经济应用数学第3章线性规划

3.1线性规划的数学模型

3.1.1线性规划模型的概念3.1.2经济管理中的几个实例1引例【生产安排问题】

玉虹家具公司有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要木料0.2m3，五合板1m2。出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利120元。该公司应怎样安排生产，可使所得利润最大？2解设生产方桌、书橱分别为x1、x2，可获利z元.对木料来讲，有对五合板来讲，有max约束条件为：都应该是非负的，即有原问题转化为：3引例【营养问题】

有一位消费者欲购买营养物，根据医生要求，他所购买的营养物中，维生素A的含量不低于9克，维生素C的含量不低于19克．现有六种营养物可供选择，单位该营养物所含维A和维C的数量及六种营养物的购买价格如下表：营养物维生素维A(克)102212维C(克)013132购买价格(元)202560353739单位含量问：他应如何购买，才能既符合医生要求，又花钱最少？4解

设六种营养物的购买量分别为

，，……

，单位．对维Ａ有9

对维C有19消费者的目标是min该问题的数学模型为：min约束条件为5

线性规划问题的数学模型的一般形式求一组变量的值，使其满足：约束条件并使最大(或最小)．

6或

其中为已知常量.7决策变量――

可行解――满足约束条件的解

最优解――使目标函数实现最优的可行解首先要确定决策变量，其次列出约束条件，最后给出目标函数.线性规划模型基本术语建立线性规划模型基本步骤

最优值――对应最优解的目标函数值83.1.2经济管理中的几个实例

案例【生产计划问题】

飞跃缝纫机公司生产甲、乙、丙三种工业缝纫机，平均每生产一台甲需7小时加工、6小时装配、售价为3000元；每生产一台乙需8小时加工、4小时装配、售价为2500元；每生产一台丙需5小时加工、3小时装配、售价为1800元。每季度可供利用的加工工时为2000小时，装配工时为1000小时，三种缝纫机所需零配件基本相同。又据市场预测知：市场对甲的需求量每季度不超过200台，乙不低于180台，丙无要求。问应如何安排生产，可使公司产值最高？试建立该问题的数学模型。9将已知条件列表如下：产品单位工时

甲

乙

丙

每季度可用工时

加工7852000

装配6431000

售价300025001800

市场需求

工序10解

设甲、乙、丙三种缝纫机每季度产量分别为台则该问题的数学模型为：求一组变量的值，使其满足：并使最大．

本问题对决策变量增加了整数的要求，这种线性规划问题也称为整数规划.11案例【进售货计划问题】

某专卖店要制定明年一季度商品进货及售货计划。已知该店的仓库最多可容纳该种商品500件，且今年底尚有200件库存。该店每月初进一次货。总店规定明年一季度各月份进货及售货单价如下表：

月份123

买入价869

售出价9810问该店各月应分别购入和售出多少件该种商品，可使一季度效益最高？试建立该问题的数学模型。12解

的值，设1、2、3月买入量分别为售出量分别为则该问题的数学模型为：求一组变量使其满足并使最大。13案例【投资问题】

鑫泰投资公司准备将1千万元的资金对A、B两家企业投资。对企业A每投资1元，当年底投资公司可获利0.7元，对企业B每投资1元，第二年底投资公司可获利2元。对企业A、B的投资期限必须分别为一年和两年的整数倍。问应如何投资，可使投资公司在第三年底本利和最大？试建立该问题数学模型。14解

设分别表示第年向企业A和B的投资额，则该问题的数学模型为求一组变量的值，使其满足：

并使最大。15案例【配套生产问题】

杉杉服装公司加工上衣和裤子，已知加工一件上衣可获利5元，加工一条裤子可获利2元，而每个工人加工一件上衣需2小时，加工一条裤子需1小时。由于布料的限制，每个工人每天最多只能安排加工3件上衣和4条裤子。若每个工人每天工作8小时，问如何安排，才能使公司获得的利润最大？试建立该问题的数学模型。16解

