等差数列等差数列的性质答案

答案与评分标准一、选择题（共20小题）1、已知奇函数f（x）的定义域为R，且是以2为周期的周期函数，数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，则f（a1）+f（a2）+…+f（a10）的值为（）A、0 B、1C、﹣1 D、2考点：函数的周期性；等差数列的性质。专题：计算题。分析：分析知数列为以1为首项，1为公差的整数列，即给出了函数的定义域是非零的自然数，这是一个离散函数，且以2为周期，又是奇函数，根据这些性质建立方程求出函数的前二个值即可．解答：解：∵奇函数f（x）的定义域为R，∴f（0）=0，f（1）+f（﹣1）=0又f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（2）=f（0）=0，f（1）=f（﹣1）∴f（1）=0f（a1）+f（a2）+…+f（a10）的值为0．应选A．点评：考查函数的性质奇偶性与周期性，等差数列的特征，知识覆盖面广，技能性较强．2、已知函数f（x）=（）x﹣log2x，正实数a，b，c是公差为负数的等差数列，且满足f（a）f（b）f（c）＜0，若实数d是方程f（x）=0的一个解，那么下列四个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中有可能成立的个数为（）A、1 B、2C、3 D、4考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质；等差数列的性质。专题：计算题。分析：f（x）=（）x﹣log2x是由和y=﹣log2x两个函数的复合函数，每个函数都是减函数，所以，复合函数f（x）=（）x﹣log2x为减函数．正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，0＜a＜b＜c，f（a）f（b）f（c）＜0，则f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，或者f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0，所以可能：①d＜a；③d＜c．

点评：本题考查指数函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的单调性的灵活运用．3、已知{an}和{bn}都是公差不为零的等差数列，且等于（）A、0 B、C、 D、考点：极限及其运算；等差数列的性质。专题：计算题；综合题。分析：首先{an}和{bn}都是公差不为零的等差数列，可根据等差数列的性质列出等量关系式代入，得到关系式，再求解．

点评：此题考查的是等差数列的性质，以及由性质关系在极限中的应用，计算量小但是有一定的技巧属于综合性题目．4、记等差数列的前n项和为Sn，若S2=4，S4=20，则该数列的公差d=（）A、2 B、3C、6 D、7考点：等差数列；等差数列的性质。专题：计算题。分析：利用等差数列的求和公式分别表示出S2和S4求得d解答：解：由2a1+d=4且4a1+6d=20；解得d=3故选B点评：本题主要考查了等差数列的前n项的和．属基础题．5、已知等差数列{an}的通项为an=90﹣2n，则这个数列共有正数项（）A、44项 B、45项C、90项 D、无穷多项考点：等差数列；等差数列的性质。专题：计算题。分析：本题给出数列的通项公式，要求数列的正数项，问题转化为解关于n的不等式，得到解集后注意数列的n的取值，求两部分的交集，得到结果．解答：解：由题意知等差数列{an}的通项为an=90﹣2n大于零，可以得到数列的正项个数，∵90﹣2n＞0，∴n＜45，∵n∈N+，∴这个数列共有正数项44项，故选A．点评：本题考查等差数列，通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．6、首项为﹣30的等差数列，从第7项开始为正，则公差d的取值范围是（）A、5≤d＜6 B、d＜6C、5＜d≤6 D、d＞5

