微积分学课件-03第3讲数列极限

高等院校非数学类本科数学课程大学数学（一）——

一元微积分学第三讲 数列的极限编写、教案制作：

中孟益民第二章数列的极限与常数项级数本章学

：了解数列极限的概念，会用《

N》语言描述数列的极限。正确理解

和N

的含义。熟悉数列极限的性质和收敛准则。熟悉无穷小量的概念和性质。能熟练运用“放大不等式”法、“

定理”以及极限运算法则计算数列的极限或简单的极限证明。理解常数项级数概念和性质。掌握级数收敛的必要条件以及收敛级数的基本性质。熟悉常数项级数的收敛判别法。掌握交错级数收敛判别法。熟悉等比级数、调和级数、P－级数的敛散性第二章数列的极限与常数项级数第一节数列的极限一、数列及其简单性质二、数列的极限三、数列极限的性质设f

(n)是以正整数集Z＋为定义域的函数.n

n将

f

的值域

f

(Z

)

{

x

|

x

f

(n),

n

N

}中的元素

xn

,

按自变量

n

增大的次序排列出来所得到的一串数：x1,

x2

,

,

xn

,

称为一个数列,

记为{

xn

}.1.

定义数列中的每一个数称为数列的一项xn

=f

(n)

称为数列的通项或一般项一、数列及其简单性质数列也称为序列2.

数列的表示法公式法图示法表格法运用数轴表示运用直角坐标系表示0

2

42nx1

x2

xn…x…•••••

••••••••••……例1介绍几个数列(1) {2n

}: 2,

4,

8,,

2n

,通项:xn

2.nx2x12

n1x0…

xn

…

x3•••••

•••••,

,

,2

4

8

21

1

1

,

1

,(2)n2

n

1

:2nn通项

:

x

1

.01x2n–1x2n1x(3)

{

(1)n1}:

1,

1,

1,

1,,

(1)n1,通项

:

x

(1)n1.n所有的奇数项所有的偶数项xn2Mx2n1x41x21•

•

•

•

•x2n1•

•

•

•

•0x1x

3,(4)nn1

(1)n

: 0,

1,

0,

1

,

0,

1

,

,2

31

(1)n

.n1

(1)n通项：

xn

所有奇数项x0x112n…

xn…

1x2

x32

3

…3

4

n

1•

•

•

•

••

•

•

•

•…,

,

, ,

,1

2

3(5)1

2

3

4

:n

n

1n

n.n

n

1n通项

:

x

3.

数列的性质单调性有界性(1)

数列的单调性若{xn

}

满足

x1

x2

xn

,

则称{xn

}

严格单调增加,

记为

xn

.单调增加若{xn

}

满足

x1

x2

xn

,

则称xn

单调增加},

{也记为

xn

.不减少的数列单调减少的情形怎么定义？有说一说.若{xn

}

满足

x1

x2

xn

,

则称{xn

}

严格单调增加,

记为{xn

}

.单调减少若{xn

}

满足

x1

x2

xn

,

则称{xn

}单调增加,

也记为{xn

}

.不增加的严格单调增加(单调增加)严格单调减少(单调减少)单调增加(不减少的)单调减少(不增加的)统称为单调数列数列(2)

数列的有界性回想一下前面讲过的函数的有界性的情形我学过吗？Ox若

M

0,

使得当

x

I

时,

有

|

f

(

x)

|

M

成立,则称函数f

(x)在区间I

上有界.yM

My

My

M()Iy

f

(

x)数列的有界性的定义若

M

0,

使得

|

xn

|

M

,

n

N

成立,则称数列{xn

}

有界.

否则称

xn

是

的.想想：有界的数列在数轴上和在直角坐标系中的图形会是什么样子？|xn

|

<

M*,

n

N

xn

U(

0,

M*

),

n

N从数轴上看,

有界数数列

{

xn

}

的全部点都落在某区间

(－M*,

M*

)中.)x0M*xn(

•••••

•••••－M*例2x2x12

n1x0…

xn

…

x3•••••

•••••,

,

,2

4

8

21

1

1

,

1

,(1)n2

n

1

:22

1

,n有界(可取

M

1

).观察例1

中的几个数列：0

1–1x2nx2n1x{(1)n1}

不单调,

但有界(可取

M

1

).(3)

{

(1)n1}:

1,

1,

1,

1,,

(1)n1,xn2x2n1x41x21•

•

•

•

•x2n1•

•

•

•

•0x1x

3M,(3)nn1

(1)n

: 0,

1,

0,

1

,

0,

1

,

,2

31

(1)n

n1

(1)n

不单调,

但有界(可取

M

1

).x0x1

x2

x31

22

3n…

xn…

13

…4

n

1•

•

•

•

••

•

•

•

•…,

,

, ,

,1

2

3(4)1

2

3

4

:n

n

1n

n1n

n

,

有界(可取

M

1

).xn0

2

42nx1

x2…x…•••••

••••••••••……(5) {2n

}:

