概率论6一维离散型随机变量课件

一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布1

在前面的学习中,我们用字母A、B、C...表示事件，并视之为样本空间Ω的子集；针对等可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。本章，将用随机变量表示随机事件，以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象。

随机变量及其分布RandomVariableandDistribution在前面的学习中,我们用字母A、B、C...表示2随机变量基本思想将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果有些随机试验的结果可直接用数值来表示.例如:在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的可规定:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”RandomVariable有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化随机变量基本思想将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果3例

设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。取球结果为:两个白球;两个红球;一红一白

特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了对应关系如果用X表示取得的红球数，则X的取值可为0，1，2。此时，“两只红球”=“X取到值2”,可记为{X=2}

“一红一白”记为{X=1},“两只白球”记为{X=0}试验结果的数量化例设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白球；从中任意4一维随机变量(one-dimensionrandomvariable)定义——设随机试验的样本空间的每一个样本点均有唯一的实数与之对应，称为上的一维随机变量。如：掷骰子一颗，观察其点数。样本点表示“点数为”令与之对应，则是一维随机变量。又如：观察一电子元件的寿命。样本点表示“寿命为小时”令与之对应，则也是一维随机变量。一维随机变量(one-dimensionrandomva5研究随机变量主要掌握的两个问题1）找出随机变量的所有可能取值；2）求出随机变量的概率规律.如：掷骰子一颗，取其向上面点数为随机变量X的所有可能取的值为X=1,2,3,4,5,6。其概率规律为？设Ｘ是随机变量，则它的取值规律称为Ｘ的概率分布（简称分布distribution）．随机变量的分布反映了随机事件出现的可能性的大小。研究随机变量主要掌握的两个问题1）找出随机变量的所有可能6一维随机变量的分布函数定义说明：设为随机变量，是任意实数，则称函数为随机变量的分布函数。分布函数的定义——1、分布函数实际上是一个概率，即随机变量小于等于的概率，也就是，表示落在内的概率。2、分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。一维随机变量的分布函数定义说明：设为随机变量，7随机变量的分布函数有以下重要性质：1、单调不减性：2、右连续性：3、4、随机变量的分布函数有以下重要性质：1、单调不减性：2、右连续8设随机变量X的分布函数为：试求：（1）系数A与B；（2）X落在(-1,1]内的概率。解：（1）由设随机变量X的分布函数为：解：（1）由9一维离散型随机变量的分布若离散型随机变量X的所有可能取值为ai，而X取值ai的概率为pi，即如果随机变量的所有取值是有限或可数的，则称之为离散型随机变量。称为随机变量的分布密度或分布律或概率分布或概率函数。一维离散型随机变量的分布密度有以下重要性质：或：一维离散型随机变量的分布若离散型随机变量X的所有可能取10例

设X的分布律为求P(0<X≤2)P(0<X≤2)=P（X=1）+P（X=2）=1/2+1/6=2/3分布律确定概率例设X的分布律为求P(0<X≤2)P(0<X≤211求分布律举例例1设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示抽得的次品数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。解：X的可能取值为0，1，2=P(抽得的两件全为正品)P(X=1)P(X=2)=P(只有一件为次品)=P(抽得的两件全为次品)P(X=0)求分布律举例例1设有一批产品20件，其中有3件次品，12故X的分布律为而“至少抽得一件次品”=(X≥1)=(X=1)(X=2)P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)注意：(X=1)与(X=2)是互不相容的！

实际上，这仍是等可能概型的计算题，只是表达事件的方式变了故故X的分布律为而“至少抽得一件次品”=(X≥1)=(X=13解：由故X的分布律是：例2设随机变量X的分布律如下，求及X的分布函数。当时，当时，当时，当时，解：由故X的分布律是：例2设随机变量X的分布14......综上所述，......综上所述，15几种常见的一维离散型随机变量的分布律二点分布(0-1分布)△定义：

若随机变量X的分布律为:1－pp

P

01

X则称X服从参数为p的二点分布或(0-1)分布△背景：样本空间只有两个样本点的情况,都可以用两点分布来计算。如：抛硬币一次。几种常见的一维离散型随机变量的分布律二点分布(0-116