7、已知等差数列{an}满足：a1+a3=8，S5=30，若等比数列{bn}满足b1=a1，b3=a4，则b5为（）A、16 B、32C、64 D、27考点：等差数列的通项公式；等差数列的性质。专题：计算题。分析：由已知，求出an=2n，再根据等比数列的性质得出b1•b5=b32，代入数据计算即可．解答：解：由已知，a1+a3=8，∴a2=4，，S5=5a3=30，a3=6，∴an=2n∵{bn}等比数列，∴b1•b5=b32，即2×b5=64，解得b5=32．故选B．点评：本题考查等差数列通项公式，前n项和公式，等比数列的性质，考查计算能力．8、设数列{an}和{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，那么由an+bn所组成的数列的第37项的值为（）A、0 B、37C、100 D、﹣37考点：等差数列的通项公式；等差数列的性质。专题：计算题。分析：先求出a1+b1的值，然后根据{an+bn}组成的数列也是等差数列，而a2+b2=100，可求出通项an+bn，从而求出所求．解答：解：∵a1=25，b1=75∴a1+b1=100∵数列{an}和{bn}都是等差数列∴{an+bn}组成的数列也是等差数列而a2+b2=100，那么an+bn=100∴a37+b37=100故选C．点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，解题的关键{an+bn}组成的数列也是等差数列，属于基础题．9、在金秋的苹果节上，某商家将参展的苹果摆成16层，从上到下每层的苹果数是一个等差数列．已知第8层和第9层共有苹果40个，则此商家参展的苹果共有（）A、300个 B、320个C、340个 D、360个考点：数列的应用；等差数列的性质。专题：计算题。分析：根据题意，即在等差数列{an}中，n=16，a8+a9=40，求s16；由前n项和公式与性质am+an=ap+aq，容易求得．解答：解：由题意，在等差数列{an}中，n=16，a8+a9=40，则s16==8（a8+a9）=8×40=320．故选：B．点评：本题考查了等差数列的前n项和公式与性质am+an=ap+aq（其中m+n=p+q）的综合应用，是基础题目．10、设数列{an}的通项公式为an=20﹣4n，前n项和为Sn，则Sn中最大的是（）A、S3 B、S4或S5C、S5 D、S611、在等差数列{an}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A、 B、C、 D、考点：数列的求和；等差数列的性质。专题：计算题。分析：求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数列的前n项的和．解答：解：∵等差数列{an}中，a2=4，a6=12；∴公差d=；∴an=a2+（n﹣2）×2=2n；∴；∴的前n项和，=两式相减得=∴故选B点评：求数列的前n项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法．12、等差数列{an}中，a3=8，a7=20，若数列{}的前n项和为，则n的值为（）A、14 B、15C、16 D、18考点：数列的求和；等差数列的性质。专题：计算题。分析：根据a3=8，a7=20等差数列的通项公式为3n﹣1，然后根据数列的前n项的和Sn=+…+，因为=（﹣）可得Sn=解出n即可．解答：解：设等差数列的首项为a，公差为d，因为a3=8，a7=20，所以a+2d=8，a+6d=20，解得a=3，a=2．an=3n﹣1；又因为==（﹣），所以Sn=（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=25，解得n=16故选C点评：考查学生运用等差数列性质解决问题的能力，灵活运用做差方法求数列的和．13、已知{an}是等差数列，且a3+a9=4a5，a2=﹣8，则该数列的公差是（）A、4 B、C、﹣4 D、﹣14考点：等差数列的性质。专题：计算题。分析：由题意可得：a1+5d=2a1+8d，a1+d=﹣8，进而得到答案．解答：解：因为a3+a9=4a5，所以根据等差数列的性质可得：a6=2a5，所以a1+5d=2a1+8d，又因为a2=﹣8，即a1+d=﹣8，所以可得公差d=4．故选A．点评：解决此类问题关键是熟练掌握等差数列的性质，以及等差数列的通项公式．14、设{an}为等差数列，公差d=﹣2，sn为其前n项和，若s10=s11，则a1=（）A、18 B、20C、22 D、24考点：等差数列的性质。专题：计算题。分析：由等差数列的前10项的和等于前11项的和可知，第11项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利用首项和公差d表示出第11项，让其等于0列出关于首项的方程，求出方程的解即可得到首项的值．解答：解：由s10=s11，得到a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11即a11=0，所以a1﹣2（11﹣1）=0，解得a1=20．故选B点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．15、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4A、1升 B、C、升 D、升考点：等差数列的性质。专题：计算题。分析：设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积．

