2017新知杯历年上海市初中数学竞赛

于1，求矩形ABCD面积的取值范围x2y0、已知实数x、y满足如下条件：，x-2y>0，求x—y的最小值•ABCDEF(x+2y'(x-2y)=4ABCDEF四、如图：在凹六边形ABCDEF中，.A、•B、•D、•E均为直角，p是凹六边形内一点，PM、PN分别垂直于AB、DE，垂足分别为M、N，图中每条线段的长度如图所示（单位是米），求折线MPN的长度（精确到0.01米）.五、求满足不等式n•n•nn:::n的最大正整数n，其中〔x1表示不超过实数x的最〔2」〔3」〔11」〔13」大整数.2008年“新知杯”上海市初中数学竞赛参考答案填空題答案/k根号3口入53、66324.棍号7凸玉xl=a+l叢2■幺+1沟乩11根号37、d72&43®9、(3-根号2)M10s30%2I提示：&答案：48°。延长BA至卩，则厶ADE^AAFEAE平分/FED且/BFE=ZABE代换一下即可。10、1X2+2X3+3X4+・・・+44X45=30360基本功题：首先是：X2—x—k的因式分解，其次是求和问题。二、答案：2vS<3/2+21/2。本题是考察基本不等式的运用技巧。我估计我的学生可以得一半分。三、答案：4X31/2/3。换元法技巧而已。只要令x=(a+b)/2,y=(a—b)/2,利用对称性，设y>0即可。四、答案：15.50。纯粹的解三角形的死做题。只要边CF,则与NP的交点即为中点，并取AB中点，慢慢解了。希学生注意：可以使用计算器，一定要掌握。五、答案：1715。高斯函数题再加上放大与缩小的应用。•••[n/2]+[n/3]+[n/11]+[n/13]vn,其中[x]表示不超过实数x的最大整数。•••[/2]+[n/3]+[n/11]+[n/13]<n—1即n—1>(n—第四題的三种IB法由于梯形AMPF.MBCP.PCgFFNE的面积之和等于梯形ABCF、FCDE的更积之和’因而可列碍污程-'7+^|1+1>5|3+-■y+8*2+—'10+y<2--i7+5i^+—flO+8*4.222u22整理得r+j-15.50.解袪二：如图2，容乌求緡3x7+lx5~3+13x7+lx5~3+1又易恥PQR.EPRQ、测PQ-P&从而A^+W=^C+/W=155O+解法三；如图乳设加■珀刖■八在賣角梯形处归&MBC只疋麵、F阳E中、由勾股宦理可列需方程组.(7-xi1+li--y-i0ii+23・k解这个方程组|得卩八"朋儿r+/-15.5O.1^*1025*

