无穷级数复习讲义

第一节数项级数无穷级数工气收敛的n=0充分条件：数列k｝的前n项和数列怀｝收敛;nn必要条件：lima=0.例1：证明级数工-1收敛.n2n=1证：①教材第二页的证明方法（利用cauchy判则）.上<=上-1n2n(n-1)n-1n②取数列J£,的前n项和Sn.当n>2时，—+——+—+…+—122232上<=上-1n2n(n-1)n-1n<1+1-1+1-1+122311…+一一n—1nn=1例2：研究级数工0.001的敛散性.n=1解：・.・limn0.001=M0,..•级数工n0.001发散.n=1小结：一般来说，cauchy判则没有多大的实用价值，在证明数列收敛时一般不用此法；无穷级数工an收敛的必要条件的逆否命题也是可以利用.n=0收敛级数的性质若级数工an与工气都收敛，以,P是常数，则级数工（aan+叫）也是收敛的.n=1n=1n=1在级数工a”中改变有限项的值，并不改变级数的敛散性.n=1正项级数若a>0，则称工a是正项级数.n=1

正项级数工气收敛的充要条件是它的部分和数列保〃}有界.n=1（例题参见例1）设&与工b都是正项级数，若从某项开始有a<b恒成立，则nnnb则工bn发散;n=1则工a收敛.nn=1n=1n=1⑴.若工a发散，n=则工bn发散;n=1则工a收敛.nn=1npn=1解：证明结果：当p<1时，工-1发散；npn=1当p>1时，工-1收敛.npn=1（详细证明方法参见书本第六页）例4：级数工—发散.lnnn=2例5：工一^收敛.（利用p级数）n、m+1n=1小结：一般在应用比较判别法时，要用到p级数.p级数的应用价值很大，请记住它的敛散性.设工a与工b都是正项级数，lim}=A.TOC\o"1-5"\h\zn=1n=1b⑴.若0<A<+3，则工a与工b同敛散；\o"CurrentDocument"n=1n=1⑵.若A=0，则当工七收敛时，工a”也收敛；n=1n=1⑶.若A=+3，则当工bn发散时，工a”也发散.n=1n=1

例6：切些收敛.n=14n5证明：lnn・.•对于£inn，有今5

n=1n4~9n8重，且血lnn=0，由£1收敛，知£些・.•对于£inn，有今5

n=1n4~9n8重，且血lnn=0，由£1收敛，知£些收敛.n8n1〃=1n:〃"n5小结：一般在应用这一定理时，也要介入p级数来做比值判别.4.（cauchy判别法）设£a是正项级数.n=1⑴.若从某项起，瓯<q<1,则£。〃收敛;n=1⑵.若有无穷多个n，使得。〃2a>0，则£a”发散.n=15.（cauchy判别法的极限形式）设£a是正项级数，lim^a~=q.n=1⑴.当0<q<1时，£a收敛;n=1⑵.当q>1时，£a发散.nn=16.（d'Alembert判别法）⑴.若从某项起当舟<q<

an设£an是正项级数.n=1则£,收敛；n=1则£a发散.nn=1⑵.若从某项起有n>1an7.（d'Alembert判别法）设£a是正项级数，lim当^=q.n=1n⑴.当0<q<1时，£a收敛；n=1nn=1例7：工±(1+1)n2发散.2nnn=1例8：党竺2收敛.,(2n)!n=1小结：一般极限形式更容易解决问题.9.(cauchy积分判别法的极限形式)设f(x)在［1,+钊上有定义，非负且单调递减，则£f(n)与f+wf(x)dx同敛散.1n=1交错级数设a”>0，称级数£(-1)nan为交错。数.n=1设｛a｝单调递减趋于0，则级数£(-1)n-1an收敛，且和不大于a1.n=1例9：£(-1)n-1四收敛.nn=1条件收敛与绝对收敛称£|anI为£an的绝对值级数TOC\o"1-5"\h\zn=1n=11.若£|anI收敛，则£a.收敛.n=1n=1若£|anI收敛，则称£an绝对收敛；n=1n=1若£气收敛，£IanI发散，则称£an条件收敛.n=1n=1n=1(这是条件收敛与绝对收敛的定义，同时可以作为判别方法)例10：£(-1)〃--ln(1+-1)绝对收敛.nnn=1证：分析只需证明£\1-ln(1+」)］收敛即可.nn