重复独立试验（n重贝努里试验）则恰好有一次出现点“6”的概率贝努里试验：每次试验只有两个结果的试验－出现和不出现。n次独立试验：n次试验条件不变，各次相互独立。例5掷骰子三次，求恰好有一次出现点“6”的概率。解：设表示第次出现点“６”，二项分布重复独立试验（n重贝努里试验）则恰好有一次出现点“617设在一次试验中事件Ａ出现的概率为X表示Ａ在次贝努里试验中出现的次数，X的分布律为：此分布称为二项分布。记作二项分布设在一次试验中事件Ａ出现的概率为X表示Ａ在18一级品数X的分布密度。若取出的零件中有一级品，求恰有例2一大批零件的一级品率是。从中任取4个，求取出的解：由于零件数目很多，故可将取4个零件视作4次贝努里试验。即一个一级品的概率。故所求概率为一级品数X的分布密度。若取出的零件中有一级品，求恰有例219若随机变量X的分布密度是：则称X服从泊松分布，记作泊松分布描述的是大量试验中稀有事件出现的次数的概率分布。其中参数正是试验次数与事件的概率之乘积（即事件出现的平均数）。所以它的一个重要应用是——则近似地，有若且较大,（），较小,（）即：，其中：若随机变量X的分布密度是：则称X服从泊松分布，记作泊20服务台在某时间段内接待的服务次数X；交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;矿井在某段时间发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从Poisson分布的实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从21已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从的泊松分布，分别求（1）每分钟内恰好接到3次呼唤的概率；（2）每分钟不超过4次的概率例3解已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从的泊松分22例4某商店出售某种贵重商品，根据以往经验，每月销售量服从参数为，的泊松分布，问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以99%的概率充分满足顾客的需要。

解：设月初库存件k，则

查本书后面的泊松分布表得：即月初进货时，要库存8件这种商品，才能以99%的概率充分满足顾客的需要。例4某商店出售某种贵重商品，根据以往经验，每月销售量解：设23解：400次上街400重Bernoulii实验记X为出事故的次数，则P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.98400-400（0.02)(0.98399)≈0.9972

=1-e-8-8e-8

≈0.9970

泊松定理

结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总会发生的！例：某人骑摩托车上街,出事故率为0.02，独立重复上街400次，求出事故至少两次的概率。解：400次上街400重Bernoulii实验记X为出24若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，则至少成功一次的概率为成功次数服从二项概率有百分之一的希望，就要做百分之百的努力若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，成功次数服从25几何分布（geometricdistribution）设在一次试验中，事件Ａ发生的概率为p(0<p<1)，则在n重贝努里试验中，事件Ａ在第k次试验中首次发生的概率为几何分布（geometricdistribution）设在26超几何分布（Hypergeometricdistribution）一批产品共有Ｎ件，其中Ｍ件次品．从中任意取出n(n≤Ｍ)件产品，则这n件产品中次品数Ｘ的分布律为应用于产品检验，药物试验等实际问题中可建立超几何分布的模型超几何分布（Hypergeometricdistribut27作业习题22，4，5，7，9作业习题228一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布29

在前面的学习中,我们用字母A、B、C...表示事件，并视之为样本空间Ω的子集；针对等可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。本章，将用随机变量表示随机事件，以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象。

随机变量及其分布RandomVariableandDistribution在前面的学习中,我们用字母A、B、C...表示30随机变量基本思想将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果有些随机试验的结果可直接用数值来表示.例如:在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的可规定:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”RandomVariable有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化随机变量基本思想将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果31例

设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。取球结果为:两个白球;两个红球;一红一白

特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了对应关系如果用X表示取得的红球数，则X的取值可为0，1，2。此时，“两只红球”=“X取到值2”,可记为{X=2}

