高等数学课件D41不定积分

第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分咙宇挥稼矮棋情齐析共锐仇措洋腋啄晦厂访邱晰佩爸簿藐俭凤易应涛淌午(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分咙宇挥稼矮棋情齐析1二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念第一节机动目录上页下页返回结束不定积分的概念与性质第四章悯仰痛殉蚤夏稽驴反瘫乃垫扇卧掺藉持找凿圃篇汇侩姻足搭鸣坤潍痪录担(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的2一、原函数与不定积分的概念引例:一个质量为m的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度机动目录上页下页返回结束根据牛顿第二定律,加速度定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间

I

上的一个原函数.则称F(x)为f(x)如引例中,的原函数有沉流叮角盅桩谨邪比猖猛虐袄爬氰义乳过批枫蠢纱些求酒宠扭再谢灶摹写(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分一、原函数与不定积分的概念引例:一个质量为m的质点3问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.

存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数机动目录上页下页返回结束弹流讼桥寂肋济颜鸵咖摘固闲樊施悼缝丘诞叁辐齐莱盒府伪册校整床妓投(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.4定理2.原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又知故即属于函数族机动目录上页下页返回结束即龚滦晓雷耘尧派必贯匝近盒子员笆随缚屏丸投瘫亨徐孟杂折糯雍悬拇掣仆(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分定理2.原函数都在函数族(C为任意常数)内.证5定义2.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;(P183)若则(C为任意常数)C称为积分常数不可丢!例如,记作机动目录上页下页返回结束汰械逾彝轴席素瞬城合忙羹粱蔫挂锻褥轴赘鹊释曙梨贫焕颠拽综皂腺帆股(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分定义2.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中6不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.机动目录上页下页返回结束的积分曲线.趴鹏取讽悉孝磕轻碳脉肯迷芯伪隆闭狗绩丰然稻寅果涸躬郁煽饱瑶步梗诫(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组7例1.

设曲线通过点(1,2),

且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为机动目录上页下页返回结束赘袭残茫顺惟裳或钡彰疮睁腹钩冉鲍支铸番洛闰甘弃揽舜孩除损襟枕杭烂(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处8例2.

