平面解析几何复习课件5

第七节双曲线(一)第七章平面解析几何第七节双曲线(一)第七章平面解析几何1考纲要求1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．理解数形结合的思想.考纲要求1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道2课前自修知识梳理一、双曲线的定义1．我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为||AF1|-|AF2||=2a，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的第二定义(属知识拓展)：平面内，到定点F(±c,0)(或F(0，±c))的距离与到定直线l：x=±的距离之比是常数的动点的轨迹叫做双曲线，这个定点是双曲线的焦点，这条定直线叫做双曲线的准线，其中常数叫做双曲线的离心率．课前自修知识梳理一、双曲线的定义3二、双曲线的标准方程当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为=1(a>0，b>0)，其中焦点坐标为F1(c,0)，F2(-c,0)，且c2=a2+b2；当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为=1(a>0，b>0)，其中焦点坐标为F1(0，c)，F2(0，-c)，且c2=a2+b2.当且仅当双曲线的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准形式．二、双曲线的标准方程4三、双曲线的几何性质方程=1=1图形范围x≤-a或x≥a，y∈Ry≤-a或y≥a，x∈R对称性关于x轴，y轴及原点对称关于x轴，y轴及原点对称三、双曲线的几何性质方程=1=1图形范围x≤-a或x≥a，y5方程=1=1顶点A1(-a,0)，A2(a,0)B1(0，-a)，B2(0，a)离心率e=(e>1)e=(e>1)准线(属知识拓展)x=±y=±渐近线y=±xy=±xa，b，c的关系c2=a2+b2c2=a2+b2方程=1=1顶点A1(-a,0)，A2(a,0)B1(0，-6基础自测基础自测72.“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由ab<0，得a>0，b<0或a<0，b>0.由此可知a与b符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然．故选C.答案：C2.“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的(83．过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________．14＋83．过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，9平面解析几何复习课件510考点探究考点一求双曲线的标准方程【例1】设双曲线与椭圆=1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．思路点拨：由于椭圆的焦点坐标为(0，±3)，且双曲线与椭圆具有相同的焦点，知双曲线的焦点也为(0，±3)，从而知所设双曲线的形式应为=1，围绕定义产生的问题，要注意||AF1|-|AF2||=2a的三个量之间的关系．本题抓住“交点A”在双曲线上，必须满足定义，从而应用定义求出双曲线方程中的基本量．

考点探究考点一求双曲线的标准方程【例1】11平面解析几何复习课件512平面解析几何复习课件513点评：利用定义法来求解双曲线的标准方程时，一定要抓住题设所给出的独立条件建立a，b，c之间的等量关系，再利用c2=a2+b2运用方程的思想来求解，从而得到a，b的值．但需注意首先应判断焦点的位置，以便于采用哪种形式的方程．点评：利用定义法来求解双曲线的标准方程时，一定要抓住题设所给14变式探究1．(1)正三角形ABC的面积为4，顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，则以B，C为实轴顶点，A为虚轴一个端点的双曲线方程是____________．(2)(2011·长沙市二模)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．变式探究1．(1)正三角形ABC的面积为4，顶点A在15平面解析几何复习课件516考点二双曲线定义的运用【例2】(2011·沈阳市模拟)如图所示，F为双曲线C：=1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7-i关于y轴对称，则的值是()A．9B．16C．18D．27考点二双曲线定义的运用【例2】(2011·沈阳市模拟)如图17解析：设双曲线的右焦点为F′，因为双曲线C上的点Pi与P7－i(i＝1,2,3)关于y轴对称，所以|P1F′|＝|P6F|，|P2F′|＝|P5F|，|P3F′|＝|P4F|，由双曲线的定义知|P1F|－|P1F′|＝6，|P2F|－|P2F′|＝6，|P3F|－|P3F′|＝6，所以＝|P1F|－|P1F′|＋|P2F|－|P2F′|＋|P3F|－|P3F′|＝18.故选C.答案：C点评：当已知条件涉及双曲线的焦点时，优先考虑能否可用定义来解决，若能，它往往会起到降低难度，思路简洁的效果．解析：设双曲线的右焦点为F′，因为双曲线C上的点Pi与P7－182．(1)(2012·保定市质检)已知M(-2,0)，N(2,0)，|PM|-|PN|=3，则动点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线左边一支C．双曲线右边一支D．一条射线(2)设点P是双曲线=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|=3，则|PF2|等于________．