课件-第十章0-6公式新

10.6（Gauss）公式通量与散度公式公式的应用一、二、三、通量与散度四、小结公式把平面上的闭曲线积分与所围区域的二重积分联系起来.本节的

公式表达了空间闭曲面上的曲面积分与曲面所围空间区域上的三重积分的关系.它有明确的物理背景—通量与散度.

(Gauss)公式

通量与散度

设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数,则有公式x

y

z(P

Q

R)dv

Pdydz

Qdzdx

Rdxdy一、

公

式(

P

Q

R

)dvx

y

z

(

P

cos

Q

cos

R

cos

)dS这里是的整个边界曲面的外侧，cos

,cos

,cos是上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.或4证明思路分别证明以下三式,从而完成定理证明.(

)dvx

y

zP

Q

RΣ

Pdydz

Qdzdx

RdxdyΩΣ

RzdvR(

x,

y,

z)dxdy

PxΩdvΣ

Σ

P(

x,

y,

z)dydz

Q(

x,

y,

z)dzdx

QyΩdv只证其中第三式,其他两式可完全类似地证明.5zOx

yxz2

2

:

z

z

(

x,

y)

3

:母线平行于z轴的柱面.

1

:

z

z1

(

x,

y)ODxy(取下侧)(取上侧)(取外侧)nnyn(

)dvx

y

zP

Q

RΣ

Pdydz

Qdzdx

Rdxdy证

设空间区域Ω

在xOy面上的投影域为Dxy假设域Ω的边界曲面与任一平行坐标轴D的直线至多相交于两点三部分组成:6xzODxynnyn由三重积分的计算法投影法(先一后二法)

{R[

x,

y,

z2

(

x,

y)]

R[

x,

y,

z1

(

x,

y)]}dxdyDxydv

RzzR21z

(

x

,

y

)dzdxdyDxy

z

(

x

,

y

)DxydxdyR(

x,

y,

z)z

(

x

,

y

)2z1

(

x

,

y

)ΩΣRzdvR(

x,

y,

z)dxdy

7zODxynnyn由曲面积分的计算法

R(

x,

y,

z)dxdy

1

取下侧,

2取上侧,

3

取外侧Dxy

R[

x,

y,

z1

(

x,

y)]dxdy

R(

x,

y,

z)dxdy

R[

x,

y,

z2

(

x,

y)]dxdyDxy1

2

R(

x,

y,

z)dxdy

R(

x,

y,

z)cos

dS

0

32

:

z

z2

(

x,

y)Σ

ΩR

z

dv

R(

x,

y,

z)dxdy1

:

z

z1

(

x,

y)R(x,

y,

z)dxdy

xΣ1

Σ2

Σ3R(

x,

y,

z)dxdy

Σ

一投,二代,三定号

38于是

R(x,y,z)dxdyΣ

{R[

x,

y,

z2

(

x,

y)]

R[

x,

y,

z1

(

x,

y)]}dxdyDxyDxy{R[

x,

y,

z2

(

x,

y)]

R[

x,

y,

z1

(

x,

y)]}dxdy

zR

dv

所以ΩΣ

zRR(

x,

y,

z)dxdy

dv

x

P

dv

P(

x,

y,

z)dydz,同理

y

Q

dv

Q(

x,

y,

z)dzdx,

x

y

z

(P

Q

R)dv

Pdydz

Qdzdx

Rdxdy------------------

公式和并以上三式得：

(Gauss)公式

通量与散度

若区域Ω的边界曲面与任一平行于坐标轴的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的曲面把Ω分为有限个闭区域,使得每个闭区域满足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正公式对这样的闭区域仍是正好抵消.

因此,确的.(

)dvx

y

zP

Q

R由两类曲面积分之间的关系知

(

P

cos

Q

cos

Rcos

)dS公式为计算(闭)曲面积分提供了一个新途径,它能简化曲面积分的计算.Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.

