最大似然估计课件

第十四讲参数估计

本次课结束第五章并讲授第六章点估计下次课讲授区间估计并结束第六章，讲授第七章假设检验第一节下次上课时交作业：P61—P62重点：点估计难点：点估计的计算1第十四讲参数估计本次课结束服从正态分布1.样本均值即2.统计量3.统计量五、单个正态总体统计量的分布定理:设总体4.统计量第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识2服从正态分布1.样本均值即2.统计量3.统计量五、单个正态设总体抽取容量为9的样本，求样本均值

与总体之差的绝对值小于2的概率，如果（1）若已知σ=4;（2）若σ未知,但已知样本方差的观测值例题13-5-1解（1）第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识3设总体抽取容量为9的样本，求样本均值与总体之差的（2）397.1)8(10.0=t（1）设总体抽取容量为16的样本（2）例题13-5-2第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识4（2）397.1)8(10.0=t（1）设总体抽取容量为(2)解(1)第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识5(2)解(1)第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识5五、两个正态总体的统计量的分布从总体X中抽取容量为的样本从总体Y中抽取容量为的样本假设所有的试验都是独立的，所以样本及都是相互独立的.样本均值：样本方差：第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识定理6设总体则6五、两个正态总体的统计量的分布从总体X中抽取容量为第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识推论设总体则～定理7设总体则其中7第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识推论设总体则～定理∴统计量U与也是独立的。第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识8∴统计量U与也是独立的。第十三讲：中心极限定理数理统计定理8设总体则第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识定理9则设总体9定理8设总体则第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识定理9P2第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识例题13-5-110P2第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识例题13-5-11第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识解（1）（2）11第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识解（1）（2）11例：若总体X的分布函数为F(x,θ)，而θ未知，如何利用总体样本对θ进行估计。

取样本的一个函数则称未知参数θ的估计值，是θ的点估计量。定义：如果以它的观测值作为而称其观测值是θ的点估计值。背景：若总体X的分布类型已知，而未知的仅仅是其中的一个或几个参数，如何对总体分布的参数作出估计。参数估计一、点估计1.参数估计定义第十四讲参数估计12例：若总体X的分布函数为F(x,θ)，而θ未知，如何利用

2.求点估计值的方法——矩估计法为X的k阶原点矩。复习矩定义：设X是随机变量，则称第十四讲参数估计132.求点估计值的方法——矩估计法为X的k阶原点矩。复例题14-1-1解：因为总体X的概率密度第十四讲参数估计14例题14-1-1解：因为总体X的概率密度第十四讲参数估计因此解得θ的矩估计量而θ的矩估计值就是

设总体X服从正态分布,其中μ及σ是未知参数。如果取得样本观测值为,求参数μ及σ的矩估计值。例题14-1-2第十四讲参数估计15因此解得θ的矩估计量而θ的矩估计值就是[注]得μ

及σ

的矩估计值为

3.求点估计值的方法——最大似然法第十四讲参数估计16[注]得μ及σ的矩估计值为3.求点估计值的方法第十四讲参数估计17第十四讲参数估计17（3）求似然函数L(θ)的最大值.第十四讲参数估计18（3）求似然函数L(θ)的最大值.第十四讲参数估计18设总体X服从泊松分布P(λ),其中λ为未知参数。如果取得样本观测值为，求参数λ的矩（最大似然）估计值。例题14-1-3得λ的矩估计值为（1）令（2）似然函数令得λ的极大似然估计值为第十四讲参数估计19设总体X服从泊松分布P(λ),其中λ为未知参数。如果设总体X服从指数分布，概率密度为求参数λ的矩（最大似然）估计值.其中λ为未知参数。如果取得样本观测值为例题14-1-4(2)似然函数解（1）令得λ的矩估计值为第十四讲参数估计令20设总体X服从指数分布，概率密度为求参数λ的矩（最大似然）解：（1）矩估计：第十四讲参数估计得λ的最大似然估计值为14-1-5.（02,7分）设总体X的概率分布为：利用总体X的如下样本：3,1,3,0,3,1,2,3,求的矩估计值和最大似然估计值。21解：（1）矩估计：第十四讲参数估计得λ的最大似然估计第十四讲参数估计22第十四讲参数估计22（2）最大似然估计：.第十四讲参数估计23（2）最大似然估计：.第十四讲参数估计23二、衡量点估计量好坏的标准(1)无偏性为θ的无偏估计量。则称

定义证样本均值是总体均值μ的无偏估计值结论1第十四讲参数估计24二、衡量点估计量好坏的标准(1)无偏性为θ的无偏估∴是μ的无偏估计值，证结论2第十四讲参数估计25∴是μ的无偏估计值，证结论2第十四讲参数估计2例14-2-1