变式探究2．(1)(2012·保定市质检)已知M(-2,0)，N(219解析：(1)∵|PM|－|PN|＝3<4，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支．又∵|PM|>|PN|，∴点P的轨迹为双曲线的右支．故选C.(2)由渐近线方程可得a2＝4，a＝2，根据双曲线定义||PF1|－|PF2||＝4，即3＝4，∴|PF2|＝7.答案：(1)C(2)7|PF2|－解析：(1)∵|PM|－|PN|＝3<4，由双曲线定义知，其20考点三利用双曲线定义求轨迹方程【例3】已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．考点三利用双曲线定义求轨迹方程【例3】已知圆C1：(x+321解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2-=1(x≤-1)．解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B22变式探究3．已知△ABC中，C(-2,0)，B(2,0)，sinB-sinC=sinA，则顶点A的轨迹方程是________________．解析：由正弦定理及sinB－sinC＝sinA得，|AC|－|AB|＝|BC|＜|BC|.由双曲线的第一定义知，顶点A的轨迹是以C，B为焦点，长轴长为2的双曲线的右支，∴c＝2，a＝1，∴b2＝c2－a2＝3.∴顶点A的轨迹方程为x2－＝1(x＞1)．答案：x2－＝1(x＞1)变式探究3．已知△ABC中，C(-2,0)，B(2,0)，s23考点四根据方程中的参数取值判断曲线的类型【例4】已知a∈[0，p)，试探究随a值的变化，方程x2sina+y2cosa=1所表示的曲线．解析：(1)a=0时，为两直线y=1和y=-1;(2)a=时，为两直线x=1和x=-1；(3)0<a<时，为焦点在x轴上的椭圆；(4)a=时，半径为的圆；(5)<a<时，焦点在y轴上的椭圆；(6)<a<p时，焦点在x轴上的双曲线．点评：本题主要考查圆、椭圆、双曲线方程的形式和分类讨论思想．考点四根据方程中的参数取值判断曲线的类型【例4】已知a∈[24变式探究4．(1)若k∈R，则方程=1表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是()A．-3<k<-2B．k<-3C．k<-3或k>-2D．k>-2(2)(2011·福州市模拟)方程=1表示曲线C，给出以下命题：①曲线C不可能为圆；②若1<t<4，则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则t<1或t>4；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1<t<.其中真命题的序号是______(写出所有正确的命题的序号)．变式探究4．(1)若k∈R，则方程25解析：(1)由题意可知，解得－3<k<－2.故选A.答案：(1)A(2)③④解析：(1)由题意可知，26课时升华本节的重点是双曲线的定义、方程，难点是理解参数a，b，c，e的关系．关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形结合、函数与方程的思想及等价转化的思想．为此在复习中应注意以下几点：1．双曲线的定义用代数式表示为||MF1|-|MF2||=2a，其中2a<|F1F2|，这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值，(2)2a<|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同．当|MF1|-|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|-|MF2|=-2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1，F2为端点向外的两条射线；当2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在．课时升华本节的重点是双曲线的定义、方程，难点是理解参数a，b272．双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如图)，它的三边长分别是a，b，c.易见c2=a2+b2，若记∠AOB=q，则e=.2．双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如图)，它的三边长分别283．参数a，b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a>0，b>0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a，b，c的关系是c2=a2+b2；在方程Ax2+By2=C中，只要AB<0且C¹0，就是双曲线的方程．4．在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.3．参数a，b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a>029感悟高考品味高考1．(2012·大纲全国卷)已知F1，F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=()A.B.C.D.感悟高考品味高考1．(2012·大纲全国卷)已知F1，302．设圆C与两圆(x+)2+y2=4，(x-)+y2=4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点，求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标．