2,

4,

8,

,

2n

,

n

,}(但下方有界：xn

2).有些数列虽然,

但它或者是下方有界的,

或者是上方有界的.若

xn

M

,

MR

,则称{xn}有上界.若

xn

m

,

mR，则称{xn}有下界.{

xn}:有界

既有上界又有下界.m

xn

M

,取M

*

max{|

M

|,|

m

|},则

M

*

xn

M

*,即|

xn

|

M

*.数列{xn

}的所有上界中的最小者,称为数列的上确界,

记为

sup

xn

.数列{xn

}的所有下界中的最大者,称为数列的下确界,

记为

inf

xn

.一个数列有界(有上界,

有下界),

则必有无穷多个界(上界,

下界).若对M

0,

至少存在一个n0

,

使得|

xn

|

M

成立,

则称数列{xn

}

是

的.0现在来

如何定义数列的无有界性：若M

0,

使得|

x

|

M

,

n

Z

成立,n首先看有界性定义的关键所在使不等式不成立0若有一个n则称数列{xn

}有界.M

这么办？对所有的例3证明数列{2n

}

是

的.M

.|证

,

即要对M

找一个n0

使xn0(不妨设M

1),令

|

2n

|

M

,

则

n

log

M2log2MM

1,

当取

n

M

时,

logn0

M

.0

2证

M

1

0

,取

n0

[log2

M

]

1,

则

[log2

M

]

1

log2

M

0,n0|

x

|

|

2n0|

|

2[log2

M

]1

|

|

2log2

M

|

M

.由定义可知数列{2n

}

是

的.二、数列的极限n1

(1)nn

n

10

1由前面

看到：当

n

无限增大时,1

02n极限描述的是变量的变化趋势.数列

n10(1)n

当n

无限增大时的变化趋势.容易看出:

当

n无限增大时,无限地趋近于零.10n(1)n10

1103

1

1

102

n

1

1

1102nx1x3

x2n-1x2n

x4x2

1104

102x0(())(

)•••

•••

••••

•••

*•••

••••

•••

•••

0

0,

从某一项开始,以后的所有项就都落在U(O,

)中了.U(O,

1)

1U(O,

)“n

无限增大”记为n

.此时称数列nn10(1)n

{x

}

当n

时以零为：极限,

记为

lim

0.n(1)nn

10这就是该数列的变化趋势(1)n

0

.10n10n(1)n无限地接近于0

”记为“

的图上看,nn10(1)n

{x

}

从数列10

1

1

1

102

n

1

1

102n

1x1x3

x2n-1x2nx4x2

1103

104

102x0

((())

)•••

•••

••••

•••

*•••

••••

•••

•••量化表示：n

时,xn

a

.xn

U(O,

)

|

xn

0

|

.预先任意给定一个正数

>0,

不论它的值多么小,

0

0

(1)n10n|

xn

0

|

当

n

无限增大时,

数列{

xn

}

总会从某一项开始,N

0,以后的所有项当n

N

时,都落在U(0,

)中.（在U(0,

)外面只有有限项）

010n(1)n

0

N

0,当n

N

时,lim

0

:(1)nn

10n其中,

0

是描述点xn

与点0

无限接近的n度量标准,

它是预先任意给定的,与{x

}的极限存在与否无关.N

是否存在,

取决于数列

{xn

}

本身.数列有极限,则N

存在;数列无极限,则N不存在.如果

N

存在,

则其不唯一,

所有大于N的正整数均可取作为N.

并且N

与

有关,可记为N

N

(

),

一般说来,

值越小,

则N

的值越大.由N

存在与否判断数列的极限是否存在.n

>N

描述n

.通过目标不等式来寻找N>0,N

=

N().不等式

0

(1)n10n称为目标不等式.lim

xn

a.n一般地,

如果数列{xn}

当

n

时,xn

可以无限地趋近某个常数

a,

则称数列{xn}

当

n

时以

a

为极限,

记为此时,

也称数列是收敛的.例4nn

21limn1

(1)nlimnlimnn

n

1

0

0

1(n

)

.记为

lim

xn

a,

或

xn

an此时,

也称数列{

xn

}

是收敛的.若{

xn

}当

n

时没有极限,

则称{

xn

}发散.

0

,

若

N

0

,使当

n

N

时,|

xn

a

|

成立,

则称数

a

为数列{xn

}当n

时的极限,极限描述的是变量的变化趋势数列的项不一定取到它的极限值.数列极限的定义：例5n

2n证明：lim

1

0.证

0,1由n

2n1

0

2n2n

2n

0

1

1

2n12

n

log2

故取

N

max{0,

[log1

]},

则n>N时,由极限的定义,

得

lim

1

0

.一般有lim

an

0 (

|

a

|

1

).n例6n1

证明：lim

sin

0

.n

n证

0,要

1

sin

0

,n

n只要

1

sin

1

,n

n

n故取N

1

,

则当

n

N

时,

sin

0

1

n

n

n

n成立.