2007年^新如杯”上海市初中数学竞赛一・填空题（第丄y小题，毎题8分.第6〜丄0小题*每题10分，共90分）2

】.已知—1c2h—则一—1的取值范甩为.x2•庄面視対I的AABC中.P为边丹C的申馬点。在边*L匕［IAQ=2QC连接AP.BQ点左，则AABR的面积是.工在AABC中+ZC=90^f"、饭NC的对边顺次为口*&.g若关于£的方程4+*1卜2岳工-口（分-1）=。的两取平方和为1乩则2的值为4.雜吗，丐聊浦足如下条件：对于k=l.2r"-r100F吟比其余99个数的和小匕痢&的值为幺已丸1实数门、b、c,且6*0.若实数叫、七、旳、*攜足Jq5+axj1=b.x^y\-jqy,=a.和］+ax2y2=c-则v,24-av32的值为.钛如图，粒戸£凸四边^ABCD内一烁过尸舟别作显月、RUCD、场的垂线・垂足分别为E.F、G.圧已知佃=3,HD=4、DG=lrGC=5,EFf、FB=4・且BE~AE=\.fiij四边^ABCD的周廉为.aea了.如图.&EC的面枳为】*点ZXG.E和F分别在边AB.AC.BC±*BD<DA.DG//BC.DE//AC.GF//AB.則禅形DEFG商积的嚴大町能值为E不超过1000的匸幣敕勒使徇工和科1两杆的迷了和邢足奇數・则満足热件的iElfftx有个.V.已知圧为不趙过50的正整数.使得对枉意正養蛙小2X36^X23^1-1都能菽7整嫌则这样的正整数k有个.10.使得刃卩；1）+2是完全平方数的所有质数p为二、（20分）如图，在RtAASCrZC=90d,BC=2,AC=x,MF在边曲上，点G-H在边EC上，四边形费6円是一个边长拘尸的正方形，且血WU（1）求卩关于兀的函数解折式.（2）当孟为何值时、y取到最大值？并求岀，的最大值.三、（20分）求満足下列条杵的正整数科的所有可能值；对壌样的勵能找到实数6肌使得函数朮仍=丄J^+OJC+b对任意整数池/都是整数.四、（20分）在一个盒子里有红、黄、黑三种颜色的小球共閱个.己知从中任意取出対个，就可以保证至少有10个小球是“色的•问住满足上述条杵下.无论各种颜芭的小球如何分配，至少要从盒子中任盍取出务少个小球，才能保旺至少有20个小球是同芭的？2007年“新知杯”上海市初中数学竞赛答案详解一、填空题2【答案】一—1>1x12【解折】-l<2x-l<l<=>0<x<l<^->1^>—-1>1.XX2【答案】-5【解析】如过点”叱血喇于点宀變谀加畑哙遗®54我=迈F=Z-亍3.【菩案】V15【解析】已知方秤变形为fm迈缺+（小“=0.由山初-4（宀=4^>0.知方程有两实报旳、X}r且实报旳、X}r且+X/=22仝三斗-2

Dc=4a.方匚JI?o=>£二JT5+-2—E±£.6£±£=io.故c-oc-a■—6504.【答秦】——49【解折】设4ti+jq+…七Qfflj，割時（4珏）-上2,…，100人即七+2x尸£.对疋求和得(1+2+-+100)+2SM00Sn・TOC\o"1-5"\h\z2525S-25650(1+2+-+100)+2SM00Sn・49——=>=—-—=.49249CMtffl由戲设御⑴片一旳旳|即纠比阳旳+/二打才十好旳^披

MX+卜（¥+T）（才+吭）=站才+◎（彳拧+好昇）十用才拧=咼’昇+“2中询）勺+</）+（AJpf二（无”+型2旳）"+/=c+/阂为b^Ot所以.X*十町f=±4巴6.{答案〕34【解析】由勾股宅理得翊-A/fuFD2-血,PT^-DG^-P^-C^・P^-Cf^-PBr-BI^・PS^-S^R^-A^.上面回式相加㈱血+ixZF+r/=a£曲bF+E+d护=>9+1+3^BE2=A£P<6+25+16n(BE-AE)tEE+AE\=11.^BE-AE=\.所以，BE+AE=U・^AB=1L故回边^ABCD的周低为34.亠17.【猝案】-【解折】设器二兀・剧器=1一工=^・于是，由三角形相锁猖j41S氏4匚A血=(1—血=(1—才=5^&5厂EjJjK因为—"所％5啦亠、2(1—町'*+42—十「扌)+i.21当x~~^时「片租旧取最大值亍乳【祥案】嶺【解析】扯然*1000.设jc=abc^其中*a、h、fE(0,1.…、9}F且不全为零.S(xJ=fH-l^-c星k的裁字和.11)若匕工9,.則S<1)=a+b+crS(i*l)sa+fr+tr+it<2)若r=9,b^=9,W]S(x)=o十&+9.，S(x+1)=£j+h+l；<3>若gr=9・a^9t则=^+l&,S(x^l)*1；4)若a=b=c=9・则S(x)=2了.S(jc+1)=1.由此可见，S(x)和S(x+D都是奇数仅是情瞻(2)和(4)•在情(2)中，祸为偶昵从而*乩b同奇临这样河轻个H満足題臣.在情矗(4)中，锲有一个x=9的满星聽盘.综上.满足題窮的工共有4€个.9.【答案】7【解斬】2X3^kX^-\=2X27:"+2^X8n-l«2X(-l严+2卜1-2t+l(mod7)+但2X护+kx2松丄】=0fnuKUh则2i+l=0(niDd7)T即2k+l=7m<e为奇数).因为1W尿50,所以*3^7m^lOLfifcm=l,入…，13,相应的t=3,10+…，45,龙？仁10L【答案】2或5【解析】垃戸"戸；打_2=F(.keZ\^\pip+l)=2jP-2=2(41).(1>当p=2时十3=^-LJt=2：<2)当p^l时，p\<k+l)或制「41).若別(Jt+1)F则p+1鼻2(Jbl>.从叭k+戈鼻p+1事2(Arl>rk=3时.p<JM-1)=16.无咸數解T当Q4时，p(jm-1)=30rp=5.^p\(/bl),则脸尸1刃f齢5不可能.综上"p=l或5-二【解答】如團，ii^FE,交*CF点D；|撚.DF//BC.则Rt^iDF^AACB.注倉到,i£=AC=xt划

