP0

|lim

f

(

P

)

f

(

P0

)P

Pf

(

x,

y)

f

(

x0

,

y0

)即

lim

0注.方向导数是单方向的，它是一个数.x

2函数z

f

(

x,

y)

y2

在(0,0)点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？两个偏导数均不存在.沿任意方向l

{x,y}的方向导数,

0(0,0)z

lim

f

(

x,

y)

f

(0,0)l

1

lim

y2x2

y2

0

x2故沿任意方向的方向导数均存在且相等.O.P(x,y)x

y证明：由已知

f

f

x

f

y

(

)定理

如果函数

z

f

(

x,

y)

在点

P(

x,

y)

是可微分的,则函数在该点沿任一方向

l

的方向导数都存在，x

yz

f

cos

f

cos

l其中

cos

, cos

为

l

的方向余弦．f

f

x

f

y

(

)

x

y

f

cos

f

cos

o(

)x

y例 如果 在一座小山上，这座山各点的高度，可用函数

f(x,y)=3x2+4y2来表示，已知 所在的位置是(1,2,19)，试求在方向a={3,4}上的坡度（即方向导数）高度沿某个方向的变化率即是这个方向的山的坡度解：fx

6

x,

f

y

8

y(1,2)

f

x

(1,2).cos

f

y

(1,2)cos

a

f

|5

5

6

1

3

8

2

425

16推广可得三元函数方向导数的定义设

u

f

(

x,

y,

z)，则它在点

P(

x,

y,

z)

沿方向

l

{l1

,

l2,

l3

}的方向导数定义为

u

lim

f

(

x

x,

y

y,

z

z)

f

(

x,

y,

z)

0

l(x)2

(y)2

(z)2其中

其计算公式为x

y

z

lu

f

cos

f

cos

f

cosx

y

z

{f

,

f

,f

}{cos

,

cos

,

cos

}例

求

u

xyz

在点

(5,

1,

2)

处沿从点

(5,

1,

2)

到点

(9,

4,

14)的方向的方向导数．解

方向

l

{4,

3,

12}

其单位向量为,

,13

13

13

4

3

12l

0

u

yzx方向导数为u

xz

u

xyy

z13

13

13

l

u

{

yz,

xz,

xy}

4

,

3

,

12

4

yz

3

xz

12xy13故

9813(5,1,2)

u

l问题

:

函数在点

P

沿哪一方向增加的速度

最快?定义

设函数z

f

(

x,

y)在平面区域

D

内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(

x,

y)

D，都可定出一个向量f

i→

f

→j

，这向量称为函数x

yz

f

(x,y)在点P(x,y)的梯度，记为gradf

(

x,

y)

f

→ f

→i

j

.x

y

f

(

x,

y)三、梯度的概念结论函数在某点的梯度是这样一个向量，沿着这个方向，函数在这点的方向导数取得最大值,而它的模为这个最大值．梯度的模为.

f

(

x

,

y

)

l

00

00

0cos

f

|

f

|(

x0

,

y0

)(

x0,

y0

)(

x0

,

y0

)ycos

f

|xl|

f

(

x

,

y

)

|

cos

0

0|

f

(

x0

,

y0

)

|,

|

f

(

x

,

y

)

|,

0

|

f

(

x0

,

y0

)

|0

00

0|2|

2(

x

,

y

)(

x

,

y

)yx

f

f例

函数

z

arctan

1

x1

y在（0，0）点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导数的值。

21

1

12

1

y(0,0)(

0,0)1

1

x

z解：x

1

y