测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差(mm)如下：+2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4，求零件尺寸偏差总体的均值及方差的无偏估计值.解：根据无偏估计的两个重要结论：（2）有效性问题：第十四讲参数估计26例14-2-1解：根据无偏估计的两个重要结论：（2）有效性如果则称较有效.设及都是θ的无偏估计量，的值最小，则称是的有效估计值。如果对于给定的样本容量n，定义：方法：及都是μ的无偏估计量，但是例:（3）一致性（相合性）要求：当样本容量n无限增大时，估计量能在某种意义下充分接近被估计的参数.第十四讲参数估计27如果则称定义切比雪夫定理推论样本方差是总体方差的一致估计量.结论2证第十四讲参数估计28定义切比雪夫定理推论样本方差是总体方差∵当n→∞时，例题14-2-2第十四讲参数估计29∵当n→∞时，例题14-2-2第十四讲参数估计29第十四讲参数估计30第十四讲参数估计30第十四讲参数估计31第十四讲参数估计31第十四讲参数估计32第十四讲参数估计32三、正态总体参数的区间估计1.背景：第十四讲参数估计33三、正态总体参数的区间估计1.背景：第十四讲参数估计33三、正态总体参数的区间估计第十四讲参数估计34三、正态总体参数的区间估计第十四讲参数估计34置信区间表示估计结果的精确性，而置信水平则表示这一结果的可靠性。数θ的置信区间，称为参数θ的区间估计。对于已给的置信水平1-α，根据样本观测值来确定未知参

(1)设总体X～已知求参数μ的置信区间。样本函数则对于给定的α，引进临界值3.正态总体均值μ的区间估计(已给置信水平1-α)对于给定的α,

数可通过查附录表2求得.第十四讲参数估计35置信区间表示估计结果的精确性，而置信水平则表示这数θ例如，当α=0.05时，有即查表得

注意当自由度k∞时，t分布趋于标准正态分布N(0,1),所以对于给定的α有因此，查t分布表可得第十四讲参数估计36例如，当α=0.05时，有即查表得注意当自由度k第十四讲参数估计37第十四讲参数估计37第十四讲参数估计38第十四讲参数估计38第十四讲参数估计39第十四讲参数估计39使得即第十四讲参数估计40使得即第十四讲参数估计40上式表明，对应于置信水平1-α，总体均值μ的置信区间为这批零件直径的均值μ对应于置信水平0.95及0.99的置信区间。

例14-3-1

从一批零件中，抽取9个零件，测得其直径(毫米)为19.7，20.1，19.8，19.9，20.2，20.0，19.9，20.2，20.3。设零件直径服从正态分布,且已知σ=0.21(毫米),求对于置信水平1-α=0.95，解则α=0.05，查附录表4得

求置信区间，第一步要考察总体分布是否正态，方差是否已知？如本例总体正态，方差已知，此时根据置信度求第十四讲参数估计41上式表明，对应于置信水平1-α，总体均值μ的置信区间为这由得置信区间为20.01-0.14<μ<20.01+0.1419.87<μ<20.15即第十四讲参数估计42由得置信区间为20.01-0.14<μ<20.01由所以，置信区间为:19.83<μ<20.19（毫米）.同理，如果置信水平1-α=0.99，则α=0.01，查附录表4得

例14-3-2在上面的例子中，设未知σ，求零件均值μ对应于置信水平为0.95的置信区间已给置信水平1-α=0.95，则α=0.05，第一，正态总体，方差未知，则求出样本差s,先求解查表得第十四讲参数估计43由所以，置信区间为:19.83<μ<20.19（毫米）.同理自由度n=9-1=8，求得得置信区间为

19.85<μ<20.17（毫米）.第二，将置信区间所需要的数据列出第十四讲参数估计44自由度n=9-1=8，求得得置信区间为第十四讲参数估计

本次课结束第五章并讲授第六章点估计下次课讲授区间估计并结束第六章，讲授第七章假设检验第一节下次上课时交作业：P61—P62重点：点估计难点：点估计的计算45第十四讲参数估计本次课结束服从正态分布1.样本均值即2.统计量3.统计量五、单个正态总体统计量的分布定理:设总体4.统计量第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识46服从正态分布1.样本均值即2.统计量3.统计量五、单个正态设总体抽取容量为9的样本，求样本均值

与总体之差的绝对值小于2的概率，如果（1）若已知σ=4;（2）若σ未知,但已知样本方差的观测值例题13-5-1解（1）第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识47设总体抽取容量为9的样本，求样本均值与总体之差的（2）397.1)8(10.0=t（1）设总体抽取容量为16的样本（2）例题13-5-2第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识48（2）397.1)8(10.0=t（1）设总体抽取容量为(2)解(1)第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识49(2)解(1)第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识5五、两个正态总体的统计量的分布从总体X中抽取容量为的样本从总体Y中抽取容量为的样本假设所有的试验都是独立的，所以样本及都是相互独立的.样本均值：样本方差：第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识定理6设总体则50五、两个正态总体的统计量的分布从总体X中抽取容量为第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识推论设总体则～定理7设总体则其中51第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识推论设总体则～定理∴统计量U与也是独立的。第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识52∴统计量U与也是独立的。第十三讲：中心极限定理数理统计定理8设总体则第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识定理9则设总体53定理8设总体则第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识定理9P2第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识例题13-5-154P2第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识例题13-5-11第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识解（1）（2）55第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识解（1）（2）11例：若总体X的分布函数为F(x,θ)，而θ未知，如何利用总体样本对θ进行估计。