(Gauss)公式

通量与散度

使用Guass公式时易出的差错:搞不清P,Q,R

是对什么变量求偏导;不满足

公式的条件,

用公式计算;

忽略了

的取向,注意是取闭曲面的外侧.x

y

zP

Q

R

)dv

(公式Pdydz

Qdzdx

Rdxdy

(Gauss)公式

通量与散度

二、应用例1

计算曲面积分

(

x

y)dxdy

(

y

z)

xdydz其中Σ为柱面x2

y2

1及平面z

0,z

3所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.xozy1解P

(

y

z)

x,

Q

0,R

x

y,Q

Rx

y

z,

y

0,

z

0,P

(r

sin

z)rdrddz原式

(y

z)dxdydz(利用柱面坐标得)2

9

.xzyo

1xyzOP

x3dzd2

2

2

3(

3

r

2

r

2

sin

drd

dxPR0004dd

r

sin

dr2

3

球例2

计算I

x3dydz

y3dzdx

z3dxdy,5512

R解(P

Q

R)dvx

y

zPdydz

Qdzdx

Rdxdy

因Σ是闭曲面,可利用

公式计算.

(Gauss)公式

通量与散度

使用Guass公式时应注意:P,Q,R是对什么变量求偏导数;是否满足

公式的条件;Σ是取闭曲面的外侧.xyzOn例3计算I

xdydz

ydzdx

zdxdy,x2

y2

z2a

a

3

3

dxdydz

3

4

a

3

4a

2a

I

1

xdydz

ydzdx

zdxdy点(x,y,z)在曲面上,可先用曲面方程将被积为球面x2

y2

z2

a2的外侧.解

能否直接用

公式

因被积函数中的函数化简，然后再用公式.

(Gauss)公式

通量与散度

公式.(将辅助面上的积分减去).对有的非闭曲面的曲面积分,有时可作辅助面,化为闭曲面的曲面积分,然后利用

(Gauss)公式

通量与散度

xy,其z中Σ为o例

4

计算曲面积分(

x2

cos

y2

cos

z

2

cos

)dS锥面x2

y2

z2介于平面z

0及z

h(h

0)之间的部分的下侧,

cos,cos,cos是Σ在(x,y,z)处的法向量的方向余弦.hDxyxyo

h解空间曲面在xoy

面上的投影域为Dxyz曲面不是封闭曲面,

为利用公式补充1

:

z

h

(

x

y

h

)

2

2

211取上侧

1构成封闭曲面

1围成空间区域

.在上使用 公式,

(

x2

cos

y2

cos

z2cos

)dS

(

x

y

z)dz,Dxy1hdxdyx2

y2

2

(

x

y

z)dv

2xy其中D

{(

x,

y)

|

x2

y2

h2

}.h

dxdy

x2

y2

(

x

y)dz

0,Dxy

(

x2cos

y2

cos

z2cos

)dS1

(h2

x2

y2

)dxdyxyD2

1

h4

.Dxyxyzo

h1

(

x2

cos

y2

cos

z2

cos

)dS

z2dS11

h2dxdy

h4

.Dxy故所求积分为

(

x2

cos

y2

cos

z2

cos

)dS2

1

h4

h42

1

h4

.例5

设

为曲面

z

2

x2

y2

,

1

z

2

取上侧,

求3

2

2

2(

x z

x)d

y

d

z

x

yz

d

z

d

x

x

z

d

x

d

y.I

解:作取下侧的辅助面1

:

z

1(

x,

y)

Dx

yI

1

1d

x

d

ydz2(

x

)d

x

d

yDxy

(1)2

01d

0

r

d

r202cos

d12

13ox1

yz

211用柱坐标:

x2

y2

1用极坐标xyzO解

x2

(如图)y

1

z2I

(8

y

1)xdydz

2(1

y2

)dzdx

4

yzdxdy(1

y

3)绕y轴旋转

x

0z

y

1其中是曲线2于

.计算曲面积分绕y轴旋转曲面方程为一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角

x

0z

y

1

(Gauss)公式

通量与散度

nxzOyy

1

z2

x2

dxdydz

P

Q

R

x

y

z

1

欲求I

(8

y

1)xdydz

2(1

y2

)dzdx

4

yzdxdy有

I

补1

:y

3,取右侧.