16、将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数一次为（）A、26，16，8， B、25，17，8C、25，16，9 D、24，17，9考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式。分析：根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．解答：解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选B点评：本题主要考查系统抽样方法．17、已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A、﹣1 B、1C、3 D、7考点：等差数列的性质。专题：计算题。分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．18、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A、63 B、45C、36 D、27考点：等差数列的性质。分析：观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．解答：解：由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45∴a7+a8+a9=45故选B．点评：本题考查等差数列的性质．19、等差数列{an}的前n项和为Sn若a2=1，a3=3，则S4=（）A、12 B、10C、8 D、6考点：等差数列的性质。专题：计算题。分析：由等差数列的前n项和得到，求前四项的和要用第一项和第四项的和，根据等差数列的性质第一项和第四项的和等于第二项与第三项的和，得到结果．解答：解：由等差数列的性质可得：a1+a4=a2+a3，∵a2=1，a3=3，∴s4=2（1+3）=8故选C．点评：若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．20、在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A、40 B、42C、43 D、45考点：等差数列的性质。专题：计算题。分析：先根据a1=2，a2+a3=13求得d和a5，进而根据等差中项的性质知a4+a5+a6=3a5求得答案．解答：解：在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，得d=3，a5=14，∴a4+a5+a6=3a5=42．故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．二、填空题（共6小题）21、等比数列等差数列{an}，a3，a7是方程2x2﹣3kx+5=0的两根，且（a3﹣a7）2=2a2a8+1，则k=．考点：根与系数的关系；等差数列的性质。专题：计算题。分析：首先根据韦达定理得出a3a7=a3+a7=k，然后由等比数列的性质得出a3a7=a2a8，从而利用条件得出关于点评：本题考查了韦达定理以及等比数列的性质，解题过程要注意等比数列性质的灵活运用，属于基础题．22、正整数集合Ak的最小元素为1，最大元素为2022，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k的等差数列，则并集A17∪A59中元素有151个．考点：并集及其运算；等差数列的性质。分析：令x是A17中的元素，则x﹣1是17的倍数，由此不难确定A17中的元素个数；同理可确定A59中的元素个数；而并集A17∪A59中元素个数是：A17中的元素个数+A59中的元素个数﹣A17∩A59中的元素个数解答：解：令x是A17中的元素，则x﹣1是17的倍数∵Ak的最小元素为1，最大元素为2022则A17中有118个元素同理则A59中有34个元素而x∈A17∩A59时，则x﹣1是17与59的公倍数这样的元素只有一个故并集A17∪A59中元素有118+34﹣1=151个故答案为：151点评：判断两个集合并集中元素的个数要根据：Card（A∪B）=Card（A）+Card（B）﹣Card（A∩B）其中Card（A）表示集合A中元素个数23、在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点在直线上，则an=3n2．考点：等差数列；等差数列的性质。专题：计算题。分析：根据一个点在一条直线上，点的坐标满足直线的方程，代入整理成一个等差数列，看出首项和公差，写出数列的通项公式，两边开方，点的要求的结果．解答：解：∵点在直线，即，又，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴，即an=3n2故答案为：3n2点评：本题考查等差数列，考查等差数列的性质，考查等差数列的通项，是一个简单的综合题目，可以单独作为选择或填空出现．24、﹣2与6的等差中项是2．

25、在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=60，则2a9﹣a10的值为12．考点：等差数列的通项公式；等差数列的性质。专题：计算题。分析：先根据等差数列的性质求出a8的值，然后将2a9﹣a10用a8表示，即可求出所求．解答：解：∵在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=60，∴5a8=60，a8=12，2a9﹣a10=a1+7d=a8=12故答案为：12点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的性质，属于基础题．26、等差数列{an}中，a5+a7=16，a3=4，则a9=12．考点：等差数列的通项公式；等差数列的性质。专题：计算题。分析：根据等差数列的性质知，当知道第五项和第七项的和时，可以知道第六项的值是8，根据第六项和第三项的值可以做出三倍的公差，则要求的第九项等于第六项加上三倍的公差，得到结果．解答：解：∵等差数列an中，a5+a7=16，∴a6=8∵a3=4，∴3d=8﹣4=4∴a9=a6+3d=8+4=12，故答案为：12．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的通项，这是一种涉及到等差数列的基本量的运算，是数列中经常考查的问题．三、解答题（共4小题）27、已知数列{an}为等差数列，a1=2，且其前10项和为65，又正项数列{bn}满足．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）比较b1，b2，b3，b4的大小；（3）求数列{bn}的最大项．考点：数列的函数特性；等差数列的性质；数列递推式。专题：计算题。分析：（1）设{an}的公差为d，则，再由a1=2，得d=1，由此能够求出数列{bn}的通项公式．（2），，由此能够判断b1，b2，b3，b4的大小．（3）猜想当n≥2时，．函数中，，故在（e，+∞）上是减函数，所以．猜想正确，因此，数列{bn}的最大项是．

