简单线性规划的应用答案

答案与评分标准一、选择题（共20小题）1、已知函数f（x）的定义域为[﹣3，+∞），且f（6）=f（﹣3）=2．f′（x）为f（x）的导函数，f′（x）的图象如图所示．若正数a，b满足f（2a+b）＜2，则的取值范围是（） A、（﹣，3） B、（﹣∞，﹣）∪（3，+∞） C、（，3） D、（﹣∞，）∪（3，+∞）考点：函数单调性的性质；简单线性规划的应用。专题：作图题；数形结合；转化思想。分析：先根据导数的图象可知函数是增函数，从而将f（2a+b）＜2=f（6）转化为：，再用线性规划，作出平面区域，令t=表示过定点（2，﹣3）的直线的斜率，通过数形结合法求解．解答：解：如图所示：f′（x）≥0在[﹣3，+∞）上恒成立∴函数f（x）的定义域为[﹣3，+∞）上是增函数，又∵f（2a+b）＜2=f（6）∴画出平面区域令t=表示过定点（2，﹣3）的直线的斜率如图所示：t∈（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）故选B点评：本题主要考查函数的单调性转化不等式，还考查了线性规划中的斜率模型．同时还考查了转化思想，数形结合思想．2、已知实数x，y满足x2+y2+4y=0，则s=x2+2y2﹣4y的最小值为（） A、48 B、20 C、0 D、﹣163、已知开口向上的二次函数，f（x）=ax2+bx+c最多与x轴有一个交点，它的导数为f′（x），且f′（0）＞0，则的最小值为（） A、3 B、 C、2 D、考点：二次函数的性质；简单线性规划的应用。专题：计算题。分析：函数与x轴的交点个数即相应的方程的根的个数，令判别式小于等于0得到a，b，c的不等关系，求出导函数，求出f′（0），令其大于0即得到b的范围，利用基本不等式求出的最值．解答：解：∵f（x）=ax2+bx+c最多与x轴有一个交点∴△=b2﹣4ac≤0∵f′（x）=2ax+b∴f′（0）=b∵f′（0）＞0∴b＞0∴∴故选C点评：判断一元二次方程根的个数常利用判别式的符号；利用基本不等式求函数的最值要注意：一正、二定、三相等．4、若函数的定义域为R，则b﹣3a的取值范围是（） A、（﹣∞，﹣3] B、[﹣3，+∞） C、（﹣∞，3] D、[3，+∞）考点：指数函数的单调性与特殊点；函数的定义域及其求法；简单线性规划的应用。专题：分类讨论。分析：根据题意，由根式的意义，可将原题转化为2（a﹣1）x2+bx+（a﹣1）≥1对于任意x∈R恒成立问题，进而由指数的性质，可变形为t=（a﹣1）x2+bx+（a﹣1）≥0恒成立问题，由二次函数的性质，分两种情况讨论，可进一步转化为利用线性规划求最值的问题，分析可得答案．解答：解：根据题意，若函数的定义域为R，

设Z=b﹣3a，Z是直线b=3a+t经过确定的平面上的一点时在y轴上的截距，由线性规划的知识可得，Z＜3，综合①可得，Z=b﹣3a≤3，故b﹣3a的取值范围是（﹣∞，﹣3]，故选A．点评：本题是综合题，涉及知识点较多，有一定的难度，解题关键在于转化为线性规划问题来求Z=b﹣3a的范围．5、若点（x，y）在平面区域内运动，则t=x+2y的取值范围是（） A、[2，6] B、[2，5] C、[3，6] D、[3，5]考点：简单线性规划；简单线性规划的应用。专题：计算题。分析：①画可行域②t为目标函数纵截距③画直线0=x+2y，平移可得直线过A或C时t有最值．解答：解：解：画可行域如图，画直线0=x+2y，平移直线0=x+2y过点A（2，2）时z有最大值6；平移直线0=x+2y过点C（2，0）时z有最小值2；则t=x+2y的取值范围是[2，6]故选A．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6、设m＞1，在约束条件下，目标函数Z=X+my的最大值小于2，则m的取值范围为（） A、（1，） B、（，+∞） C、（1，3） D、（3，+∞）考点：简单线性规划的应用。专题：数形结合。分析：根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据平面直线方程判断出目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于m的不等式组是解答本题的关键．7、已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值范围是（） A、[﹣] B、[] C、[] D、[﹣]考点：简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算。专题：数形结合。分析：先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入•分析比较后，即可得到•的取值范围．

点评：本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．8、设变量x，y满足约束条件则z=3x﹣2y的最大值为（） A、0 B、2 C、4 D、6考点：简单线性规划的应用。专题：计算题；数形结合。分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x﹣2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答：解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=3x﹣2y过点B时，在y轴上截距最小，z最大由C（2，0）知zmax=6．故选D．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9、设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（） A、﹣2 B、4 C、6 D、8点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．10、某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过 A、甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B、甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C、甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D、甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱考点：简单线性规划的应用。专题：计算题。