1

1nn公式0

31

2

d022d

dv

Dxz

(8

y

1

4

y

4

y)dxdydz31

z

x2

2dxdz

dyD

:

x2

z2

(

2)2zxdy

柱坐标

(Gauss)公式

通量与散度

02

2

(2

3

)d

2

.

2

(32

)

341求I

(8

y

1)xdydz

2(1

y2

)dzdx

4

yzdxdy补1

:y

3,取右侧12)2

32

16

(D

:

x2

z2

(

2)2zx00

2(1

32)dzdxDzx

16

dzdxDzx

(Gauss)公式

通量与散度

2

1

1

1故

I

27u

v

dxdydz

u

vy

y

z

z

x

x

u

v

x2

y2

2z2

,称为(Laplace)算子.v(x,y,z)沿Σ的外法线方向的方向导数,符号

2

2格林第一公式例设函数u(x,

y,z)和v(x,

y,z)在闭区域Ω上具有一阶及二阶连续偏导数,证明nv

uΔvdxdydz

u

dSn其中Σ是闭区域Ω的整个边界曲面,

为函数v28证因为方向导数n

x

y

zv

v

cos

v

cos

v

cos

cos

、cos

、cos

是Σ在点(x,y,z)处的外法线向量的方向余弦.于是曲面积分v

cos

dSz

vy

u

x

vnu

v

dS

cos

cos

z

y

x

u

v

cos

u

v

cos

u

v

cos

dS29nu

v

dS

z

y

u

v

cos

u

v

cos

u

v

cos

dS

Px

Q

R

z

z

x

y

y

x

u

v

u

v

u

v

dxdydzdxdydzu

v2

2v

uz

z

z

x

xu

v

u

x2

y

y

u

y22v

u

v

2vuΔvdxdydz

移项后,即证.

2

2x2

y2

z2

2z

z

u

v

x

x

u

v

u

vy

ydxdydz高斯公式三、物理意义----通量与散度

设

有向量场A(

x,

y,

z)

P(

x,

y,

z)i

Q(

x,

y,

z)

j

R(

x,

y,

z)k沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为1.通量的定义:

A

dS

A

n

dS

0

Pdydz

Qdzdx

Rdxdy称为向量场A(x,y,z)向正侧穿过曲面Σ的通量.31求向量场

A

yzj

z2k

穿过曲面

流向上侧例02

(2

y)2

(2z)2{0,2

y,2z}单位法向量:

n

设F

(

x,

y,

z)

y2

z2

1法向量:{Fx

,Fy

,Fz

}

{0,2

y,2z}

:

y2

z2

1n

0,,y2

z2

y2

z2

y

z

A

dSny的通量,其中

为柱面y2

z2

1(z

0)被平面x

0及x

1截下的有限部分.解

为了求曲面Σ上侧的单位法向量,

zxO(1,1)(1,1)32x

ydS

1

(z

)2

(z

)2

dxdy2

dxdy21

y

y

1

02

A

dSn

z

dSxyDdxdy2121

y1

y

dxdy

2.Dxy例求向量场A

yzj

z2k

穿过曲面

流向上侧的通量,其中

为柱面y2

z2

1(z

0)被平面x

0及x

1截下的有限部分.,y2

z2

y2

z2

y

z

n

0,

A

dSndxdy11

y2设有向量场A(x,y,z),在场内作包围点M的闭曲面

,

包围的区域为V

,记体积为V

.若当V

收缩成点M

时,

A

dSVV

M极限

lim

存在,则称此极限值为A

在点M

处的散度,记为divA

.2.散度的定义:3.散度在直角坐标系下的形式

y

z

x

n(

P

Q

R

)dv

A

dS

V

y

zV

x1

(

P

Q

R

)dv

1A

dSnV

1A