2(2)由(1)得)」=曲边平方肿整FW(f+2買+2)j?-｛，+2<+4町$+2工2(2)由(1)得)」=x+2+22V2+22=忑一1•当且仅当x=-.即xx+2+22V2+2X披当"近时，尸取彘大值V2-1.【解答】设/Cx)=丄Ft*对任倉整数xT/(x)都是整飙则—-ax+b—-ax+b2也为整St进而”g(x+l)~g(x)也是整数.所决hM或去-当pl时，取雜数乐btd+ax+i对任意整数x(f(x)都是整数；'号g?时「取a=—・h^!5Stt则/<x)=—+5时任邯是2222Sft.编上所址，n=l或2.四、I解善】冇死证明弋只取出輻个球是不够的.事实上，当盒子中有42个红球、牡个黄球、5个黑球时.枉取24个球.则红球与黄球至少有24-5=19个，从而.红球或韻球中必有一种大于或等于10个*Itfft19个虹球，19个賈球，5卞则琮・共4J个球,但其中没有20个是同色的*其扰证明；从中取44亍小球，则其中一定有20个小球同色.记盒子中虹、黄、黑球的个数分别为不y.監不妨设:咿p鼻第若则取出的44个球中.红球与黄球至少有44-5=39从而”虹球或黄球中一定有一种大于或等于加个.苦z=6・当严8时*44个球中红球曲个池大于或等T-44-8-6>20：出胪耳9时.取爭个红球，9个黄球，6个黑球・24个球中无10个同色球，不禱足題设条杵.若3=齐当时，眾少个就琮・8个黄球，7亍豐球・24t球中尤1。个同邑球，不攔足足设杂杵i当尸7时*44个球中灯球个数大于或等于44-7-7>20+若e事乩则红球、黄球、黑球各取S个.即知不備足题设条件.稼上所XL亍少取出44个球击能保讪出20个小球同色*1、、填空题（第如图，在△的对称点是2006年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷1~5小题，每题8分，第6~10题，每题10分，共90分）ABC中，.A=70°,.BB•，点C关于AB的对称点是=90°C，，点A关于BC的对称点是A，点B关于AC若厶ABC的面积是1,△ABC•的面积是B'2a+b+c+d+e+f=20,a+2b+c+d+e+f=40,、a+b+2c+d+e+f=80,2、已知实数a、b、c、d、e、f满足如下方程组」a+b+c+2d+e+f=160,a+b+c+d+2e+f=320,.a+b+c+d+e+2f=640.TOC\o"1-5"\h\z贝Uf—e+d—c+b—a的