（3）由（2）猜想{bn+1}递减，即猜想当n≥2时，．（10分）考察函数，则，∵x＞e时，lnx＞1，∴y'＜0，故在（e，+∞）上是减函数，而n+1≥3＞e，（12分）所以，即．猜想正确，因此，数列{bn}的最大项是．（14分）点评：自从导数走进高考试题中，就和函数形影不离，并且与方程、数列、解析几何以及立体几何等分支的知识联姻，成为高考的一道亮丽的风景线．预计导数还会与平面向量、概率与统计等分支的知识联合，展示其独特的魅力．28，设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn．（Ⅰ）若a11=0，S14=98，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式．考点：等差数列的通项公式；等差数列的性质。专题：计算题。分析：（Ⅰ）本题是关于等差数列的基本量的运算，设出题目中的首项和公差，根据第十一项和前十四项的和两个数据列出方程组，解出首项和公差的值，写出数列的通项．（Ⅱ）根据三个不等关系，写出关于首项和公差的不等式组，解不等式组，得到一个范围，根据{an}的首项a1及公差d都为整数得到所有可能的结果，写出通项公式．解答：解：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14，又a11=a1+10d=0，∴解得d=﹣2，a1=20．∴{an}的通项公式是an=22﹣2n，（Ⅱ）由得即由①+②得﹣7d＜11．即d＞﹣．由①+③得13d≤﹣1即d≤﹣于是﹣＜d≤﹣又d∈Z，故d=﹣1④将④代入①②得10＜a1≤12．又a1∈Z，故a1=11或a1=12．∴所有可能的数列{an}的通项公式是an=12﹣n和an=13﹣n，点评：本题考查数列的基本量，是一个综合问题，题目中结合不等式和方程的解法，根据题目所给的关系，写出关于数列的首项和公差的方程组，解方程组得到公差和首相，再写出通项公式．29、设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）若首项a1=，公差d=1，求满足的正整数k；（Ⅱ）求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有成立．考点：等差数列的通项公式；等差数列的性质。专题：综合题；分类讨论。分析：（I）利用等差数列的求和公式表示出前n项的和，代入到求得k．（Ⅱ）设数列{an}的公差为d，在中分别取k=1，2求得a1，代入到前n项的和中分别求得d，进而对a1和d进行验证，最后综合求得答案．解答：解：（I）当时，又k≠0，所以k=4．（II）设数列{an}的公差为d，则在中分别取k=1，2，由（1）得a1=0或a1=1．当a1=0时，代入（2）得d=0或d=6，若a1=0，d=0，则an=0，Sn=0，从而Sk=（Sk）2成立若a1=0，d=6，则an=6（n﹣1），由S3=18，（S3）2=324，Sn=216知s9≠（S3）2，故所得数列不符合题意．当a1=1时，代入（2）得4+6d=（2+d）2，解得d=0或d=2若a1=1，d=0，则an=1，Sn=n，从而成立；若a1=1，d=2，则an=2n﹣1，Sn=1+3+…+（2n﹣1）=n2，从而S=（Sn）2成立综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：①{an}：an=0，即0，0，0；②{an}：an=1，即1，1，1；点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式的应用．考查了学生综合分析问题，归纳推理，创造性思维的能力．属中档题．30、设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n，Sn）在函数f（x）=x2+x的图象上．（1）求an的表达式；（2）设，使得不等式An＜a对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）将数列{an}依次按1项，2项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4），（a5，a6），（a7），（a8，a9），（a10），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b100的值；（4）如果将数列{an}依次按1项，2项，3项，4项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，提出同（3）类似的问题（（3）应当作为特例），并进行研究，你能得到什