高中数学等差数列定义和通项公式课件新人教A版必修5

（第一课时）

[教学目标]：

1、掌握等差数列定义和通项公式;2、提高学生的归纳、猜想能力;3、联系生活中的数学。[教学目标]：1、掌握等差数列定义和通项公式;[教学重点与难点]：难点对等差数列特点的理解、把握和应用重点掌握对数列概念的理解、数列通项公式的推导及应用[教学重点与难点]：难点对等差数列特点的理解、把握和应用一、由具体例子归纳等差数列的定义看下面的数列：4，5，6，7，8，9，10……；①3，0，－3，－6，……；②下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种（表示鞋长、单位是cm）21，21，22，22，23，23，24，24，25;③一张梯子⑴从高到低每级的宽度依次为（单位cm）

40，50，60，70，80，90，100；④⑵每级之间的高度相差分别为

40，40，40，40，40，40.⑤从第2项起，每一项与前一项差都等于1这就是说，这些数列具有这样的共同特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。从第2项起，每一项与前一项差都等于－3从第2项起，每一项与前一项差都等于10从第2项起，每一项与前一项差都等于0

问：这5个数列有什么共同特点？从第2项起，每一项与前一项差都等于2121212121一、由具体例子归纳等差数列的定义看下面的数列：从第2项起，每数学语言：

an－an－1=d

（d是常数，n≥2，n∈N*）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。数学语言：an－an－1=d定义：一般二、由定义归纳通项公式

a2－a1=d，a3－a2=d，a4

—a3=d，......则a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d……由此得到an=a1+(n－1)dan－1－an－2=d,an

－an－1=d.这（n－1）个式子迭加an－a1=(n－1)d当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。二、由定义归纳通项公式

a2－a1=d，a3三、巩固通项公式an=a1+(n－1)d(n∈N*)三、巩固通项公式an=a1+(n－1)d(n∈N*)

（一）求通项an

若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an例如：①a1=1,d=2,则

an=1+(n－1)·2=2n－1②已知等差数列8，5，2，…求an及a20解：∵a1=8,d=5－8=－3∴a20=－49∴an=8+(n－1)·(－3)=－3n+11练习：已知等差数列3，7，11，…

则an=_______________a4=_________a10=__________an=a1+(n－1)d(n∈N*)4n-11539

(二)求首项a1例如：已知a20=－49,d=－3则，由a20=a1+(20－1)·(－3)得a1=8练习：a4=15d=3则a1=_________6an=a1+(n－1)d(n∈N*)(二)求首项a1例如：已知a20=－49,d=－3则，(三)求项数n

例如：①已知等差数列8，5，2…问－49是第几项?

解：a1=8,d=－3则an=8+(n－1)·(－3)－49=8+(n－1)·(－3)得n=20.∴是第20项.an=a1+(n－1)d(n∈N*)(三)求项数n

例如：解：a1=8,d=－3

②问－400是不是等差数列－5，－9，－13,…

的项？如果是，是第几项？

解：a1=－5,d=－4an=－5+(n－1)·(－4),则由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得－401=－5+(n－1)·(－4)成立所以－400不是这个数列的项an=a1+(n－1)d(n∈N*)解之得n=4399

②问－400是不是等差数列－5，－9，－13,…解2：这些三位数为100，101，102，…，999可组成首

项a1=100，公差d=1，末项为an=999的等差数列。

由an=a1+(n－1)·1得999=100+（n－1）·1

∴n=999－100+1=900

练习：1﹑100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.2﹑

在正整数集合中，有多少个三位数？

an=a1+(n－1)d(n∈N*)

解1:∵a1=2,a2=9,a3=16,∴d=7,an

=2+(n-1)=100∴n=15.是第15项.解2：这些三位数为100，101，102，…，999可组成首

(四)求公差d

例如一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列。求公差d及中间各级的宽度。分析：用｛an｝表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。

由题意知a1=33,a12=110,n=12由an=a1+(n-1)d得110=33+(12-1)d解得d=7从而可求出a2=33+7=40a3=40+7=47a4=54…。an=a1+(n－1)d(n∈N*)

(四)求公差d

例如一张梯子最高一级宽33cm，最低一级解：用｛an｝表示梯子自上而下的各级宽度所成的等差数列由已知条件，a1=33,a12=110,n=12由通项公式，得a12=a1＋（12－1）d

即110=33＋11d,解得d=7因此，a2=33＋7=40,a3=40＋7=47,a4=47＋7=54,a5=61,a6=68a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40㎝，47㎝，54㎝，61㎝，68㎝，75㎝，82㎝，89㎝，96㎝，103㎝。那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？解：用｛an｝表示梯子自上而下的各级宽度所成（五）小综合

在等差数列｛an｝中已知a5=10,a12=31,求a1、d及an

an=－2+(n－1)·3=3n－5知识延伸：

由定义，可知：

a6=a5+da7=a6+d=a5+2d=a5+(7－5)da8=a7+d=a5+3d=a5+(8－5)d

…a12=a5+(12－5)d猜想：任意两项an和am之间的关系：an=am+(n－m)d证明：∵am=a1+(m－1)d∴an=a1+(m－1)d+(n－m)d=a1+(n－1)d∴本题也可以这样处理：由a12=a5+(12－5)d

