理力16(动力学)-拉格朗日方程课件

第十六章

拉格朗日方程分析力学篇1第十六章拉格朗日方程分析力学篇1应用动力学普遍定理求解复杂的非自由质点系的动力学问题并不方便，由于约束的限制，各质点的坐标不独立，解题时必须用约束方程消去多余的坐标变分。如果先考虑约束条件，采用广义坐标表示动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目相同的一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变得简单，这就是著名的拉格郎日方程。第十六章拉格朗日方程2应用动力学普遍定理求解复杂的非自由质点系的动力学问题设有n个质点组成的质点系，受s个完整双侧约束§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件广义虚位移第十六章拉格朗日方程则该质点系有N

个自由度(N=3n-s)

，可由N个广义坐标q1，q2，...，qN确定其位置。质点系中任一质点Mi的矢径可表示为固定时间t，对ri取变分，可得Mi的虚位移——广义虚位移3设有n个质点组成的质点系，受s个完整双侧约虚功方程：广义力令则§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程——与广义坐标qk相对应的广义力4虚功方程：广义力令则§16-1以广义坐标表示的质点系平——广义坐标表示的虚功方程以广义坐标表示的质点系平衡条件§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程由于广义坐标的独立性（δqk可任意取值）则必需质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零5——广义坐标表示的虚功方程以广义坐标表示的质点系平衡条件§以广义坐标表示的质点系平衡条件§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程势力场中各有势力投影在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是系统势能在平衡位置处一阶变分为零——势能函数6以广义坐标表示的质点系平衡条件§16-1以广义坐标表示以广义坐标表示的质点系平衡条件§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程势力场中，以广义坐标表示势能函数在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是系统势能对于每个坐标的偏导数分别等于零。7以广义坐标表示的质点系平衡条件§16-1以广义坐标表示保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程保守系统的平衡条件：保守系统在平衡位置处势能取得极值8保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程9稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程10稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程11稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的不稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程12不稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示不稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程13不稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示随遇平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程14随遇平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程保守系统的平衡条件：保守系统在平衡位置处势能取得极值在稳定平衡的平衡位置处，系统势能具有极小值在不稳定平衡的平衡位置处，系统势能具有极大值单自由度系统：平衡条件稳定性判据15保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平据广义力定义广义力的计算方法其中，令则§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程利用广义虚位移任意性对于保守系统处于平衡状态据广义力定义广义力的计算方法其中，令则§16-1以广义

两均质杆，均长2l，均重P，用铰链连接，跨过半径为r的光滑圆柱体上，并位于同一铅直面内，求杆的平衡位置。解：由于两杆等长等重，平衡时他们的位置必对称，这样系统就只有一个自由度。以θ为广义坐标，C1、C2距O点的垂直距离：以过O点的水平面为零势面，则系统的平衡条件为：例题16-1例题第十六章拉格朗日方程17两均质杆，均长2l，均重P，由此解出θ。例题16-1例题第十六章拉格朗日方程18由此解出θ。例题16-1例题18

图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦，求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数f。解：系统具有2自由度。以sA、sB为广义坐标（1）当sA改变δsA而δsB=0（B不动），此时δsC=δsA/2例题16-2例题第十六章拉格朗日方程19图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O

（2）当sB改变δsB而δsA=0，此时δsC=δsB/2系统平衡时有QA=QB=0由QB=0得W=2P由QA=0得F=W/2=P例题16-2例题第十六章拉格朗日方程20（2）当sB改变δsB而δsA=0，此时δsC=§16-2第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程（拉格朗日方程）第十六章拉格朗日方程——质点系的动能其中——广义坐标——广义坐标qk对应的广义速度——广义坐标qk对应的广义力21§16-2第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程（拉格朗保守系统的拉格朗日方程第十六章拉格朗日方程引入拉格朗日函数保守系统中，主动力都是有势力即则§16-2第二类拉格朗日方程22保守系统的拉格朗日方程第十六章拉格朗日方程引入拉格朗

应用拉格朗日方程解题的步骤1.判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。2.计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。3.计算广义力（三种方法）4.建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。5.求出上述一组微分方程的积分。第十六章拉格朗日方程§16-2第二类拉格朗日方程23应用拉格朗日方程解题的步骤4.建立拉氏方程并加以在水平面运动的行星齿轮机构如图所示。匀质杆

OA

质量是

m1

，可绕铅直轴

O

转动，杆端

A

借铰链装有一质量是

m2，半径是

r

的匀质小齿轮，此小齿轮沿半径是

R

的固定大齿轮滚动。当杆

OA

上作用着转矩

MO时，求此杆的角加速度。MOROAxyC例题16-3例题第十六章拉格朗日方程24在水平面运动的行星齿轮机构如图所示。匀质杆例题16-3例题第十六章拉格朗日方程25例题16-3例题25解：系统的动能为MOROAxyC例题16-3例题第十六章拉格朗日方程

