高中数学等差数列定义和通项公式课件新人教A版必修5_第1页
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文档简介

(第一课时)

[教学目标]:

1、掌握等差数列定义和通项公式;2、提高学生的归纳、猜想能力;3、联系生活中的数学。[教学目标]:1、掌握等差数列定义和通项公式;[教学重点与难点]:难点对等差数列特点的理解、把握和应用重点掌握对数列概念的理解、数列通项公式的推导及应用[教学重点与难点]:难点对等差数列特点的理解、把握和应用一、由具体例子归纳等差数列的定义看下面的数列:4,5,6,7,8,9,10……;①3,0,-3,-6,……;②下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种(表示鞋长、单位是cm)21,21,22,22,23,23,24,24,25;③一张梯子⑴从高到低每级的宽度依次为(单位cm)

40,50,60,70,80,90,100;④⑵每级之间的高度相差分别为

40,40,40,40,40,40.⑤从第2项起,每一项与前一项差都等于1这就是说,这些数列具有这样的共同特点:从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一常数。从第2项起,每一项与前一项差都等于-3从第2项起,每一项与前一项差都等于10从第2项起,每一项与前一项差都等于0

问:这5个数列有什么共同特点?从第2项起,每一项与前一项差都等于2121212121一、由具体例子归纳等差数列的定义看下面的数列:从第2项起,每数学语言:

an-an-1=d

(d是常数,n≥2,n∈N*)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫等差数列的公差,用字母d表示。数学语言:an-an-1=d定义:一般二、由定义归纳通项公式

a2-a1=d,a3-a2=d,a4

—a3=d,......则a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d……由此得到an=a1+(n-1)dan-1-an-2=d,an

-an-1=d.这(n-1)个式子迭加an-a1=(n-1)d当n=1时,上式两边均等于a1,即等式也成立的。这表明当n∈N*时上式都成立,因而它就是等差数列{an}的通项公式。二、由定义归纳通项公式

a2-a1=d,a3三、巩固通项公式an=a1+(n-1)d(n∈N*)三、巩固通项公式an=a1+(n-1)d(n∈N*)

(一)求通项an

若已知一个等差数列的首项a1和公差d,即可求出an例如:①a1=1,d=2,则

an=1+(n-1)·2=2n-1②已知等差数列8,5,2,…求an及a20解:∵a1=8,d=5-8=-3∴a20=-49∴an=8+(n-1)·(-3)=-3n+11练习:已知等差数列3,7,11,…

则an=_______________a4=_________a10=__________an=a1+(n-1)d(n∈N*)4n-11539

(二)求首项a1例如:已知a20=-49,d=-3则,由a20=a1+(20-1)·(-3)得a1=8练习:a4=15d=3则a1=_________6an=a1+(n-1)d(n∈N*)(二)求首项a1例如:已知a20=-49,d=-3则,(三)求项数n

例如:①已知等差数列8,5,2…问-49是第几项?

解:a1=8,d=-3则an=8+(n-1)·(-3)-49=8+(n-1)·(-3)得n=20.∴是第20项.an=a1+(n-1)d(n∈N*)(三)求项数n

例如:解:a1=8,d=-3

②问-400是不是等差数列-5,-9,-13,…

的项?如果是,是第几项?

解:a1=-5,d=-4an=-5+(n-1)·(-4),则由题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-5+(n-1)·(-4)成立所以-400不是这个数列的项an=a1+(n-1)d(n∈N*)解之得n=4399

②问-400是不是等差数列-5,-9,-13,…解2:这些三位数为100,101,102,…,999可组成首

项a1=100,公差d=1,末项为an=999的等差数列。

由an=a1+(n-1)·1得999=100+(n-1)·1

∴n=999-100+1=900

练习:1﹑100是不是等差数列2,9,16,…的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.2﹑

在正整数集合中,有多少个三位数?

an=a1+(n-1)d(n∈N*)

解1:∵a1=2,a2=9,a3=16,∴d=7,an

=2+(n-1)=100∴n=15.是第15项.解2:这些三位数为100,101,102,…,999可组成首

(四)求公差d

例如一张梯子最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列。求公差d及中间各级的宽度。分析:用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。

由题意知a1=33,a12=110,n=12由an=a1+(n-1)d得110=33+(12-1)d解得d=7从而可求出a2=33+7=40a3=40+7=47a4=54…。an=a1+(n-1)d(n∈N*)

(四)求公差d

例如一张梯子最高一级宽33cm,最低一级解:用{an}表示梯子自上而下的各级宽度所成的等差数列由已知条件,a1=33,a12=110,n=12由通项公式,得a12=a1+(12-1)d

即110=33+11d,解得d=7因此,a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=47+7=54,a5=61,a6=68a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是40㎝,47㎝,54㎝,61㎝,68㎝,75㎝,82㎝,89㎝,96㎝,103㎝。那么如果已知一个等差数列的任意两项,能否求出an呢?解:用{an}表示梯子自上而下的各级宽度所成(五)小综合

在等差数列{an}中已知a5=10,a12=31,求a1、d及an

an=-2+(n-1)·3=3n-5知识延伸:

由定义,可知:

a6=a5+da7=a6+d=a5+2d=a5+(7-5)da8=a7+d=a5+3d=a5+(8-5)d

…a12=a5+(12-5)d猜想:任意两项an和am之间的关系:an=am+(n-m)d证明:∵am=a1+(m-1)d∴an=a1+(m-1)d+(n-m)d=a1+(n-1)d∴本题也可以这样处理:由a12=a5+(12-5)d