取样本的一个函数则称未知参数θ的估计值，是θ的点估计量。定义：如果以它的观测值作为而称其观测值是θ的点估计值。背景：若总体X的分布类型已知，而未知的仅仅是其中的一个或几个参数，如何对总体分布的参数作出估计。参数估计一、点估计1.参数估计定义第十四讲参数估计56例：若总体X的分布函数为F(x,θ)，而θ未知，如何利用

2.求点估计值的方法——矩估计法为X的k阶原点矩。复习矩定义：设X是随机变量，则称第十四讲参数估计572.求点估计值的方法——矩估计法为X的k阶原点矩。复例题14-1-1解：因为总体X的概率密度第十四讲参数估计58例题14-1-1解：因为总体X的概率密度第十四讲参数估计因此解得θ的矩估计量而θ的矩估计值就是

设总体X服从正态分布,其中μ及σ是未知参数。如果取得样本观测值为,求参数μ及σ的矩估计值。例题14-1-2第十四讲参数估计59因此解得θ的矩估计量而θ的矩估计值就是[注]得μ

及σ

的矩估计值为

3.求点估计值的方法——最大似然法第十四讲参数估计60[注]得μ及σ的矩估计值为3.求点估计值的方法第十四讲参数估计61第十四讲参数估计17（3）求似然函数L(θ)的最大值.第十四讲参数估计62（3）求似然函数L(θ)的最大值.第十四讲参数估计18设总体X服从泊松分布P(λ),其中λ为未知参数。如果取得样本观测值为，求参数λ的矩（最大似然）估计值。例题14-1-3得λ的矩估计值为（1）令（2）似然函数令得λ的极大似然估计值为第十四讲参数估计63设总体X服从泊松分布P(λ),其中λ为未知参数。如果设总体X服从指数分布，概率密度为求参数λ的矩（最大似然）估计值.其中λ为未知参数。如果取得样本观测值为例题14-1-4(2)似然函数解（1）令得λ的矩估计值为第十四讲参数估计令64设总体X服从指数分布，概率密度为求参数λ的矩（最大似然）解：（1）矩估计：第十四讲参数估计得λ的最大似然估计值为14-1-5.（02,7分）设总体X的概率分布为：利用总体X的如下样本：3,1,3,0,3,1,2,3,求的矩估计值和最大似然估计值。65解：（1）矩估计：第十四讲参数估计得λ的最大似然估计第十四讲参数估计66第十四讲参数估计22（2）最大似然估计：.第十四讲参数估计67（2）最大似然估计：.第十四讲参数估计23二、衡量点估计量好坏的标准(1)无偏性为θ的无偏估计量。则称

定义证样本均值是总体均值μ的无偏估计值结论1第十四讲参数估计68二、衡量点估计量好坏的标准(1)无偏性为θ的无偏估∴是μ的无偏估计值，证结论2第十四讲参数估计69∴是μ的无偏估计值，证结论2第十四讲参数估计2例14-2-1

测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差(mm)如下：+2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4，求零件尺寸偏差总体的均值及方差的无偏估计值.解：根据无偏估计的两个重要结论：（2）有效性问题：第十四讲参数估计70例14-2-1解：根据无偏估计的两个重要结论：（2）有效性如果则称较有效.设及都是θ的无偏估计量，的值最小，则称是的有效估计值。如果对于给定的样本容量n，定义：方法：及都是μ的无偏估计量，但是例:（3）一致性（相合性）要求：当样本容量n无限增大时，估计量能在某种意义下充分接近被估计的参数.第十四讲参数估计71如果则称定义切比雪夫定理推论样本方差是总体方差的一致估计量.结论2证第十四讲参数估计72定义切比雪夫定理推论样本方差是总体方差∵当n→∞时，例题14-2-2第十四讲参数估计73∵当n→∞时，例题14-2-2第十四讲参数估计29第十四讲参数估计74第十四讲参数估计30第十四讲参数估计75第十四讲参数估计31第十四讲参数估计76第十四讲参数估计32三、正态总体参数的区间估计1.背景：第十四讲参数估计77三、正态总体参数的区间估计1.背景：第十四讲参数估计33三、正态总体参数的区间估计第十四讲参数估计78三、正态总体参数的区间估计第十四讲参数估计34置信区间表示估计结果的精确性，而置信水平则表示这一结果的可靠性。数θ的置信区间，称为参数θ的区间估计。对于已给的置信水平1-α，根据样本观测值来确定未知参

(1)设总体X～已知求参数μ的置信区间。样本函数则对于给定的α，引进临界值3.正态总体均值μ的区间估计(已给置信水平1-α)对于给定的α,

数可通过查附录表2求得.第十四讲参数估计79置信区间表示估计结果的精确性，而置信水平则表示这数θ例如，当α=0.05时，有即查表得

注意当自由度k∞时，t分布趋于标准正态分布N(0,1),所以对于给定的α有因此