此机构只有一个自由度。取杆OA

的转角

为广义坐标，点A的速度为vA=(R+r)。小齿轮在固定的大齿轮上的啮合点C

是其速度瞬心，故小轮的角速度26解：系统的动能为MOROAxyC例题16-3例题广义力为得从而解得杆OA

的角加速度将上两式代入拉格朗日方程MOROAxyC例题16-3例题第十六章拉格朗日方程27广义力为得从而解得杆OA的角加速度将上两式代入拉格朗日方如图所示的椭圆摆，由滑块

A，细杆

AB

和摆锤

B

构成。滑块

A具有质量

m1，可沿光滑水平面自由滑动。摆锤

B

可看成质点且具有质量

m2

，由长l的无重细杆铰接在滑快上。杆可在铅直面内绕

A轴自由转动。试写出系统的运动微分方程。AB例题16-4例题第十六章拉格朗日方程28如图所示的椭圆摆，由滑块A，细杆A例题16-4例题第十六章拉格朗日方程29例题16-4例题29解：

此系统具有两个自由度，取滑块A

的坐标

x

和杆的转角

为广义坐标。系统的动能为ABm1gm2gvrvexyxO例题16-4例题第十六章拉格朗日方程30解：此系统具有两个自由度，取滑块A的求出各有关导数ABm1gm2gvrvexyxO例题16-4例题第十六章拉格朗日方程31求出各有关导数ABm1gm2gvrvexyxO例题求广义力。考虑到主动力只有重力，分别给出系统的虚位移x

和

，则有将以上结果代入拉格朗日方程例题16-4例题第十六章拉格朗日方程ABm1gm2gvrvexyxO32求广义力。考虑到主动力只有重力，分别给出系统的式(a)和(b)就是此系统的运动微分方程。即得ABm1gm2gvrvexyxO例题16-4例题第十六章拉格朗日方程33式(a)和(b)就是此系统的运动微分方程。即一不可伸长的绳子跨过小滑轮

D

，绳的一端系于匀质圆轮

A

的轮心

C

处，另一端绕在匀质圆柱体

B

上。轮A

重

W1

，半径是

R。圆柱

B重

W2，

半径是r

。轮

A

沿倾角为

的斜面作纯滚动，绳子倾斜段与斜面平行。滑轮

D

和绳子的质量不计，试求轮心

C和圆柱B

的中心

E

的加速度。CW1W2REDABryxAB例题16-5例题第十六章拉格朗日方程34一不可伸长的绳子跨过小滑轮D，绳的一端例题16-5例题第十六章拉格朗日方程35例题16-5例题35解:

系统具有两个自由度。我们选取

x1=DC

和

y=yE作为系统的广义坐标。于是系统的动能为式中

A和

B分别是圆轮

A和圆柱体

B的角速度。根据运动学关系可知将

A和

B代入动能表达式，并考虑到CW1W2REDABryxABx1yE例题16-5例题第十六章拉格朗日方程36解:系统具有两个自由度。我们选取x1=则有

圆轮A作纯滚动，摩擦力不做功。系统的主动力只有重力

W1

和

W2，因此，系统的势能为写出系统的拉格朗日函数CW1W2REDABryxABx1yE例题16-5例题第十六章拉格朗日方程37则有圆轮A作纯滚动，摩擦力不做功。系统的求解式(a)和(b)，得即得系统的运动微分方程它们分别是轮心

C和圆柱

B的中心

E的加速度。将

L代入拉氏方程例题16-5例题第十六章拉格朗日方程38求解式(a)和(b)，得即得系统的运动微分方程它们

作业第十六章拉格朗日方程下册3-123-1339作业第十六章拉格朗日方程下册39第十六章

拉格朗日方程分析力学篇40第十六章拉格朗日方程分析力学篇1应用动力学普遍定理求解复杂的非自由质点系的动力学问题并不方便，由于约束的限制，各质点的坐标不独立，解题时必须用约束方程消去多余的坐标变分。如果先考虑约束条件，采用广义坐标表示动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目相同的一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变得简单，这就是著名的拉格郎日方程。第十六章拉格朗日方程41应用动力学普遍定理求解复杂的非自由质点系的动力学问题设有n个质点组成的质点系，受s个完整双侧约束§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件广义虚位移第十六章拉格朗日方程则该质点系有N

个自由度(N=3n-s)

，可由N个广义坐标q1，q2，...，qN确定其位置。质点系中任一质点Mi的矢径可表示为固定时间t，对ri取变分，可得Mi的虚位移——广义虚位移42设有n个质点组成的质点系，受s个完整双侧约虚功方程：广义力令则§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程——与广义坐标qk相对应的广义力43虚功方程：广义力令则§16-1以广义坐标表示的质点系平——广义坐标表示的虚功方程以广义坐标表示的质点系平衡条件§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程由于广义坐标的独立性（δqk可任意取值）则必需质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零44——广义坐标表示的虚功方程以广义坐标表示的质点系平衡条件§以广义坐标表示的质点系平衡条件§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程势力场中各有势力投影在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是系统势能在平衡位置处一阶变分为零——势能函数45以广义坐标表示的质点系平衡条件§16-1以广义坐标表示以广义坐标表示的质点系平衡条件§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程势力场中，以广义坐标表示势能函数在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是系统势能对于每个坐标的偏导数分别等于零。46以广义坐标表示的质点系平衡条件§16-1以广义坐标表示保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程保守系统的平衡条件：保守系统在平衡位置处势能取得极值47保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程48稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程49稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程50稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的不稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程51不稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示不稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程52不稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示随遇平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程53随遇平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程保守系统的平衡条件：保守系统在平衡位置处势能取得极值在稳定平衡的平衡位置处，系统势能具有极小值在不稳定平衡的平衡位置处，系统势能具有极大值单自由度系统：平衡条件稳定性判据54保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平据广义力定义广义力的计算方法其中，令则§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程利用广义虚位移任意性对于保守系统处于平衡状态据广义力定义广义力的计算方法其中，令则§16-1以广义