分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，根据题意列出不等式组，找出目标函数解答：解：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，则目标函数z=280x+300y结合图象可得：当x=15，y=55时z最大．故选B．点评：在解决线性规划问题是，我们常寻找边界点，代入验证确定最值11、满足线性约束条件，的目标函数z=x+y的最大值是（） A、1 B、 C、2 D、3点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．12、设x，y∈R且，则z=x+2y的最小值等于（） A、2 B、3 C、5 D、9考点：简单线性规划的应用。分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．解答：解：约束条件，对应的平面区域如下图示：当直线Z=x+2y过点（1，1）时，z=x+2y取最小值3，故选B．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．13、设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域是Ω2与Ω1关于直线3x﹣4y﹣9=0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值等于（） A、 B、4 C、 D、2考点：简单线性规划的应用。分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域Ω1，根据对称的性质，不难得到：当A点距对称轴的距离最近时，|AB|有最小值．解答：解：由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域Ω1中的点到直线3x﹣4y﹣9=0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3x﹣4y﹣9=0的距离最小，故|AB|的最小值为，故选B．点评：利用线性规划解平面上任意两点的距离的最值，关键是要根据已知的约束条件，画出满足约束约束条件的可行域，再去分析图形，根据图形的性质、对称的性质等找出满足条件的点的坐标，代入计算，即可求解．14、设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为（） A、6 B、7 C、8 D、23考点：简单线性规划的应用。分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．15、某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（） A、12万元 B、20万元 C、25万元 D、27万元考点：简单线性规划的应用。专题：应用题。分析：先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．解答：解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且联立解得由图可知，最优解为P（3，4），∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．故选D．点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．16、在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（） A、2000元 B、2200元 C、2400元 D、2800元点评：在确定取得最大值、最小值时，应注意实际问题的意义，整数最优解．17、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是（） A、 B、 C、 D、考点：简单线性规划的应用。专题：计算题。分析：先根据约束条件：，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可．解答：解：满足约束条件：，平面区域如图示：由图可知，直线恒经过点A（0，），当直线再经过BC的中点D（，）时，平面区域被直线分为面积相等的两部分，当x=，y=时，代入直线的方程得：k=，故选A．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．18、不等式组，所表示的平面区域的面积等于（） A、 B、 C、 D、考点：简单线性规划的应用。专题：计算题；数形结合。分析：先根据约束条件画出可行域，求三角形的顶点坐标，从而求出表示的平面区域的面积即可．解答：解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得交点A的坐标为（1，1）．又B、C两点的坐标为（0，4），（0，）．故S△ABC=（4﹣）×1=．故选C．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求平面区域的面积，属于基础题．19、若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积是（） A、 B、 C、1 D、点评：本小题主要考查线性规划的相关知识．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．20、设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（） A、2 B、3 C、4 D、5考点：简单线性规划的应用。专题：计算题。分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y的最小值．解答：解：满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数z=5x+y过点A（1，0）时z取得最大值，zmax=5，故选D．点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．二、填空题（共5小题）21、设，q：x2+y2≤r2（x，y∈R，r＞0）若p是q的充分不必要条件，则r的取值范围是．考点：充要条件；简单线性规划的应用。专题：综合题。分析：画出满足约束条件，的平面区域，分析出可行域内x2+y2的取值范围，结合p是q的充分不必要条件，即可得到r2的取值范围，进而得到r的取值范围．解答：解：满足条件，的平面区域如下图所示：平面区域内的点（x，y）中当x=3，y=3时x2+y2取最大值18若p是q的充分不必要条件，则r2≥18，即r≥3故答案为：．