由柯西积分判别法，n=1与广义积分j+811(1A一…，--ln1+-dx同敛散.xkxJ—1由柯西积分判别法，n=1与广义积分j+811(1A一…，--ln1+-dx同敛散.xkxJ1Lxkx)_■1(1]-ln1+_xkx)(附：x>0时，jxdx=(x+1)ln+C(x>0))x+1(附：x>0时，j「11]--ln(1+—)收敛.所以¥(-1)n「11]--ln(1+—)_nn_n=1_nn_n=1绝对收敛.注意：工上工ln(1+i)都是发散的，但党1-ln(1+L)收敛.n=1nn=1nn=1Lnn_工(_1)n1-ln(1+!)绝对收敛，但是芝(-1)n1与¥(-1)nln(1+^)TOC\o"1-5"\h\zLnn_nnn=1n=1n=1都是条件收敛的，那我能否说用两个条件收敛的级数的线性组合一定可以表示出一个绝对收敛的级数？第二节幕级数和Taylor展式类似于数项级数，可以定义函数项级数.形如¥。(x-x)n的函数项级数称为n0n=1幕级数.在此我们重点讨论x0=0时的情况(工anxn).n=1幕级数的收敛半径l.CAbel引理)如果幕级数工axn在x0n=1(x0。0)处收敛，则当Ix1<1x0I时，工axnn=1绝对收敛;如果幕级数l.CAbel引理)如果幕级数工axn在x0n=1(x0。0)处收敛，则当Ix1<1x0I时，工axnn=1下面两个定理用来确定幕级数的收敛半径：如果limIamI=L(0<L<+3),则幕级数¥axn的收敛半径R=1.nn=1如果lim呵=L，则幕级数工anxn的收敛半径R=1.n=1例11:求幕级数¥nnxn和¥nxn的收敛半径.

解：・.・liml史1=1，・£nxn的收敛半径为1；nn=1,「limnnn=n—+3，・•・£nnxn的收敛半径为0.n=1幕级数的性质TOC\o"1-5"\h\z1.设幕级数£axn和£bxn的收敛半径分别为R和R，取R=min(R,R｝，则nn1212n=1n=1£性+阻)xnr£。严+p"在(-R,R)中成立.n=1n=1n=1axnnn=12.£axn的收敛半径为R，则和函数S(x)在收敛区间(-R,R)上连续.axnnn=1对幕级数£a*逐项积分或微分，不改变收敛半径，但有可能该变收敛区域.n=1例12:求幕级数£土x2n-1的收敛域和和函数.n=1解：显然lim2n解：显然lim2n+1)!!T|(2n-1)!!敛域为全体实数.=0,则幕级数£*x2n-1的收敛半径人=+3，收n=1令S(x)二£—_x2n-1，贝。S'(x)=1+x艾—=_——=1+xS(x)，(2n-1)!!(2n-3)!!n=1n=2…x2工…，，一，，即S'(x)=1+xS(x)，解得S(x)=e2jxe2dt。注意初始条件S'(0)=1,S(0)=0.0例13例13：求幕级数£尚的和函数.n=1XnXn解：令S(x)=£xn，则S⑴=0，(xS(x))"=Uxn-1n(n+1)n=1n=1所以Xn所以S(x)二ln(1-x)+1这类问题一般会涉及到常微分方程的求解初等函数的Taylor展开式由Taylor定理知，对n+1阶可导函数f(x)有:f(x)=Ef(")(X0)(x-x)n+O((x-x)n+1)n!00n=0如果一个函数能够在x=x处展开成幕级数，那么这样的幕级数时唯一的，为:0f(x)=Ef(n(x-x0)n，这是f(x)的Taylor级数n=0当x=0时，级数称为Maclaurin级数.1.两个重要函数的Maclaurin级数(必须熟记会用)TOC\o"1-5"\h\zx2x3.xn(1).ex=1+x+—+—+—H+2!3!n!⑵.=W(—1)nxnn=0在这两个Maclaurin级数的帮助下，通过变形、积分、微分、代换等方法可以求出其他比较复杂的函数的Maclaurin级数或在指定点的Taylor级数.例14：将lnx在x=1处展开成Taylor级数.解：lnx=ln(1+x—1).由——=芝(—1)nxn，知ln(1+x)=E(-1)n1+xn+1n=0n=0所以lnx=ln(1+x-1)=E(-1)n(x——D"'In+1n=0若要在x=5处展开lnx，则有如下做法：xlnx=ln(5+x-5)=ln5+ln(1+(--1))(——1)n+1=ln5+E(—1)n5n+1n=0E(x-5)n+1=ln5+乙(—1)n5n+1(n+1)n=0例15:将展开成Maclaurin级数.x2+3x+2

TOC\o"1-5"\h\z如111111解：=一=一x2+3x+2x+1x+2x+12x1+—2所以,；,2=£(-1)…-2£(-1)〃(|)nn=0n=0化简i=U(一1)n(1一_L_)xnn=0不过，具体解决问题的方法还是因题而异，视情况而定.这些都只是系统化的方法，有