2．设圆C与两圆(x+)2+y2=4，(x-31(2)由已知可求得过M，F的直线l方程为y＝－2(x－)，将其代入L的方程得15x2－32x＋84＝0，解得x1＝，x2＝，故可求得l与L的交点坐标分别为T1，T2.因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故||MT1|－|FT1||＝|MF|＝2，||MT2|－|FT2||<|MF|＝2.若P不在直线MF上，在△MFP中有||MP|－|FP||<|MF|＝2.故||MP|－|FP||只在点P位于T1时取得最大值2.(2)由已知可求得过M，F的直线l方程为y＝－2(x－321．(2012·北京市西城区期末)若双曲线x2-ky2=1的一个焦点是(3,0)，则实数k=____________.高考预测1．(2012·北京市西城区期末)若双曲线x2-ky2=1的332．已知双曲线1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若=5，则双曲线的渐近线方程为()A．x±y=0B.x±y=0C．x±2y=0D．2x±y=0B2．已知双曲线1(a>0，b>34第七节双曲线(一)第七章平面解析几何第七节双曲线(一)第七章平面解析几何35考纲要求1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．理解数形结合的思想.考纲要求1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道36课前自修知识梳理一、双曲线的定义1．我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为||AF1|-|AF2||=2a，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的第二定义(属知识拓展)：平面内，到定点F(±c,0)(或F(0，±c))的距离与到定直线l：x=±的距离之比是常数的动点的轨迹叫做双曲线，这个定点是双曲线的焦点，这条定直线叫做双曲线的准线，其中常数叫做双曲线的离心率．课前自修知识梳理一、双曲线的定义37二、双曲线的标准方程当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为=1(a>0，b>0)，其中焦点坐标为F1(c,0)，F2(-c,0)，且c2=a2+b2；当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为=1(a>0，b>0)，其中焦点坐标为F1(0，c)，F2(0，-c)，且c2=a2+b2.当且仅当双曲线的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准形式．二、双曲线的标准方程38三、双曲线的几何性质方程=1=1图形范围x≤-a或x≥a，y∈Ry≤-a或y≥a，x∈R对称性关于x轴，y轴及原点对称关于x轴，y轴及原点对称三、双曲线的几何性质方程=1=1图形范围x≤-a或x≥a，y39方程=1=1顶点A1(-a,0)，A2(a,0)B1(0，-a)，B2(0，a)离心率e=(e>1)e=(e>1)准线(属知识拓展)x=±y=±渐近线y=±xy=±xa，b，c的关系c2=a2+b2c2=a2+b2方程=1=1顶点A1(-a,0)，A2(a,0)B1(0，-40基础自测基础自测412.“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由ab<0，得a>0，b<0或a<0，b>0.由此可知a与b符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然．故选C.答案：C2.“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的(423．过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________．14＋83．过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，43平面解析几何复习课件544考点探究考点一求双曲线的标准方程【例1】设双曲线与椭圆=1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．思路点拨：由于椭圆的焦点坐标为(0，±3)，且双曲线与椭圆具有相同的焦点，知双曲线的焦点也为(0，±3)，从而知所设双曲线的形式应为=1，围绕定义产生的问题，要注意||AF1|-|AF2||=2a的三个量之间的关系．本题抓住“交点A”在双曲线上，必须满足定义，从而应用定义求出双曲线方程中的基本量．

考点探究考点一求双曲线的标准方程【例1】45平面解析几何复习课件546平面解析几何复习课件547点评：利用定义法来求解双曲线的标准方程时，一定要抓住题设所给出的独立条件建立a，b，c之间的等量关系，再利用c2=a2+b2运用方程的思想来求解，从而得到a，b的值．但需注意首先应判断焦点的位置，以便于采用哪种形式的方程．点评：利用定义法来求解双曲线的标准方程时，一定要抓住题设所给48变式探究1．(1)正三角形ABC的面积为4，顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，则以B，C为实轴顶点，A为虚轴一个端点的双曲线方程是____________．(2)(2011·长沙市二模)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．变式探究1．(1)正三角形ABC的面积为4，顶点A在49平面解析几何复习课件550考点二双曲线定义的运用【例2】(2011·沈阳市模拟)如图所示，F为双曲线C：=1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7-i关于y轴对称，则的值是()A．