得31=10+7dd=3

又a5=a1+4d∴a1=-2解:由an=a1+(n-1)d得a5=a1+4d=10a1=-2a12=a1+11d=31d=3(五)小综合

在等差数列{an}中已知a5=10,a12=练习:等差数列{an}中,

已知a3=9,且a9=3,

则a12=__________

课后思考:能否对上面的结论进行推广:若ap=q且aq=p(p≠q)则ap+q=0?0练习:等差数列{an}中,课后思考:0五、要点扫描:本节课主要学习①等差数列的定义:“从第2项起,后项与前一项差为常数”②通项公式:an=a1+(n-1)d(n∈N*)五、要点扫描:本节课主要学习

再见!P1181,2,4,5,六、作业:

再见!P118六、作业:

(第一课时)

[教学目标]:

1、掌握等差数列定义和通项公式;2、提高学生的归纳、猜想能力;3、联系生活中的数学。[教学目标]:1、掌握等差数列定义和通项公式;[教学重点与难点]:难点对等差数列特点的理解、把握和应用重点掌握对数列概念的理解、数列通项公式的推导及应用[教学重点与难点]:难点对等差数列特点的理解、把握和应用一、由具体例子归纳等差数列的定义看下面的数列:4,5,6,7,8,9,10……;①3,0,-3,-6,……;②下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种(表示鞋长、单位是cm)21,21,22,22,23,23,24,24,25;③一张梯子⑴从高到低每级的宽度依次为(单位cm)

40,50,60,70,80,90,100;④⑵每级之间的高度相差分别为

40,40,40,40,40,40.⑤从第2项起,每一项与前一项差都等于1这就是说,这些数列具有这样的共同特点:从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一常数。从第2项起,每一项与前一项差都等于-3从第2项起,每一项与前一项差都等于10从第2项起,每一项与前一项差都等于0

问:这5个数列有什么共同特点?从第2项起,每一项与前一项差都等于2121212121一、由具体例子归纳等差数列的定义看下面的数列:从第2项起,每数学语言:

an-an-1=d

(d是常数,n≥2,n∈N*)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫等差数列的公差,用字母d表示。数学语言:an-an-1=d定义:一般二、由定义归纳通项公式

a2-a1=d,a3-a2=d,a4

—a3=d,......则a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d……由此得到an=a1+(n-1)dan-1-an-2=d,an

-an-1=d.这(n-1)个式子迭加an-a1=(n-1)d当n=1时,上式两边均等于a1,即等式也成立的。这表明当n∈N*时上式都成立,因而它就是等差数列{an}的通项公式。二、由定义归纳通项公式

a2-a1=d,a3三、巩固通项公式an=a1+(n-1)d(n∈N*)三、巩固通项公式an=a1+(n-1)d(n∈N*)

(一)求通项an

若已知一个等差数列的首项a1和公差d,即可求出an例如:①a1=1,d=2,则

an=1+(n-1)·2=2n-1②已知等差数列8,5,2,…求an及a20解:∵a1=8,d=5-8=-3∴a20=-49∴an=8+(n-1)·(-3)=-3n+11练习:已知等差数列3,7,11,…

则an=_______________a4=_________a10=__________an=a1+(n-1)d(n∈N*)4n-11539

(二)求首项a1例如:已知a20=-49,d=-3则,由a20=a1+(20-1)·(-3)得a1=8练习:a4=15d=3则a1=_________6an=a1+(n-1)d(n∈N*)(二)求首项a1例如:已知a20=-49,d=-3则,(三)求项数n

例如:①已知等差数列8,5,2…问-49是第几项?

解:a1=8,d=-3则an=8+(n-1)·(-3)-49=8+(n-1)·(-3)得n=20.∴是第20项.an=a1+(n-1)d(n∈N*)(三)求项数n

例如:解:a1=8,d=-3

②问-400是不是等差数列-5,-9,-13,…

的项?如果是,是第几项?

解:a1=-5,d=-4an=-5+(n-1)·(-4),则由题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-5+(n-1)·(-4)成立所以-400不是这个数列的项an=a1+(n-1)d(n∈N*)解之得n=4399

②问-400是不是等差数列-5,-9,-13,…解2:这些三位数为100,101,102,…,999可组成首

项a1=100,公差d=1,末项为an=999的等差数列。

由an=a1+(n-1)·1得999=100+(n-1)·1

∴n=999-100+1=900

练习:1﹑100是不是等差数列2,9,16,…的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.2﹑

在正整数集合中,有多少个三位数?

an=a1+(n-1)d(n∈N*)

解1:∵a1=2,a2=9,a3=16,∴d=7,an

=2+(n-1)=100∴n=15.是第15项.解2:这些三位数为100,101,102,…,999可组成首

(四)求公差d

例如一张梯子最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列。求公差d及中间各级的宽度。分析:用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。

由题意知a1=33,a12=110,n=12由an=a1+(n-1)d得110=33+(12-1)d解得d=7从而可求出a2=33+7=40a3=40+7=47a4=54…。an=a1+(n-1)d(n∈N*)

(四)求公差d

例如一张梯子最高一级宽33cm,最低一级解:用{an}表示梯子自上而下的各级宽度所成的等差数列由已知条件,a1=33,a12=110,n=12由通项公式,得a12=a1+(12-1)d

即110=33+11d,解得d=7因此,a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=47+7=54,a5=61,a6=68a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是40㎝,47㎝,54㎝,61㎝,68㎝,75㎝,82㎝,89㎝,96㎝,103㎝。那么如果已知一个等差数列的任意两项,能否求出an呢?解:用{an}表示梯子自上而下的各级宽度所成(五)小综合

在等差数列{an}中已知a5=10,a12=31,求a1、d及an

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