高数下-yaf高数课件

第七章空间解析几何与向量代数在平面解析几何中,曾通过坐标法把二维几何空间中的一些图形与方程对应起来,用代数方法研究了几何问题.本章把这种方法运用到三维几何空间,如下几个问题:向量、向量的一些运算;空间中的平面与直线;空间中的一些曲面和曲线;二次曲面.12第一节

向量及其线性运算向量概念向量的线性运算空间直角坐标系利用坐标作向量的线性运算向量的模

方向角小结

思考题

作业第七章空间解析几何与向量代数向量表示模长为1的向量.或

M M

01

2a0零向量模长为0的向量.

0单位向量a

或M1

M2以M1为起点,M2为终点的有向线段.向量的模

(module)

向量的大小.|

a

|或

|

M1

M

2

|M

2aM1一、向量概念(vector)向量

既有大小又有方向的量.

向量及其线性运算

3向量不考虑起点位置的向量.相等向量

大小相等且方向相同的向量.

aab负向量大小相等但方向相反的向量.

aa

向量及其线性运算

a记作

b4加法

a

b

c（平行四边形法则）若a‖b|

c

||

a

|

|

b

|分为同向和反向|

c

|

|

a

|

|

b

|5（平行四边形法则有时也称为三角形法则）(1)加法定义二、向量的线性运算1.向量的加减法

向量及其线性运算

aba

b特殊地abbacabbacb6(2)向量的加法符合下列运算规律交换律结合律

减法ab

b

bc

c

a

(b

)

a

b(3)减法定义a

b

a

(b

)a;

a

b

b

a

b

c

(a

b)

c

a

(b

c

);a

(a

)

0.c

向量及其线性运算

aba

ba

b7设是一个数,向量a与的乘积a

规定为

0,a与a

同向,|

a

|

|

a

|;

0,

0;a

0,a与a

反向,|

a

||

|

|

a

|.a2aa

1

2向量的“伸缩”2.向量与数的乘法(简称数乘运算)注向量a

与数

的乘积

a

为向量.

向量及其线性运算

(2)数与向量的乘积符合下列运算规律分配律(

)a

a

a;第一分配律第二分配律结合律

(

a)

(

a)()a;(

b)

b.a

a线性运算

向量及其线性运算

由向量a

与a平行,常用数乘运算说明两向量平行关系(两向量共线的充要条件):使b

.a则b∥

存在唯一的实数

,a定理1

设向量a

|

a

|aa0

|

a

|a

就是与

同方向的单位向量.记作a8错,向量不能比较大小,只有模才能比较大小.错,没有定义向量的除法.(1)

2i

jaa(2)a

0时,

1.选择题设向量互相平行,但是方向相反,则当a,

b|

a

||

b

|

0

时,必有(A

)(

A)|

b||

|

|

b|;

(B)|

a

b

||

a

|

|

b

|;a

a(C)|

a

b

||

a

|

|

b

|;(D)|下列命题是否正确

向量及其线性运算

9例b

3a

化简a

b

5

b

521

解b

3a

2

5b

a

b

5

1

2

5

1

(1

3)a

1

5

5

b2

2

5

a

b

向量及其线性运算

10例试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证CDAMBMADMCMMD

AAM

MD

MC

BMBBC结论得证.

AD

∥BC

且AD

BC

向量及其线性运算

11

a

b

c

0.证

a

b

c

,

b

c

a,

,为常数.上两式相减得：a

c

c

a

(1

)a

(1

)c,而a与c不共线.故只能1

0,且1

0.即

1,

1

a

b

c

0.设

a,b,c

均为非零向量,其中任意两个向量不共线,但

b

与c

共线,b

c

与a

共线.证明：a

向量及其线性运算

12横轴xy

纵轴z

竖轴空间直角坐标系,称Oxyz坐标系或[O;i

,j

,k

]坐标系.点O叫做坐标原点(或原点)三个坐标轴的正方向符合右手系即以右手握住

z轴,当右手的四个手指从正向x轴以

角度2转向正向y

轴时,大拇指的指向就是z轴的正向.三、空间直角坐标系1.空间点的直角坐标定点Oijk

向量及其线性运算

13ⅠⅢⅣⅤⅥⅧxyzO

向量及其线性运算

空间直角坐标系共有八个卦限xOy面yOz面zOx面ⅡⅦ14空间的点

11

有序数组(

x,

y,

z)

特殊点的表示:

坐标轴上的点

P,

Q,R,坐标面上的点

A,

B,

C,

O(0,0,0)

向量及其线性运算

OxA(

x,

y,0)15P(

x,0,0)zR(0,0,

z)

B(0,

y,

z)M

(

x,

y,

z)yQ

(0,

y,0)选择题点M(2,

-3,

1)关于坐标原点的对称点是(

A

);点M(2,

-3,

1)关于xOy面的对称点是(

C

)

;点M(2,

-3,

1)关于y

轴的对称点是(

B

).(A)

(-2,

3,

-1);(C)

(2,

-3,

-1);(B)

(-2,

-3,

-1);(D)

(-2,

3,1).