两均质杆，均长2l，均重P，用铰链连接，跨过半径为r的光滑圆柱体上，并位于同一铅直面内，求杆的平衡位置。解：由于两杆等长等重，平衡时他们的位置必对称，这样系统就只有一个自由度。以θ为广义坐标，C1、C2距O点的垂直距离：以过O点的水平面为零势面，则系统的平衡条件为：例题16-1例题第十六章拉格朗日方程56两均质杆，均长2l，均重P，由此解出θ。例题16-1例题第十六章拉格朗日方程57由此解出θ。例题16-1例题18

图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦，求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数f。解：系统具有2自由度。以sA、sB为广义坐标（1）当sA改变δsA而δsB=0（B不动），此时δsC=δsA/2例题16-2例题第十六章拉格朗日方程58图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O

（2）当sB改变δsB而δsA=0，此时δsC=δsB/2系统平衡时有QA=QB=0由QB=0得W=2P由QA=0得F=W/2=P例题16-2例题第十六章拉格朗日方程59（2）当sB改变δsB而δsA=0，此时δsC=§16-2第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程（拉格朗日方程）第十六章拉格朗日方程——质点系的动能其中——广义坐标——广义坐标qk对应的广义速度——广义坐标qk对应的广义力60§16-2第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程（拉格朗保守系统的拉格朗日方程第十六章拉格朗日方程引入拉格朗日函数保守系统中，主动力都是有势力即则§16-2第二类拉格朗日方程61保守系统的拉格朗日方程第十六章拉格朗日方程引入拉格朗

应用拉格朗日方程解题的步骤1.判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。2.计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。3.计算广义力（三种方法）4.建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。5.求出上述一组微分方程的积分。第十六章拉格朗日方程§16-2第二类拉格朗日方程62应用拉格朗日方程解题的步骤4.建立拉氏方程并加以在水平面运动的行星齿轮机构如图所示。匀质杆

OA

质量是

m1

，可绕铅直轴

O

转动，杆端

A

借铰链装有一质量是

m2，半径是

r

的匀质小齿轮，此小齿轮沿半径是

R

的固定大齿轮滚动。当杆

OA

上作用着转矩

MO时，求此杆的角加速度。MOROAxyC例题16-3例题第十六章拉格朗日方程63在水平面运动的行星齿轮机构如图所示。匀质杆例题16-3例题第十六章拉格朗日方程64例题16-3例题25解：系统的动能为MOROAxyC例题16-3例题第十六章拉格朗日方程

此机构只有一个自由度。取杆OA

的转角

为广义坐标，点A的速度为vA=(R+r)。小齿轮在固定的大齿轮上的啮合点C

是其速度瞬心，故小轮的角速度65解：系统的动能为MOROAxyC例题16-3例题广义力为得从而解得杆OA

的角加速度将上两式代入拉格朗日方程MOROAxyC例题16-3例题第十六章拉格朗日方程66广义力为得从而解得杆OA的角加速度将上两式代入拉格朗日方如图所示的椭圆摆，由滑块

A，细杆

AB

和摆锤

B

构成。滑块

A具有质量

m1，可沿光滑水平面自由滑动。摆锤

B

可看成质点且具有质量

m2

，由长l的无重细杆铰接在滑快上。杆可在铅直面内绕

A轴自由转动。试写出系统的运动微分方程。AB例题16-4例题第十六章拉格朗日方程67如图所示的椭圆摆，由滑块A，细杆A例题16-4例题第十六章拉格朗日方程68例题16-4例题29解：

此系统具有两个自由度，取滑块A

的坐标

x

和杆的转角

为广义坐标。系统的动能为ABm1gm2gvrvexyxO例题16-4例题第十六章拉格朗日方程69解：此系统具有两个自由度，取滑块A的求出各有关导数ABm1gm2gvrvexyxO例题16-4例题第十六章拉格朗日方程70求出各有关导数ABm1gm2gvrvexyxO例题求广义力。考虑到主动力只有重力，分别给出系统的虚位移x

和

，则有将以上结果代入拉格朗日方程例题16-4例题第十六章拉格朗日方程ABm1gm2gvrvexyxO71求广义力。考虑到主动力只有重力，分别给出系统的式(a)和(b)就是此系统的运动