得31=10+7dd=3

又a5=a1+4d∴a1=－2解：由an=a1+(n－1)d得a5=a1+4d=10a1=－2a12=a1+11d=31d=3（五）小综合

在等差数列｛an｝中已知a5=10,a12=练习：等差数列｛an｝中,

已知a3=9,且a9=3,

则a12=__________

课后思考：能否对上面的结论进行推广：若ap=q且aq=p(p≠q)则ap+q=0?0练习：等差数列｛an｝中,课后思考：0五、要点扫描：本节课主要学习①等差数列的定义：“从第2项起，后项与前一项差为常数”②通项公式：an=a1+(n－1)d（n∈N*）五、要点扫描：本节课主要学习

再见！P1181,2,4,5,六、作业：

再见！P118六、作业：

（第一课时）

[教学目标]：

1、掌握等差数列定义和通项公式;2、提高学生的归纳、猜想能力;3、联系生活中的数学。[教学目标]：1、掌握等差数列定义和通项公式;[教学重点与难点]：难点对等差数列特点的理解、把握和应用重点掌握对数列概念的理解、数列通项公式的推导及应用[教学重点与难点]：难点对等差数列特点的理解、把握和应用一、由具体例子归纳等差数列的定义看下面的数列：4，5，6，7，8，9，10……；①3，0，－3，－6，……；②下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种（表示鞋长、单位是cm）21，21，22，22，23，23，24，24，25;③一张梯子⑴从高到低每级的宽度依次为（单位cm）

40，50，60，70，80，90，100；④⑵每级之间的高度相差分别为

40，40，40，40，40，40.⑤从第2项起，每一项与前一项差都等于1这就是说，这些数列具有这样的共同特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。从第2项起，每一项与前一项差都等于－3从第2项起，每一项与前一项差都等于10从第2项起，每一项与前一项差都等于0

问：这5个数列有什么共同特点？从第2项起，每一项与前一项差都等于2121212121一、由具体例子归纳等差数列的定义看下面的数列：从第2项起，每数学语言：

an－an－1=d

（d是常数，n≥2，n∈N*）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。数学语言：an－an－1=d定义：一般二、由定义归纳通项公式

a2－a1=d，a3－a2=d，a4

—a3=d，......则a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d……由此得到an=a1+(n－1)dan－1－an－2=d,an

－an－1=d.这（n－1）个式子迭加an－a1=(n－1)d当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。二、由定义归纳通项公式

a2－a1=d，a3三、巩固通项公式an=a1+(n－1)d(n∈N*)三、巩固通项公式an=a1+(n－1)d(n∈N*)

（一）求通项an

若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an例如：①a1=1,d=2,则

an=1+(n－1)·2=2n－1②已知等差数列8，5，2，…求an及a20解：∵a1=8,d=5－8=－3∴a20=－49∴an=8+(n－1)·(－3)=－3n+11练习：已知等差数列3，7，11，…

则an=_______________a4=_________a10=__________an=a1+(n－1)d(n∈N*)4n-11539

(二)求首项a1例如：已知a20=－49,d=－3则，由a20=a1+(20－1)·(－3)得a1=8练习：a4=15d=3则a1=_________6an=a1+(n－1)d(n∈N*)(二)求首项a1例如：已知a20=－49,d=－3则，(三)求项数n

例如：①已知等差数列8，5，2…问－49是第几项?

解：a1=8,d=－3则an=8+(n－1)·(－3)－49=8+(n－1)·(－3)得n=20.∴是第20项.an=a1+(n－1)d(n∈N*)(三)求项数n

例如：解：a1=8,d=－3

②问－400是不是等差数列－5，－9，－13,…

的项？如果是，是第几项？

解：a1=－5,d=－4an=－5+(n－1)·(－4),则由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得－401=－5+(n－1)·(－4)成立所以－400不是这个数列的项an=a1+(n－1)d(n∈N*)解之得n=4399

②问－400是不是等差数列－5，－9，－13,…解2：这些三位数为100，101，102，…，999可组成首

项a1=100，公差d=1，末项为an=999的等差数列。

由an=a1+(n－1)·1得999=100+（n－1）·1

∴n=999－100+1=900

练习：1﹑100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.2﹑

在正整数集合中，有多少个三位数？

an=a1+(n－1)d(n∈N*)

解1:∵a1=2,a2=9,a3=16,∴d=7,an

=2+(n-1)=100∴n=15.是第15项.解2：这些三位数为100，101，102，…，999可组成首

(四)求公差d

例如一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列。求公差d及中间各级的宽度。分析：用｛an｝表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。

由题意知a1=33,a12=110,n=12由an=a1+(n-1)d得110=33+(12-1)d解得d=7从而可求出a2=33+7=40a3=40+7=47a4=54…。an=a1+(n－1)d(n∈N*)

(四)求公差d

例如一张梯子最高一级宽33cm，最低一级解：用｛an｝表示梯子自上而下的各级宽度所成的等差数列由已知条件，a1=33,a12=110,n=12由通项公式，得a12=a1＋（12－1）d

即110=33＋11d,解得d=7因此，a2=33＋7=40,a3=40＋7=47,a4=47＋7=54,a5=61,a6=68a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40㎝，47㎝，54㎝，61㎝，68㎝，75㎝，82㎝，89㎝，96㎝，103㎝。那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？解：用｛an｝表示梯子自上而下的各级宽度所成（五）小综合

在等差数列｛an｝中已知a5=10,a12=31,求a1、d及an