向量及其线性运算

1617P

d

M1

M2

?在直角三角形M1

NM2

和M1

PN中,用勾股定理22

2d

2

M1

P

x2

x1

,PN

y2

y1

,

NM

2

z2

z1

向量及其线性运算

2.空间两点间点的距离设M1

(x1

,y1

,z1

)、M2

(x2

,y2

,z2

)为空间两点.d

M

P

2

PN

2

NM

21

222

1

2

12

22

11

2z

z

x

y

y

M

M

x

空间两点间距离公式xyM1

P

PN

NM2zOM2M1RQNdx2d

OM

y2

z2

向量及其线性运算

向径

空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.OM

常用r

表示.21822

1

2

12121

2

z

z

y

yM

M

x

x

空间两点间距离公式特殊地

若两点分别为M

(

x,

y,

z)

,

O(0,0,0)PP1

x2

(

2)2

322PP

(1)2

12x2

11

2x2x2

PP1

2

PP2

11

2

2x2

x2

x

1所求点为(1,0,0),(1,0,0)

向量及其线性运算

例

设P在x轴上,它到点P1

(0,

2,3)的距离为到点P2

(0,1,1)的距离的两倍,求点P的坐标.解设P点坐标为(x,0,0)19201.两向量的夹角的概念a

0,

b

0ab

(a,b

)

(b,

)

(0

)a类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定它们的夹角可在0与

之间任意取值.

向量及其线性运算

向量a

与向量b

的夹角四、利用坐标作向量的线性运算的值,称为向量在轴u上的投影.轴u称为投影轴.21空间一点在轴上的投影u过点A作轴u的垂直平面,交点A

即为点A在轴u上的投影.

向量及其线性运算

空间一向量在轴上的投影已知向量的起点A和终点B在轴u上的投影分别为A,B那么轴u上的有向线段AB2.向量在轴上的投影AAA

BuAB22向量AB

在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：Pr

ju

AB

|

AB

|

cos(

AB)u

|

AB

|

cosProjection向量AB

在轴u上的投影记为Pr

ju

AB

AB投影性质1

向量及其线性运算

(

AB)u投影有正、负之分;注模只为正值.BAABuuB在该轴上的投影之和（.可推广到有限多个）

向量及其线性运算

投影性质2两个向量的和在轴上的投影等于两个向量Pr

ju

(a1

a2

)

Pr

ju

a1

Pr

ju

a2投影性质3Pr

ju

(a)

Pr

jua231O是轴u坐标原点,A、B坐标依次为u1,u2例

向量及其线性运算

的两个点.e是与轴u同方向的单位向量(如图),证明:AB

(u2

u1

)e

.证因点A的坐标为u1

,即OA

u1

,故OA

u1e,同理OB

u2e.于是AB

OB

OAuBA

O

u1

u2e2

u2e

u1e243.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标设a

M1

M2

为一向量,点M1

,M2在轴u上投影分别

向量及其线性运算

由向量M1

M2在轴u上的投影(M1

M2

)

au

.而P1

P2

OP2

OP1

u2

u1

.因此au

u2

u1

.如e

是与轴u正向一致的单位向量,可知:P1

P2

aue

(u2

u1

)e

.M1M2为点P1

,P2

.又设P1,P2在轴u

O上坐标分别为

u1

,u2

.P1(u1

)25P2(u2

)

u26a

axi

ay

j

azkay

y2

y1az

z2

z1

向量及其线性运算

PNQRa

M1

M2

,起点M1

(x1

,y1

,z1

),终点M2

(x2

,y2

,z2

)向量在x轴上的投影向量在y轴上的投影向量在z轴上的投影a

M1

M2

(

x2

x1

)i

(

y2

y1

)

j

(z2

z1

)k按基本单位向量的坐标分解式：ax

x2

x1

坐标向量的坐标表达式：a

M1

M2

(

x2

x1

,

y2

y1

,

z2

z1

)坐标坐标x轴分向量y轴分向量z轴分向量特殊地OM

(

x,

y,

z)xyzO1MM

2aijka

(ax

,

ay

,

az

)b

(bx

,

by

,

bz

)a

b

(ax

bx

,

ay

by

,

az

bz

)

