高数-上d-映射与函数

1第一章

函数与极限一、集合二、三、函数第一节与函数无限区间：(,);(,b];(,b);[a,);注：以后在不需要指明所说区间是否包含端点，以及是有限区间还是无限区间的场合，

就简单的称它为“区间”，且常用

I

表示.

2一、集合1.集合:具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成这个集合的事物称为该集合的元素.A

{a1

,a2

,

,an

}

有限集M

{P

P所具有的特征}

无限集2.区间：是特殊的实数集.有限区间：(a,

[a,(a,[a,

b).(a与b是两3.邻域:(1)定设a与

是两且

0,

则数集{

xx

a

δ}称为点a的δ邻域.

点a叫做这个邻域的中心，δ叫做该邻域的半径.记为：U(a,

)或Uδ

(a)或U(a).即U(a,

)

{x

x

a

δ}

{xa

δ

x

a

δ}

(a

δ,

a

δ).(2)几何意义:xaa

δa

δδ(3)点a的去心o

0δ记作：U

(a,

)或U

0

(a)或U

(a).0U(a,

)

{

x

0

x

a

δ}

(a

δ,a)(a,a

δ)a的左

邻域(a

,a)

；

a的右

邻域(a,a

)3o练习：U

(2,δ),U(2,δ)4.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,而数值变化的量称为变量.注意:

常量与变量是相对“过程”而言的.常量与变量的表示方法：通常用字母a,

b,

c等表示常量,用字母x,

y,t等表示变量.5.绝对值:

aa

aa

0a

0

(

a

0)x

a

(a

0)x

a

(a

0)绝对值不等式:

a

x

a;x

a

或

x

a;

a

b

a

b

a

b

.4定义域1.函数的定义:

设数集D

则称D

上的函数,记为y

f

(

x为定义在C

{(

x

,

y)

y

f

(

x)

,x

D}x(

D

[

a

,

b

]

)bxyO

a即Rf

f

(D)

{

y

y

f

(

x),

x

D}2.函数图形:5二、函数的概念当x

因D变时量,称f

(x)为函数自在变点量x处的函数值.记作：y函数值全体组成的数集称为函数的值域.记作:Rf

，f

(D)y3.说明：(1)函数的两要素:

定义域与对应法则.当两个函数的定义域及对应法则均相同时，则这两个函数相同，否则就是不同的.与变量用什么字母无关.即

y

f

(x),

u

f

(v),

s

f

(t)等均表示同一函数.x2

x

2如：f

(x)与g(x)

x

1是否相同？x

2x2

与g(x)

x是否相同？不同6f

(

x)

f

(x)

x2

sin2

x

cos2

x与g(t)

t

2

+1是否相同？相同不同(2)

记号

f

与f

表示自变量x与因变f

(x)表示与自变量x对应的函数值.为了方便,表示函数的记号除常用的f外，还可用其它的英文字母或希腊字母.如:G,F

,

,x,y为区别不同的函数，需用不同的记号来表示它们.(3)单值与多值：如果自变量在定义域内任取一个数值时,对应的函数值总是只有一个,这种函数叫做单值函数,否则叫做多值函数.例如，x2

y2

a2一般把多值函数附加条件后化为单值函数进行研究.78(4)定义域及其求法：有实际背景的函数要考虑实际意义；对于抽象地用算式表达的函数通常约定这种函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围.(自然定义域)在这个约定下,表示函数时,不必写出D，只用y

f

(

x)表示函数，如y

1

x2(5)表示法：列表法(便于查找但不完整)图像法(直观但 确)解析法(显,隐,参数方程,分段函数)(便于理论分析和推到,准确但不直观)定义：自变量在不同的范围内用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.三、几个特殊的函数举例1.常数函数y

2D

R,W

Rf

{2}图形是平行于x轴的一条直线.y

x2.

绝对值函数D

R,

Rf

[0,

)xy2oy

=

2yxoy

x9图形如图.

x即y

当x

0

x

当x

0

1y

sgn

x

0当x

0当x

01

当x

0

1由于对于一切x,关系式x

sgn

x

x

成立.为符号函数.它的定义域

D

(,),

值域W

{1,0,1},图形如上.3.

