复变函数的级数表示课件

主要内容：1、复数项级数及其敛散性2、幂级数3、泰勒级数4、洛朗级数第四章级数1主要内容：1、复数项级数及其敛散性2、幂级数3、泰勒级1、复数列的极限§1复数项级数定义1不收敛的数列称为发散数列.21、复数列的极限§1复数项级数定义1不收敛的数列称为发定理1证明3定理1证明3442、复数项级数级数前n项的和---级数的部分和---无穷级数定义2设复数列定义352、复数项级数级数前n项的和---级数的部分和---无穷级根据复数项级数收敛的定义，我们有定理2由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题.6根据复数项级数收敛的定义，我们有定理2由常见实级数敛散性判别法：1）比较法；2）比值法；3）根值法；4）交错级数的莱布尼兹判别法.注意：定理3的逆命题不成立！定理3注意经常应用定理3的逆否命题！性质7常见实级数敛散性判别法：1）比较法；2）比值法；3）根值法；定理4证明定理5由不等式*，我们得到8定理4证明定理5由不等式*，我们得到8定义49定义49解例210解例2101111§2幂级数1、函数项级数定义1设复变函数列：-----称为复变函数项级数；级数前n项的和-----级数的部分和；12§2幂级数1、函数项级数定义1设复变函数列：----2、幂级数定义2的函数项级数称为幂级数.132、幂级数定义2的函数项级数称为幂级数.13关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：定理1(----Abel定理）.,,)0(000级数必绝对收敛的

则对满足收敛在⑴若级数zzzzzzcnnn<¹=å¥=.,,00级数必发散的则对满足发散⑵若级数在zzzzz>=14关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：定理1(-级数皆收敛且绝对收敛.级数皆发散.z0收敛点0.xyz0发散点0.yx15级数皆收敛且绝对收敛.级数皆发散.z0收敛点0.xyz0发证明16证明16(2)用反证法，对于幂级数（1），请写出相应的阿贝尔定理.17(2)用反证法，对于幂级数（1），请写出相应的阿贝尔定理.13、幂级数的收敛圆与收敛半径由Abel定理，幂级数（3）的收敛情况不外乎下述三种情况：(1)对所有的z，级数(3)都收敛.(2

)仅在z=0处级数(3)收敛.

这时，级数(3)在复平面上除z=0外处处发散.183、幂级数的收敛圆与收敛半径由Abel定理，幂级数（3）的显然，<.否则，级数(3)将在处发散.:定理，在圆周由.)3(:)3(发散数外，级在圆周收敛；内，级数baba==zczcAbel19显然，<.否则，级数(3)将在处发散.:定理，在圆故20故20幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散.请分析幂级数(2)的收敛范围.如何求幂级数的收敛半径呢?我们先讨论下面的一个定理:21幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，请分析幂级数(22222323例1解所以24例1解所以24

综上思考题:提示:本题不能直接利用定理3（为什么？）.25综上思考题:提示:本题不能直接利用定理3（为什么？）.25例2求下列幂级数的收敛半径：解(1)26例2求下列幂级数的收敛半径：解(1)2627274、幂级数的性质

定理4---幂级数的逐项求导运算

实际上，幂级数在收敛圆内可以逐项求导至任意阶导数.284、幂级数的性质定理4---幂级数的逐项求导运算---幂级数的逐项积分运算注：定理4为今后将函数展开成幂级数提供了极大的方便.29---幂级数的逐项积分运算注：定理4为今后将函数展开成幂级数5、幂级数的运算与实幂级数一样，复幂级数也可以进行代数运算.

---幂级数的加、减运算则305、幂级数的运算与实幂级数一样，复幂级数也可以进行代数运算---幂级数的乘法运算（即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并同次幂系数.）注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成立.但这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上面两个级数中的较小一个收敛半径.31---幂级数的乘法运算（即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数---幂级数的代换(复合)运算在函数展成幂级数中很有用.例3解：注意到32---幂级数的代换(复合)运算在函数展例3解：注意到32所以代换展开还原33所以代换展开还原33本讲小结1、级数收敛的定义和性质2、Abel定理3、幂级数的收敛半径4、幂级数的性质34本讲小结1、级数收敛的定义和性质2、Abel定理3、幂级数的§3泰勒级数

我们知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的是解析函数，现在我们考虑与此相反的问题：一个解析函数是否能用幂级数来表示？1、泰勒展开定理对实函数而言，一个关键性条件是：应在展开点处具有任意阶导数.对于复变函数来说，由于解析函数具有任意阶的导数，所以这一条件是满足的.下面给出关于这一问题的结论.35§3泰勒级数我们知道一个幂级数的和函定理1（Taylor定理）Dk证明：36定理1（Taylor定理）Dk证明：36Dkz把上面的式子代入(2),并把它改写成下面的形式37Dkz把上面的式子代入(2),并把它改写成下面的形式37而(3)又可以写为38而(3)又可以写为3839394040事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:由此可见，解析函数展开成幂级数就是它的Taylor级数，因而是唯一的.41事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:由此可见，解析4242(1)直接法----利用公式;(2)间接法----由已知函数的展开式，运用级数的代数运算、分析运算等方法来展开.函数展开成Taylor级数的方法：例如43(1)直接法----利用公式;(2)间接法----由已知函数2、几个初等函数的泰勒展开式例1解:思考题:442、几个初等函数的泰勒展开式例1解:思考题:444545例2把下列函数展开成z的幂级数:解46例2把下列函数展开成z的幂级数:解46(2)因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,所以它的展开式的收敛范围为z<1.注：以上几个展式显然与相应的实函数展式一致.（逐项积分、求导，收敛半径不变）47(2)因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内例3解48例3解48若f(z)在z0解析，则f(z)可以在z0的某邻域

内展开成z-z0的幂级数.一个自然的问题是:如果在环域r<z-z0<R内解析，

f(z)能否用级数表示呢？§4洛朗(Laurent)级数

本节将讨论在以z0为中心的圆环形区域内解析的函数的级数表示法.它是后面研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础.49若f(z)在z0解析，则f(1、双边幂级数---含有正负幂项的级数定义具有如下形式的级数称为双边幂级数，正幂项(包括常数项)部分：负幂项部分：501、双边幂级数---含有正负幂项的级数定义具有如下形式级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R

，则当z-z0<R时，级数收敛;当z-z0>R时，级数发散.

51级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R，则当51z0rRz0Rr52z0rRz0Rr52

现在我们考虑相反的问题：在圆环内解析的函数能否展开成一个双边幂级数呢？这也是本节开始提出的问题.关于这个问题的答案是肯定的，这就是下面要讨论的洛朗定理.53现在我们考虑相反的问题：在圆环内解析的函数52、函数展开成双边幂级数定理)5()()(,:)(00则内解析在设.0的任何一条简单闭曲线内绕是zDczzczfRzzrDzfnnn-=<-<å¥-¥=542、函数展开成双边幂级数定理)5()()(,:)(00则内

(2)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点z0的去心邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么就利用洛朗（Laurent）级数来展开.级数（5）中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分.55(2)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点级由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可用间接法.在大多数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式.例1解：56由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可例1例2解：例357例2解：例357例4xyo12xyo12xyo1258例4xyo12xyo12xyo1258解:59解:5960606161