点直线平面之间的位置关系章末综合检测

一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有()A．0条 B．1条C．无数条 D．不确定解析：选C.平面α内与a垂直的有无数条直线．2.如图，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC解析：选∈l，l⊂β，∴D∈β，又C∈β，∴CD⊂β；同理，CD⊂平面ABC，∴平面ABC∩平面β＝CD.故选C.3．设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是()A．若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥αB．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂αC．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析：选D.对于选项D，当直线m位于平面β内且与平面α、β的交线平行时，直线m∥α，显然m与平面β不垂直．因此选项D不正确．4．已知空间四边形ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选A.取BC的中点G，则EG＝1，FG＝2，EF⊥EG，则EF与CD所成的角∠EFG＝30°，故选A.5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是()A．①和② B．②和③C．③和④ D．②和④解析：选D.①错，只有两条相交直线与另一个面平行时，才能得出这两个面互相平行．③错，比如a⊥α，b⊂α，c⊂α，显然有a⊥b，a⊥c，但b与c也可能相交．故②④正确．6．设平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈β，且A，B，C均不在直线l上，给出四个命题：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥AB,l⊥AC))⇒α⊥β；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥AC,l⊥BC))⇒α⊥平面ABC；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,AB⊥BC))⇒l⊥平面ABC；④AB∥l⇒l∥平面ABC.其中正确的命题是()A．①与② B．②与③C．①与③ D．②与④解析：选D.∵l⊥AC，l⊥BC，∴l⊥平面ABC，又l⊂α，∴α⊥平面ABC，故②正确；∵AB∥l，A，B，C不在l上，AB⊂平面ABC，∴l∥平面ABC，故④正确．故选D.7．下列做法可以使旗杆与水平地面垂直的是()①过旗杆底部在地面上画一条直线，使旗杆与该直线垂直；②过旗杆底部在地面上画两条直线，使这两条直线垂直；③在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等．A．①② B．②③C．只有③ D．只有②解析：选C.①②都不符合线面垂直的条件．对于③，如图．PO为旗杆．PA、PB、PC为细绳，连接AB，取AB的中点M，由于PA＝PB，OA＝OB，∴AB⊥PM，AB⊥OM，∴AB⊥平面PMO，∴AB⊥PO.同理BC⊥PO.又∵AB∩BC＝B，∴PO⊥底面．8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为2eq\r(6)，则侧面与底面所成的二面角为()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选C.由可得底面边长为2eq\r(3)，高为3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tanθ＝eq\r(3)，所以二面角为60°，选C.9．若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为()\f(\r(3),3) B．1\r(2) \r(3)解析：选D.如图所示，直线AB1与底面ABCD所成的角为∠B1AB，而A1C1到底面ABCD的距离为AA1，在Rt△ABB1中，B1B＝AB·tan60°＝eq\r(3).所以AA1＝BB1＝eq\r(3).10．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为eq\r(2)，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的余弦值为()\f(1,2) \f(1,3)\f(\r(3),3) \f(\r(2),3)解析：选C.取AC的中点E，取CD的中点F，EF＝eq\f(1,2)，BE＝eq\f(\r(2),2)，BF＝eq\f(\r(3),2)，结合图形知二面角A－CD－B的余弦值cosθ＝eq\f(EF,BF)＝eq\f(\r(3),3).二、填空题(本大题共5小题，请把正确的答案填在题中的横线上)11．已知菱形AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起使二面角A­BD­C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为________．解析：设AC∩BD＝O，则翻折后CO⊥BD，∴∠AOC即为二面角的平面角，则∠AOC＝120°，且AO＝1，所以d＝1×sin60°＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)12．如图，圆锥SO中，底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P为SB的中点，则异面直线SA与PD所成角的正切值为________．