设每天每人加工上衣件，裤子条。则该问题的数学模型为：求一组变量的值，使其满足：并使最大．173.2线性规划问题的图解法和用MATLAB求解线性规划问题

3.2.1线性规划问题的图解法3.2.2用MATLAB求解线性规划问题183.2.1线性规划问题的图解法线性规划图解法解题步骤:(1)建立平面直角坐标系，求可行解域；(2)作目标函数等值线族；(3)平移目标函数等值线到可行解域的最远端(顶点)；(4)求最优解和最优值．19用图解法求解规划问题max

例20解

建立平面直角坐标系,作可行解域如下图阴影部分，由5条直线围成.然后作目标函数等值线，平移该直线至点（3，2），过该点的等值线为最优值，即z=5×3+2×2＝19.21用图解法解线性规划问题例22解

建立平面直角坐标系，作可行解域如下图阴影部分，其由5条直线围成.作目标函数等值线平移目标函数等值线到最远点(与AB线段重合).则最优解为AB线段上所有点，故该题有无穷多个最优解．23全体最优解可表示为最优值为其中两个最优解分别为，即A：，即B：24例用图解法解线性规划问题25解

建立平面直角坐标系，作可行解域如下图阴影部分，可向右侧无限延伸。作目标函数等值线平移目标函数等值线但由于可行解集为向右侧无限延伸的开区域，故此线性规划问题无最优解和最优值．26综述线性规划问题在有解的前提下，分为下列情形：

线性规划问题出现无可行解的情况时，主要是由于约束条件出现矛盾，在实际应用中主要由于要求过于苛刻造成的，这时应修改约束条件．273.2.2用MATLAB求解线性规划问题常用基本语句格式：1.模型：命令：返回最优解2.模型：命令：注意：若没有不等式存在，则令A=[]，b=[].28例

29解

用MATLAB求解过程如下clearc=[-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6];A=[0.010.010.010.030.030.03;0.02000.0500;00.02000.050;000.03000.08];b=[850;700;100;900];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)30Optimizationterminatedsuccessfully.x=1.0e+004*3.50000.50003.00000.00000.00000.0000fval=-2.5000e+004即：最优解为

最优值为31例

解用MATLAB求解过程如下clearc=[634];A=[010];b=[50];Aeq=[111];beq=[120];vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)32Optimizationterminatedsuccessfully.x=30.000050.000040.0000fval=490.0000即最优解为x=(30，50，40)，最优值为z=490.33案例【任务分配问题】

某机床加工小组有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件.假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？车床类型单位工件所需加工台时数单位工件的加工费用可用台时数工件1工件2工件3工件1工件2工件3甲0.41.11.013910800乙0.51.21.31112890034解

设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为。可建立以下线性规划模型：35用MATLAB求解如下f=[1391011128];A=[0.41.110000000.51.21.3];b=[800;900];Aeq=[100100010010001001];beq=[400600500];vlb=zeros(6,1);vub=[];[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)36结果为:x=0.0000600.00000.0000400.00000.0000500.0000fval=1.3800e+004

即在甲机床上加工600个工件2,在乙机床上加工400个工件1、500个工件3，可在满足条件的情况下使总加工费最小为13800.37案例【人员聘任问题】

万里皮鞋公司每日8小时的皮鞋产量不低于

1800双.为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为速

度25双/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为速度15双/小时，正确率95%，计时工资3元/小时.检验员每错检一次，企业要损失2元.为使总检验费用最省，该公司应聘一级、二级检验员各几名？38解

设需要一级和二级检验员的人数分别为人,则应付检验员的工资为因检验员错检而造成的损失为故目标函数为约束条件为39线性规划模型用MATLAB求解如下c=[40;36];A=[-5-3];b=[-45];Aeq=[];beq=[];vlb=zeros(2,1);vub=[9;15];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)40结果为x=9.00000.0000fval=360即只需聘用9个一级检验员注：本问题应还有一个约束条件：取整数。故它是一个整数线性规划问题.41【案例】空气污染管理问题（1）问题的提出

位于钢城的诺利公司为当地的主要钢铁厂家之一，由于钢厂对熔炉的排放物未进行管理，致使空气污染破坏了钢城的环境，并危害了当地居民的健康.研究发现，造成空气污染的物质主要有三种：微粒、氧化硫及碳化氢，钢厂每年须减少的污染物排放量达到表1的要求时，方满足环保的要求.环保部门的空气清洁标准污染物每年须减少的污染物排放量（百万磅）微