9B．16C．18D．27考点二双曲线定义的运用【例2】(2011·沈阳市模拟)如图51解析：设双曲线的右焦点为F′，因为双曲线C上的点Pi与P7－i(i＝1,2,3)关于y轴对称，所以|P1F′|＝|P6F|，|P2F′|＝|P5F|，|P3F′|＝|P4F|，由双曲线的定义知|P1F|－|P1F′|＝6，|P2F|－|P2F′|＝6，|P3F|－|P3F′|＝6，所以＝|P1F|－|P1F′|＋|P2F|－|P2F′|＋|P3F|－|P3F′|＝18.故选C.答案：C点评：当已知条件涉及双曲线的焦点时，优先考虑能否可用定义来解决，若能，它往往会起到降低难度，思路简洁的效果．解析：设双曲线的右焦点为F′，因为双曲线C上的点Pi与P7－522．(1)(2012·保定市质检)已知M(-2,0)，N(2,0)，|PM|-|PN|=3，则动点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线左边一支C．双曲线右边一支D．一条射线(2)设点P是双曲线=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|=3，则|PF2|等于________．变式探究2．(1)(2012·保定市质检)已知M(-2,0)，N(253解析：(1)∵|PM|－|PN|＝3<4，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支．又∵|PM|>|PN|，∴点P的轨迹为双曲线的右支．故选C.(2)由渐近线方程可得a2＝4，a＝2，根据双曲线定义||PF1|－|PF2||＝4，即3＝4，∴|PF2|＝7.答案：(1)C(2)7|PF2|－解析：(1)∵|PM|－|PN|＝3<4，由双曲线定义知，其54考点三利用双曲线定义求轨迹方程【例3】已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．考点三利用双曲线定义求轨迹方程【例3】已知圆C1：(x+355解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2-=1(x≤-1)．解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B56变式探究3．已知△ABC中，C(-2,0)，B(2,0)，sinB-sinC=sinA，则顶点A的轨迹方程是________________．解析：由正弦定理及sinB－sinC＝sinA得，|AC|－|AB|＝|BC|＜|BC|.由双曲线的第一定义知，顶点A的轨迹是以C，B为焦点，长轴长为2的双曲线的右支，∴c＝2，a＝1，∴b2＝c2－a2＝3.∴顶点A的轨迹方程为x2－＝1(x＞1)．答案：x2－＝1(x＞1)变式探究3．已知△ABC中，C(-2,0)，B(2,0)，s57考点四根据方程中的参数取值判断曲线的类型【例4】已知a∈[0，p)，试探究随a值的变化，方程x2sina+y2cosa=1所表示的曲线．解析：(1)a=0时，为两直线y=1和y=-1;(2)a=时，为两直线x=1和x=-1；(3)0<a<时，为焦点在x轴上的椭圆；(4)a=时，半径为的圆；(5)<a<时，焦点在y轴上的椭圆；(6)<a<p时，焦点在x轴上的双曲线．点评：本题主要考查圆、椭圆、双曲线方程的形式和分类讨论思想．考点四根据方程中的参数取值判断曲线的类型【例4】已知a∈[58变式探究4．(1)若k∈R，则方程=1表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是()A．-3<k<-2B．k<-3C．k<-3或k>-2D．k>-2(2)(2011·福州市模拟)方程=1表示曲线C，给出以下命题：①曲线C不可能为圆；②若1<t<4，则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则t<1或t>4；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1<t<.其中真命题的序号是______(写出所有正确的命题的序号)．变式探究4．(1)若k∈R，则方程59解析：(1)由题意可知，解得－3<k<－2.故选A.答案：(1)A(2)③④解析：(1)由题意可知，60课时升华本节的重点是双曲线的定义、方程，难点是理解参数a，b，c，e的关系．关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形结合、函数与方程的思想及等价转化的思想．为此在复习中应注意以下几点：1．双曲线的定义用代数式表示为||MF1|-|MF2||=2a，其中2a<|F1F2|，这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值，(2)2a<|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同．当|MF1|-|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|-|MF2|=-2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1，F2为端点向外的两条射线；当2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在．课时升华本节的重点是双曲线的定义、方程，难点是理解参数a，b612．双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如图)，它的三边长分别是a，b，c.易见c2=a2+b2，若记∠AOB=q，则e=.2．双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如图)，它的三边长分别623．参数a，b是双曲线