由极限的定义可知:limsin

0

.n

n1

n放大不等式法利用极限存在时,

N

不唯一.例7n设{xn}: a,

a,,

a,,

证明

lim

a

a.证

0,取

N

1,

则当

n

N

时,

有|

xn

a

|

|

a

a

|

0

n成立.故由极限的定义可知：lim

a

a.通常说成：常数的极限等于其自身.lim

5

5, lim

(1)

1,

.n

n例8证明:

若

lim

xn

a,

则

lim |

xn

|

|

a

|

.n

n证n因为

lim

xn

a,

所以

0,

N

0,有|

xn

a

|

.当n

N

时,n由绝对值不等式,

得||

xn

|

|

a

||

|

xn

a

|

,故有

lim

|

xn

|

|

a

|

.注意：该例题结论的逆命题不真.

例如,

{(1)n}.例9证(n

2m

1),nlim

xn

a

(n

2m),

lim

xn

an

n则

lim

x

a,

其中

m

Z

.证明：如果{xn

}满足n

0,当n

N

时,(n

2m),

N1

0,由

lim

xn

an(n

2m

1),

N2

0,

当n

N

时,由

lim

xn

an(n

2m);|

xn

a

|

(n

2m

1),|

xn

a

|

取

N

max{N1,

N2},

则当n

N时,

恒有|

xn

a

|

,n故由极限定义得：lim

xn

a.逆命题成立吗？例10证

,nnn

nn

1nn

1,证明:

lim

x

1.当n

为奇数,当n

为偶数,设

x

0,n

1

n

1

,n

n

n要

n

1

1

,

即要故取

N1

[1

],

则当

n

N1

,

n

为偶数时,

有nn

1

1

;n

1

n

1

,n

1

1

,即要同理,

要n

n

n故取

N2

[1

],

则当

n

N2

,

n

为奇数时,

有nn

1

1

;n取

N

max{N1,

N2},

则当

n

N

时,n

1

1

与

n

1

1

同时成立,n

n所以,

当n

N

时,

|xn

1

|

成立,

即lim

xn

1.1.唯一性定理若数列{xn

}收敛,则其极限值必唯一.三、数列极限的性质证

运用反证法设数列{xn

}收敛,但其极限不唯一,不妨设有：lim

xn

a,

lim

xn

b,

a

b.n

n于是,

0,

N1

0,

当n

N1

时, |

xn

a

|

;x

b

|;n

N2

0,当n

N2

时,取

N

max{N1,

N2},

则当

n

N

时,||a|baxxbxaxbn||

||

|2

nnn任意性o数由

的任意性,

上式,故a

=b

.唯一性定理的推论lim

xn

an{xn

}的任何一个子数列都收敛,且均以a

为极限.充分必要条件何谓*数列？子数列的概念在数列

{xn}:

x1

,

x2

,

,

xn

,

中,保持各项原来的先后次序不变,

自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,

称为原数列的一个子数列,

记为{xn

}.k唯一性定理的推论往往用来证明或判断数列极限不存在．例11求lim(1)n1.n解n1xn

(1)

,n1{xn

}:

1,

1,

1,

1,

,

(1) ,

.取子数列：(2n1)1{x2n1}: 1,

1,

1,

,

(1) ,

2n1{x2n

}:

1,

1,

1,

,

(1) ,

而

lim

x2n1

lim

1

1,

lim

x2n

lim

(1)

1,n

n

n

n故lim(1)n1

不存在.n例128n判别

{x

}

{

sin

n

}

的敛散性.解利用函数的周期性,在{xn

}中取两个子数列:(1)

令

n

8k,

k

N

,

得子数列{

sin

n

}

{sin

k

}:

sin

,

sin

2

,

,

sin

k

,

n

nk

N

,

所以8由于

sin

k

0, lim

sin

k

lim

0

0.(2)

令

n

16k

4,

k

N

,

得子数列8

2

2

2{

sin

n

}

{

sin(2k

)}:

sin

5

,,sin(2k

),2)

lim

1

1.nn此时lim

sin(2k

8故由推论可知:{sin

n

}是发散的(即极限不存在).n

0,

N

0,当n

N

时,

有|xn

a

|

|

xn

|

|

a

|

|

xn

a

|

|

xn

|

|

a

|

如果固定

,则似乎可以得到{xn}有界的结论?回想数列的极限lim

xn

a

:2.有界性定理若数列{

xn

}收敛,

则{

xn

}必有界.证n设

lim

xn

a

,

则由极限定义,

取

1

时,

N

0,

当

n

N

时,|

x

a

|

1nn即有

|

x

|

1

|

a

|取

M

max{1

|

a

|,

|

x1

|,|

x2

|,,|

xN

|}则

|

xn

|

M

,

n

N由数列有界的定义得：数列{xn

}收敛,则必有界.该定理的逆命题不真,

即有界数列不一定收敛.例如, {

(－1)

n

}.即数列的极限不存在.有界性定