“一红一白”记为{X=1},“两只白球”记为{X=0}试验结果的数量化例设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白球；从中任意32一维随机变量(one-dimensionrandomvariable)定义——设随机试验的样本空间的每一个样本点均有唯一的实数与之对应，称为上的一维随机变量。如：掷骰子一颗，观察其点数。样本点表示“点数为”令与之对应，则是一维随机变量。又如：观察一电子元件的寿命。样本点表示“寿命为小时”令与之对应，则也是一维随机变量。一维随机变量(one-dimensionrandomva33研究随机变量主要掌握的两个问题1）找出随机变量的所有可能取值；2）求出随机变量的概率规律.如：掷骰子一颗，取其向上面点数为随机变量X的所有可能取的值为X=1,2,3,4,5,6。其概率规律为？设Ｘ是随机变量，则它的取值规律称为Ｘ的概率分布（简称分布distribution）．随机变量的分布反映了随机事件出现的可能性的大小。研究随机变量主要掌握的两个问题1）找出随机变量的所有可能34一维随机变量的分布函数定义说明：设为随机变量，是任意实数，则称函数为随机变量的分布函数。分布函数的定义——1、分布函数实际上是一个概率，即随机变量小于等于的概率，也就是，表示落在内的概率。2、分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。一维随机变量的分布函数定义说明：设为随机变量，35随机变量的分布函数有以下重要性质：1、单调不减性：2、右连续性：3、4、随机变量的分布函数有以下重要性质：1、单调不减性：2、右连续36设随机变量X的分布函数为：试求：（1）系数A与B；（2）X落在(-1,1]内的概率。解：（1）由设随机变量X的分布函数为：解：（1）由37一维离散型随机变量的分布若离散型随机变量X的所有可能取值为ai，而X取值ai的概率为pi，即如果随机变量的所有取值是有限或可数的，则称之为离散型随机变量。称为随机变量的分布密度或分布律或概率分布或概率函数。一维离散型随机变量的分布密度有以下重要性质：或：一维离散型随机变量的分布若离散型随机变量X的所有可能取38例

设X的分布律为求P(0<X≤2)P(0<X≤2)=P（X=1）+P（X=2）=1/2+1/6=2/3分布律确定概率例设X的分布律为求P(0<X≤2)P(0<X≤239求分布律举例例1设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示抽得的次品数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。解：X的可能取值为0，1，2=P(抽得的两件全为正品)P(X=1)P(X=2)=P(只有一件为次品)=P(抽得的两件全为次品)P(X=0)求分布律举例例1设有一批产品20件，其中有3件次品，40故X的分布律为而“至少抽得一件次品”=(X≥1)=(X=1)(X=2)P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)注意：(X=1)与(X=2)是互不相容的！

实际上，这仍是等可能概型的计算题，只是表达事件的方式变了故故X的分布律为而“至少抽得一件次品”=(X≥1)=(X=41解：由故X的分布律是：例2设随机变量X的分布律如下，求及X的分布函数。当时，当时，当时，当时，解：由故X的分布律是：例2设随机变量X的分布42......综上所述，......综上所述，43几种常见的一维离散型随机变量的分布律二点分布(0-1分布)△定义：

若随机变量X的分布律为:1－pp

P

01

X则称X服从参数为p的二点分布或(0-1)分布△背景：样本空间只有两个样本点的情况,都可以用两点分布来计算。如：抛硬币一次。几种常见的一维离散型随机变量的分布律二点分布(0-144

重复独立试验（n重贝努里试验）则恰好有一次出现点“6”的概率贝努里试验：每次试验只有两个结果的试验－出现和不出现。n次独立试验：n次试验条件不变，各次相互独立。例5掷骰子三次，求恰好有一次出现点“6”的概率。解：设表示第次出现点“６”，二项分布重复独立试验（n重贝努里试验）则恰好有一次出现点“645设在一次试验中事件Ａ出现的概率为X表示Ａ在次贝努里试验中出现的次数，X的分布律为：此分布称为二项分布。记作二项分布设在一次试验中事件Ａ出现的概率为X表示Ａ在46一级品数X的分布密度。若取出的零件中有一级品，求恰有例2一大批零件的一级品率是。从中任取4个，求取出的解：由于零件数目很多，故可将取4个零件视作4次贝努里试验。即一个一级品的概率。故所求概率为一级品数X的分布密度。若取出的零件中有一级品，求恰有例247若随机变量X的分布密度是：则称X服从泊松分布，记作泊松分布描述的是大量试验中稀有事件出现的次数的概率分布。其中参数正是试验次数与事件的概率之乘积（即事件出现的平均数）。所以它的一个重要应用是——则近似地，有若且较大,（），较小,（）即：，其中：若随机变量X的分布密度是：则称X服从泊松分布，记作泊48服务台在某时间段内接待的服务次数X；交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;矿井在某段时间发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从Poisson分布的实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从49已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从的泊松分布，分别求（1）每分钟内恰好接到3次呼唤的概率；（2）每分钟不超过4次的概