(ax

bx

)i

(ay

by

)

j

(az

bz

)ka

b

(ax

bx

,

ay

by

,

az

bz

)

(ax

bx

)i

(ay

by

)

j

(az

bz

)ka

(ax

,

ay

,

az

)

(ax

)i

(ay

)

j

(az

)k

向量及其线性运算

4.利用坐标作向量的线性运算27按坐标表示式即为:(bx

,by

,bz

)

(ax

,

ay

,

az

)也即向量b与a

对应的坐标成比例:bx

bz

byax

ay

az当分母为零理解为分子也为零.注

向量及其线性运算

使b

a.由定理设向量则b∥

存在唯一的实数a28oxzABy

向量及其线性运算

例已知两点A(x1

,y1

,z1

)和B(x2

,y2

,z2

)以及实数

1,在直线AB上求点M,使AM

MB解设M

(x,y,z)为直线上的点,AM

(

x

x1

,

y

y1

,

z

z1

)MB

(

x2

x,

y2

y,

z2

z)(

x

x1

,

y

y1

,

z

z1

)

(

x2

x,

y2

y,

z2

z)1

x)

x

x1

x2

,2x

x

(

x1

同理,得

y

y1

y2

,

z

z1

z2

.1

1

M为有向线段AB的定比分点M290

,0

,0

.

向量及其线性运算

五、向量的模、方向角xy(direction angle

)非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称之为非零向量a的方向角：

、

、zOM1M

2a

30由图分析可知ax

|

a

|

cos

|

a

|

cos

yaaz

|

a

|

cos向量的方向余弦zyx2

a

2|

a

|

a

2

a

向量模长的坐标表示式221

12

M

RM1

M2

M1

P

M

Q

向量及其线性运算

(direction cosine

)方向余弦通常用来表示向量的方向.xyzO1MM

2a

P31QR322

2

2ax

ay

az

0

时，当,

cos

cos

zyx2

a

2a

2

aax22zyxaya

a

2

a22cos

x

y

zaza

a

a

2向量方向余弦的坐标表示式ax

|

a

|

cosay

|

aaz

|

a

|

cos方向余弦的特征

cos2

cos2

cos2

1|

a

|(cos,

cos

,

cos

)

a

ao特殊地

向量及其线性运算

|

a

|

62

72

(6)

2

11|

a

|a0i

j

k11

11

11a

6

7

6

或0aa

6|

a

|

11

11

116

7

i

j

k解所求向量有两个,一个与a

同向,一个与a

反向.

向量及其线性运算

|

a

|aoa33例

求平行于向量a

6i

7

j

6k

的单位向量的分解式.34

,

cos2

cos2

cos2

123

3cos

1

,

2222cos

1

,

cos

向量及其线性运算

例设有向量P1

P2

,已知|

P1

P2

|

2,它与x轴和y轴的3

41夹角分别为

和

,如果P

的坐标为(1,0,3),求P2的坐标.解设向量P1

P2

的方向角为

、

、341

2|

P

P

|cos

(

P1

P2

)xcos

2x

1

x

1

12

x

2,cos

y

0

y

0

2

22

y

2,P2的坐标为(2,2

22,4),

(2,

2,2).|

P1

P2

|

向量及其线性运算

11

2P

(1,0,3),

|

P

P |

2设P2的坐标为(x,y,z)|

P1

P2

|cos

|

P1

P2

|35z

3

z

3

1

z

4,

z

2,解

4(3i

5

j

8k

)

3(2i

4

j

7k

)

(5i

j

4k

)7

j

13i

15k

向量及其线性运算

36设

例

m

3i

5

j

8k

,

n

2i

4

j

7k

,p

5i

j

4k

,求向量a

4m

3n

p

x轴上的投影及在y轴上的分向量.a

4m

3n

p在x轴上的投影为ax

13,在y轴上的分向量为ay

j

17

j

.

向量及其线性运算

六、小结向量的概念（注意:与数量的区别与记法）向量的线性运算(平行四边形法则,三角形法则,注意数乘后的方向)空间直角坐标系(点、坐标轴、坐标面、卦限)(注意它与平面直角坐标系的区别)空间两点间距离公式2371