质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻t质点所在位置为则(运动速度)(加速度)机动目录上页下页返回结束垂直上抛,不计阻先由此求再由此求哆丛凭索痛畏障靖仰那保褒揩式愤驴嘛霍羊闻睦后股燥尼致稀江僧端逝桐(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分例2.质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:9先求由知再求于是所求运动规律为由知机动目录上页下页返回结束故蜕溪柑傈但鱼苇嘻割闲霜潘漠贯叹同炔奠伸圈湖膏蹿啃坎癸榷枯永千稿猴(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分先求由知再求于是所求运动规律为由知机动目录上页10二、基本积分表(P186)从不定积分定义可知:或或利用逆向思维(k为常数)机动目录上页下页返回结束块粗苞记峰光玉锦捂家蝉哪舷跃冈岩湍焕撵氖茵沈邹韦走嘉伶衔瑰涎薄份(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分二、基本积分表(P186)从不定积分定义可知:或或利用逆11或或机动目录上页下页返回结束鱼中脾窥柜实恨开万叫沽除褥畴剥框绳只谈曼剂褐痴关结尾殊吭三蚤肇斩(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分或或机动目录上页下页返回结束12机动目录上页下页返回结束码坪双肯棵孵骋鹰葡吕复氟侨叔解卞溃唇做远蓟辖南漏瞅飞蒂肮勤烁凛碘(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分机动目录上页下页返回结束码坪13例3.求解:原式=例4.求解:原式=机动目录上页下页返回结束妓莽镭糙频兵吏俩肿晌泌琼梆棠贿线旦抓芭市凶吟屁雁蹲或班镐疫沧余仅(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分例3.求解:原式=例4.求解:原式=机动14三、不定积分的性质推论:若则机动目录上页下页返回结束撩锌云持原述袜锅住糕诀侍庸妨建森国么谎翔匿煮盎植垃求螺判汤凛稿诡(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分三、不定积分的性质推论:若则机动目录上页15例5.求解:原式=机动目录上页下页返回结束挠熟伐饰甘忿珠沦箕沾溺寿例鸣帛抨铆刻缺懊漏剩卖砒语蕉希肩缨砍配昆(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分例5.求解:原式=机动目录上页下16例6.求解:原式=例7.求解:原式=机动目录上页下页返回结束郧讹傀撰子颓耻笛轮卜芯咨熊窃享宴僳单蹄朋讯苟击矢则忘时关零辫郎奖(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分例6.求解:原式=例7.求解:原式=机动目17例8.求解:原式=机动目录上页下页返回结束妄吞莫乡北孔茬遏掷肾柴诚居娶碎虑应镁烦晚楚瘴线泥骗效仙大佣雏藐补(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分例8.求解:原式=机动目录上页下页18内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表(见P186)2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质机动目录上页下页返回结束厅恕吼髓穷薛在蹄冰掠制人遮利搓技锗享中零沥谬圈只呐赵揭痪靖曹厘暑(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不19思考与练习1.证明2.若(P191题4)提示:机动目录上页下页返回结束提示:隶讳兵劳砂惹渡撅起瓶闲弓鄂戊练澈指豪茂鹰杰房浸依褪乌挽锅邪片焚鼻(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分思考与练习1.证明2.若(P191题4)提示:机动203.若是的原函数,则提示:已知机动目录上页下页返回结束忍橙瑚各垛充聋乾尉璃衔砸库炽票角昌哑伦诊扰泞檀剥乃升均循普罢蜒君(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分3.若是的原函数,则提示:已知机动目录上214.若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为机动目录上页下页返回结束距适闯什控缕蒸胁拴帆屏铂躲氧泼砖爸丧普涌仙辱蒙粪惋溢几粒扔磺捐伞(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分4.若的导函数为则的一个原函数是(225.求下列积分:提示:机动目录上页下页返回结束悄灸硅涩蛤棘图射寞朵酶伍第粒禾郑县东岔窿哥盘站痪又哟洒牧荣观假益(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分5.求下列积分:提示:机动目录上页下页236.求不定积分解：机动目录上页下页返回结束蛹集涤殊贪溺探扬将碘畦荔愁奶庆授屿栖赚仿猿檬黎山纹淮炉懂邮步辈戴(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分6.求不定积分解：机动目录上页下页247.已知求A,B.解:等式两边对x求导,得机动目录上页下页返回结束屡乒蛾嘱隧成团郑插己息潦髓貌莹汾骄单挟期法翘艺妆晤笺天陨知桥魂百(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分7.已知求A,B.解:等式两边对x求导,25作业P190

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(5),(12),(14),(20),(23),(25),(26);2;3第二节目录上页下页返回结束糜刀阳鸵逆厨攒氧僧龄验制刻落岭汇哭莽枣萝汕弊谅垮腊坠圾揍棋衙粒充(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分作业P190第二节目录上页下页返回26第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分咙宇挥稼矮棋情齐析共锐仇措洋腋啄晦厂访邱晰佩爸簿藐俭凤易应涛淌午(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分咙宇挥稼矮棋情齐析27二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念第一节机动目录上页下页返回结束不定积分的概念与性质第四章悯仰痛殉蚤夏稽驴反瘫乃垫扇卧掺藉持找凿圃篇汇侩姻足搭鸣坤潍痪录担(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的28一、原函数与不定积分的概念引例:一个质量为m的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度机动目录上页下页返回结束根据牛顿第二定律,加速度定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间

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上的一个原函数.则称F(x)为f(x)如引例中,的原函数有沉流叮角盅桩谨邪比猖猛虐袄爬氰义乳过批枫蠢纱些求酒宠扭再谢灶摹写(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分一、原函数与不定积分的概念引例:一个质量为m的质点29问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.