点评：本题考查的知识点是充要条件及简单线性规划的应用，其中根据线性规划的方法，判断出满足约束条件p的x2+y2的取值范围，是解答本题的关键．22、某厂使用A，B两种零件装配甲、乙两种产品，该厂每月装配甲产品最多250件，装配乙产品最多120件，已知装配一件甲产品需要4个月A零件，2个B零件，装配一件乙产品需要6个A零件，8个B零件，某月能用的A零件最多为1400个，能用的B林件最多为1200个，已知甲产品每件利润1000元，乙产品每件利润2000元，设该月装配甲、乙产品分别是x、y件，则用不等式组表示x、y满足的条件是（x，y∈N）；该月最大利润为40万元．考点：简单线性规划；简单线性规划的应用。专题：应用题。分析：先设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件，写出约束条件、目标函数，欲求生产收入最大值的范围，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．注意：最后要将所求最优解还原为实际问题．解答：解：设该月装配甲、乙产品分别是x、y件，约束条件是目标函数是z=1000（x+2y）由约束条件画出可行域，如图将z=x+2y它变形为y=﹣x+，这是斜率为﹣、随z变化的一簇直线．是直线在y轴上的截距，当最大时z最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最大值．由解得在这个问题中，使z=x+2y取得最大值的（x，y）是两直线4x+6y=1400与2x+8y=120的交点（200，100）∴z=1×200+2×100=400（千元）答：每月生产甲180件，生产乙90件月生产收入最大，最大值为40万元．故答案为：；40．点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．23、已知变量x，y满足则目标函数z=x+2y的最大值为3．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．24、[文科]非负实数x、y满足，则x+3y的最大值为9．考点：简单线性规划；简单线性规划的应用。专题：计算题。分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过点A（0，3）时，z最大值即可．解答：解：根据约束条件画出可行域∵直线z=x+3y过点A（0，3）时，z最小值是9，故答案为9．点评：本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，解题的关键是画出满足条件的区域图，属于基础题．25、题干有误在直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是（﹣1，1）．点评：本题考查线性规划问题可行域画法，以及过定点直线系问题，本题解决问题的关键是要能由不等式組做出平面区域，结合图形求解三角形区域时一定要注意斜率的不同引起的边界直线的位置特征的不同，这也是线性规划中的易错点三、解答题（共5小题）26、已知函数f（x）=x3﹣9x2cosα+48xcosβ，g（x）=f'（x），且对任意的实数t均有g（1+e﹣|t|）≥0，g（3+sint）≤0．（I）求g（2）；（II）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）记函数h（x）=f（x）﹣﹣（b+24）x（a，b∈R），若y=h（x）在区间[﹣1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值．考点：函数与方程的综合运用；简单线性规划的应用。专题：计算题；证明题。分析：（I）由题得，g（x）=3x2﹣18xcosα+48cosβ，又1+e﹣|t|∈（1，2]，3+sint∈[2，4]，从而g（x）≥0在x∈（1，2]恒成立，g（x）≤0在x∈[2，4]恒成立，最后得出g（2）的值即可；（II）先求出g（x）=0的另一根的取值范围，得出2+x0=6cosα，最后得到得的值，代入函数解析式即可；（III）由题意得出关于a，b的不等关系：，作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划的方法解决即可．点评：本题考查待定系数法求解析式、函数与方程的综合运用、简单线性规划的应用问题，解答线性规划的问题的关键是应用数形结合思想方法，综合性强，难度较大．27、已知，求的范围．考点：不等关系与不等式；对数函数图象与性质的综合应用；简单线性规划的应用。分析：要求的范围，可先将用和表示，再根据结合不等式的性质解决问题

点评：由a＜f1（x1，y1）＜b，c＜f2（x1，y1）＜d，求g（x1，y1）的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g（x1，y1）=pf1（x1，y1）+qf2（x1，y1），用恒等变形求得p，q，再利用不等式的性质求得g（x1，y1）的范围．此外，本例也可用线性规划的方法来求解．28、已知f（x）=ax2+bx+1．（1）若f（x）＞0的解集是（﹣1，2），求实数a，b的值．（2）若A={x|f（x）＞0}，且﹣1∈A，2∈A，求3a﹣b的取值范围．考点：一元二次不等式的应用；简单线性规划的应用。专题：计算题；数形结合。分析：（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系可以得出，ax2+bx+1=0的解为﹣1，2，由根系关系即可求得实数a，b的值（2）要题意可得出一关于实数a，b的不等式组，要求3a﹣b的取值范围可用线性规划的知识来求，以所得不等式组作为约束条件，以3a﹣b作为目标函数即可．解答：解：（1）由题意可知：a＜0，且ax2+bx+1=0的解为﹣1，2∴解得：，（2）由题意可得，⇒画出可行域，由得{作平行直线系z=3a﹣b可知z=3a﹣b的取值范围是（﹣2，+∞）点评：本题考查一元二次不等式的应用，求解本题的关键是理解一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系以及将第二问中求3a﹣b的取值范围的问题转化到线性规划中求解．做题时灵活转化是降低题目难度顺利解题的关键．29、某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？考点：简单线性规划的应用。分析：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线