符号函数xyo110注意：分段函数指的是一个函数,而非几个函数.分段函数的定义域是将x的值并起来,值域也并起来.则称y4.

取整函数

函数[x]表示不超过x

的最大整数0[1.22]

1;

[π]

3;[0.95]

1;

[1]

[3.5]

4;

1,73如：[

]

一般地：y

n

,D

R,

Rf

Z图形称为阶梯曲线，而且在x的整数值处,图形发生跳跃,跳度为1.-4

–3

-2xy4321-1o

-1

1

2

3

4-2-3-4y

110y

D(

x)

1当x是有理数时当x是无理数时无理数点

有理数点•y1xo5.雷函数德国数学家

函数作了广义的论述：两个变量之间,只要有数值上的确定法则对应关系

,不管是否可用一个数学公式来表示对应关系，也不管是否能作出图像，均可认为是函数关系.12例1.

已知函数0

x

1x

1y

f

(

x)

2

x

,

1

x

,解:

f(x)

的定义域D

[0

,

),

值域

f

(D)

[0

,

)2f

(

).1

及

1t写出

f

(x)

的定义域及值域,

并求

f

(2),f

(

)1tf

( )

tt1

1

,

1

1t21

,

0

1

1txyOy

2

x1y

11t即

f

( )

t1

1

,

0

t

1t

12

,t则f

(2)

1

2

3221

213f

(

1

)

2四、函数的四种特性1.函数的有界性:

设函数y

f

(

x),

x

D,区间I

D.f

(x)在I上有界M

0使x

I,都有f

(x)

M

.f

(

x)在I

M

0,x0

I

,使得

f

(

x0

)

M

.x如：f

(x)

1在[1,2]上有界吗？1

1

1

2吗？x

x1

1说明：(1)界不唯一,不要求找最小的界.(2)还可定义有上界、有下界和

.容易数证K

明,使：有x界的I，充都分有必f要(x条)件K是既称有f

(上x)界在又I上有有下上界界数K(23,)使函数x的有I，界都性有是K局2

部

概f

(念x).称一f般(x的)在I上x

有下界

M

0,使f

(x)

M

,称f

(x)为有界函数.:存在;

:对于任意的.14M-Myxoy=f(x)I有界M-MyxoIx0(4)有界函数的图像特征:有界函数图像在两平行线之间.(5)曾学过的有界函数：y

sin

x,y

cos

x,y

arcsin

x,y

arctan

x等.152.

单调性

设函数y

f

(x),

x定义：

x1

,

x2

I

,

当x1

x2时若

f

(

x1

)

f

(

x2

),

称

f

(

x)为

I

上的单调增函数

;若

f

(

x1

)

f

(

x2

),

称

f

(为I

上的单调减函数;说明：(1)单调性与定义区间I

有关，也是局部概念.(2)

单调函数图像特点：(3)

判断方法:定义法;图像法;导数法.(4)这里是严格单调.2y

x

在(0,)内是单调增加的，增在：(上升,0；)内减是：下降.xyx1

x2I163.函数的奇偶性:定义：有1)f

(

x有2)f

(

x则称f(x)为偶函数.则称f(x)为奇函数.说明：(1)定义域关于原点对称，奇偶性是整体概念；如：y

x2在(0,)内是偶函数吗？不是17y

f

(x),x

D

,设D关于原点对称.y

tan

x在x

k

时是奇函数吗？是2奇偶函数的定义域不一定是R.若

f

(

x

在

x

=

0

有定义

,

则当f

(

x)为奇函数时,必有f

(0)

0.(4)偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称;偶函数

f

(

x)

f

(

x)yxf

(

x)y

f

(

x)ox-xf

(

x)f

(

x)yxf

(

x)ox-xy

f

(

x)函数按奇偶可分为四类:奇函数;偶函数;非奇非偶函数;既是奇函数又是偶函数.判断奇偶性的方法有：定义法;图像法;性质法.18奇函数f

(

x)

f

(x)

F

(

x).(2)G(例2.