解析：连接PO，则PO∥SA，∴∠OPD即为异面直线SA与PD所成的角，且△OPD为直角三角形，∠POD为直角，∴tan∠OPD＝eq\f(OD,OP)＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).答案：eq\r(2)13．若A、个不同的点，l表示一条直线，α表示一个平面，则在下列四个命题中：①若l⊂α，C∈α，则C∈l；②若A∈l，B∈l，且B∉α，则l⊄α；③若l⊂α，C∈l，则C∈α；④若l⊄α，C∈l，则C∉α.正确的命题有________(把所有正确命题的序号都填上)．解析：①错误面α内，不能得到在平面α内的一点C一定在直线l上；②正确，若直线l上一点B不在平面α内，则直线l不可能在平面α内，否则，若直线l在平面α内，可得点B也在平面α内，与题意矛盾；③正确，直线l在平面α内，C是直线l上一点，则点C必在平面α内；④错误，直线l不在平面α内，则直线l与平面α可能有一个公共点C或没有公共点．答案：②③14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．解析：命题①，如图，取BD中点E，连接AE、CE，有BD⊥AE，BD⊥CE.所以BD⊥平面ACE，所以BD⊥AC.命题②，设正方形的边长为a，所以AE＝EC＝eq\f(\r(2),2)a，∵△AEC为直角三角形，∴AC＝a，∴△ACD为等边三角形．命题③，平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD，所以∠ABE即为AB与平面BCD所成的角，∠ABE＝45°，故该命题错误，命题④正确．答案：①②④15．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是________．解析：如图，在△ABD内，作AH⊥BD于H，∵平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴AH⊥平面BCD.又BC⊂平面BCD，∴BC⊥AH.又∵DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DA⊥BC.又AH∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥AB，故△ABC是以∠B为90°角的直角三角形．答案：直角三角形三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.证明：(1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.17．在所有棱长都相等的斜三棱柱ABC－DEF中，已知BF⊥AE，BF∩CE＝O，且AB＝AE，连接AO.(1)求证：AO⊥平面BCFE.(2)求证：四边形BCFE为正方形．证明：(1)因为BCFE是菱形，所以BF⊥EC，又BF⊥AE，所以BF⊥平面AEC，所以BF⊥AO.因为AE＝AB＝AC，OE＝OC，所以AO⊥EC，又BF∩EC＝O，所以AO⊥平面BCFE.(2)因为AO⊥平面BCFE，所以AO⊥OE，AO⊥OB，又因为AE＝AB，所以OE＝OB，所以EC＝BF，所以BCFE为正方形．18．底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.问：在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC?证明你的结论．解：如图所示，连接BD交AC于点O，连接OE，过点B作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE交PC于点F，连接BF.∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G，∴平面BFG∥平面AEC，BF⊂平面BFG.∴BF∥平面AEC.下面求点F在PC上的具体位置：∵BG∥OE，O是BD的中点，∴E是GD的中点．又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE的中点．而GF∥CE.∴F为PC的中点．综上可知，存在点F，当点F是PC的中点时，BF∥平面AEC.19．如图1所示的等边△为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC边的中点．现将△ABC沿CD折叠，使平面ADC⊥平面BDC，如图2所示．(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求四面体A－DBC的外接球体积与四棱锥D－ABFE的体积之比．解：(1)AB∥平面DEF，理由如下：∵E、F分别为AC、BC的中点，∴AB∥EF，∵AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AB∥平面DEF.(2)以DA，DB，DC为棱补成一个长方体，则四面体A－DBC的外接球即为长方体的外接球．设球的半径为R，则a2＋a2＋3a2＝(2R)2，∴R2＝eq\f(5,4)a2，于是球的体积V1＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(5\r(5),6)πa3.又VA－BDC＝eq\f(1,3)S△BDC·AD＝eq\f(\r(3),6)a3，VE－DFC＝eq\f(1,3)S△DFC·eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(3),24)a3，∴eq\f(V1,VD－ABFE)＝eq\f(V1,VA－BDC－VE－DFC)＝eq\f(20\r(15)π,9).20．已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点．(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)若点E为PC的中点，AC∩BD＝O，求证EO∥平面PAD；(3)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．解：(1)由该四棱锥的三视图可