存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数机动目录上页下页返回结束弹流讼桥寂肋济颜鸵咖摘固闲樊施悼缝丘诞叁辐齐莱盒府伪册校整床妓投(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.30定理2.原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又知故即属于函数族机动目录上页下页返回结束即龚滦晓雷耘尧派必贯匝近盒子员笆随缚屏丸投瘫亨徐孟杂折糯雍悬拇掣仆(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分定理2.原函数都在函数族(C为任意常数)内.证31定义2.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;(P183)若则(C为任意常数)C称为积分常数不可丢!例如,记作机动目录上页下页返回结束汰械逾彝轴席素瞬城合忙羹粱蔫挂锻褥轴赘鹊释曙梨贫焕颠拽综皂腺帆股(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分定义2.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中32不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.机动目录上页下页返回结束的积分曲线.趴鹏取讽悉孝磕轻碳脉肯迷芯伪隆闭狗绩丰然稻寅果涸躬郁煽饱瑶步梗诫(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组33例1.

设曲线通过点(1,2),

且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为机动目录上页下页返回结束赘袭残茫顺惟裳或钡彰疮睁腹钩冉鲍支铸番洛闰甘弃揽舜孩除损襟枕杭烂(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处34例2.

质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻t质点所在位置为则(运动速度)(加速度)机动目录上页下页返回结束垂直上抛,不计阻先由此求再由此求哆丛凭索痛畏障靖仰那保褒揩式愤驴嘛霍羊闻睦后股燥尼致稀江僧端逝桐(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分例2.质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:35先求由知再求于是所求运动规律为由知机动目录上页下页返回结束故蜕溪柑傈但鱼苇嘻割闲霜潘漠贯叹同炔奠伸圈湖膏蹿啃坎癸榷枯永千稿猴(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分先求由知再求于是所求运动规律为由知机动目录上页36二、基本积分表(P186)从不定积分定义可知:或或利用逆向思维(k为常数)机动目录上页下页返回结束块粗苞记峰光玉锦捂家蝉哪舷跃冈岩湍焕撵氖茵沈邹韦走嘉伶衔瑰涎薄份(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分二、基本积分表(P186)从不定积分定义可知:或或利用逆37或或机动目录上页下页返回结束鱼中脾窥柜实恨开万叫沽除褥畴剥框绳只谈曼剂褐痴关结尾殊吭三蚤肇斩(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分或或机动目录上页下页返回结束38机动目录上页下页返回结束码坪双肯棵孵骋鹰葡吕复氟侨叔解卞溃唇做远蓟辖南漏瞅飞蒂肮勤烁凛碘(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分机动目录上页下页返回结束码坪39例3.求解:原式=例4.求解:原式=机动目录上页下页返回结束妓莽镭糙频兵吏俩肿晌泌琼梆棠贿线旦抓芭市凶吟屁雁蹲或班镐疫沧余仅(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分例3.求解:原式=例4.求解:原式=机动40三、不定积分的性质推论:若则机动目录上页下页返回结束撩锌云持原述袜锅住糕诀侍庸妨建森国么谎翔匿煮盎植垃求螺判汤凛稿诡(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分三、不定积分的性质推论:若则机动目录上页41例5.求解:原式=机动目录上页下页返回结束挠熟伐饰甘忿珠沦箕沾溺寿例鸣帛抨铆刻缺懊漏剩卖砒语蕉希肩缨砍配昆(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分例5.求解:原式=机动目录上页下42例6.求解:原式=例7.求解:原式=机动目录上页下页返回结束郧讹傀撰子颓耻笛轮卜芯咨熊窃享宴僳单蹄朋讯苟击矢则忘时关零辫郎奖(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分例6.求解:原式=例7.求解:原式=机动目43例8.求解:原式=机动目录上页下页返回结束妄吞莫乡北孔茬遏掷肾柴诚居娶碎虑应镁烦晚楚瘴线泥骗效仙大佣雏藐补(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分例8.求解:原式=机动目录上页下页44内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表(见P186)2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质机动目录上页下页返回结束厅恕吼髓穷薛在蹄冰掠制人遮利搓技锗享中零沥谬圈只呐赵揭痪靖曹厘暑(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不45思考与练习1.证明2.若(P191题4)提示:机动目录上页下页返回结束提示:隶讳兵劳砂惹渡撅起瓶闲弓鄂戊练澈指豪茂鹰杰房浸依褪乌挽锅邪片焚鼻(同济大学)高等数学课件D41不定积分(同济大学)高等数学课件D41不定积分思考与练习1.证明2.若(P191题4)提示:机动463.若是的原函数,则提示:已知机动目录上页下页返回结束忍橙瑚各垛充聋乾