判断下列函数的奇偶性(1)F

(

x)

f

(

x)

f

(

x);其中f

(x)定义在(a，a)上.解：(1)F

(

x)

f

(

x)

f

(x)

f

(x)所以，F(x)是偶函数.f

(

x)

f

(

x)

[

f

(

x)

f

(

x)]

G(

x).所以，G(x)是奇函数.说明:给定f

(x),x

(a,a)则

f

(

x)

f

(

x)

f

(

x)

f

(

x)

f

(

x)2偶函数192奇函数204.

周期性定义:

x

D,

T

0,且x

T

D,

若f

(

x

T

)

f

(

x)为周期函数

,称T为周期.则称f

(说明：周期函数的定义域是无限的点集.周期性是整体概念,是对整个定义域而言的.若有周期,则周期不唯一,以后说周期函数的周期指最小正周期.并非每个周期函数都有最小正周期.例如,

常量函数

f

(

x)

C任何一个实数都是它的周期，但没有最小正周期.设函数y

f

(x)x

Q,0x

Qc又如,

狄

雷函数D(

x)

1常见的周期函数：三角函数.判断周期函数的方法：定义法,性质法.结论：若f

(x)以T为

则f

(

x)以

T

为最小正周期，

0.2

TT22

3T23Tx是周期函数(无最小正周期)T

有理数(3)图像特点：周期性地重复出现.yo211.定义：由y

f

(x)

x

(

y),则称x

(

y)为y

f

(x)五、反函数的反函数

记作:x

f

1

(

y).

y

f

(x)叫直接函数.上：y

f

(

x)

x

f

1

(

y)

y

f

1

(

x)

,

x

f

(D)说明：结论:若f

,f

1均是单值的,则x

f

(D)时f

[f

1

(x)]

x；x

D

时f

1[f

(x)]

x.单值函数的反函数不一定单值.定理：y=f

(x)单调递增(减)其反函数且也单值单调递增(减).22(3)

y

f

(

x)与

x

f

1(

y)图像相同，但它们是不同的函数,函数

与其反函数y的图形关于直线对称.xyoyQ(b,a)直接函数y

fP(a,

b)反函数y

f(4)求反函数的步骤：分离x

f

1

(

y)交换x,y

y

f

1

(x),

x

f

(D)23y

f

(

x),

x

D,

1

x

0

x2例3.求y

ln

x

,解:当

1

x

0时y

则x

y

,

y

(

0,

1]当0

x

1时y

l则

x

ey

,

y故所求反函数为：y

ex

,

x

(

,

0]

x

,

x

(

0

,

1]定义域为:(

,1]111

(

0

,

1]

,

(

,

0

]

,0

x

1

的反函数及其定义域.yOx24六、复合函数定义：设有函数链y

f

(u),

u

D1且g(D)

D1①②则

y

f

[g(x)]

,

x

D

称为由①,②确定的复合函数.x:自变量；u:中间变量；y:因变量.注意:1)

构成复合函数的条件g(D)

D1不可少.所以不是任何两个函数都可以复

一个复合函数的;如：y

arcsin

u,u

2

x2

;

就构不成复合函数.y

2u

,u

3x

1

y

23

x1

.就是复合函数.252)

复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.2cos

x

.2如：由y

u,

u

cos

v,

v

x

复

的函数为y

分解复合函数时，必须分解为简单函数才算完成.如：y

arcsin(

3

x

1)

y

arcsin

u,

u

3x

1.y

ln

tan(3

x)y

ln

u,

u

tan

v,

v

3x.分解方法:从外到里.复合函数的定义域如何求？例如,

y

arc

y

arcsin

2

1

x222 1

x2

1且1

x

0

322] [

3

,

1

]

x

[1

,

26例4.

设函数

f

(

x)

3

x

1

,

x

1,

求f

[

f

(

x)]

.

x

,

x

1f

[

f

(

x)]

3

f

(

x)

1

,

f

(

x)

,f

(

x)

1x

09x

4

,

3(3x

1)

1

x

,3x

1

,

0

x

1解:x

换为f

(x)1

x

Qx

Qc

,求D(D(x)).练习：设D(x)

0答：D(D(x

)

1ox127y41y

f七、初等函数(1)

基本初等函数x2

,故为初等函数.可表为y

例如

,

y

x

,

x

,均为初等函数.y

xy

ax幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)

初等函数由常数及y基本s初in等x,函y数y经coa过s