电磁场理论第2章：静电场

第二章静电场

2.1库仑定律与电场强度

2.2高斯定理

2.3静电场的旋度与静电场的电位

2.4电偶极子

2.5电介质中的场方程

2.6静电场的边界条件

2.7*导体系统的电容

2.8电场能量与能量密度

2.9*电场力2.1库仑定律与电场强度2.1.1库仑定律图2–1库仑定律用图式中：R=r-r′表示从r′到r的矢量；R是r′到r的距离；R°是R的单位矢量；ε0是表征真空电性质的物理量，称为真空的介电常数，其值为库仑定律表明，真空中两个点电荷之间的作用力的大小与两点电荷电量之积成正比，与距离平方成反比，力的方向沿着它们的连线，同号电荷之间是斥力，异号电荷之间是引力。点电荷q′受到q的作用力为F′，且F′=-F，可见两点电荷之间的作用力符合牛顿第三定律。q电荷受力：库仑定律只能直接用于点电荷。所谓点电荷，是指当带电体的尺度远小于它们之间的距离时，将其电荷集中于一点的理想化模型。对于实际的带电体，一般应该看成是分布在一定的区域内，称其为分布电荷。用电荷密度来定量描述电荷的空间分布情况。电荷体密度的含义是，在电荷分布区域内，取体积元ΔV，若其中的电量为Δq，则电荷体密度为其单位是库/米3(C/m3)。这里的ΔV趋于零，是指相对于宏观尺度而言很小的体积，以便能精确地描述电荷的空间变化情况；但是相对于微观尺度，该体积元又是足够大，它包含了大量的带电粒子，这样才可以将电荷分布看作空间的连续函数。如果电荷分布在宏观尺度h很小的薄层内，则可认为电荷分布在一个几何曲面上，用面密度描述其分布。若面积元ΔS内的电量为Δq，则面密度为对于分布在一条细线上的电荷用线密度描述其分布情况。若线元Δl内的电量为Δq，则线密度为库/米2(C/m2)库/米(C/m)2.1.2电场强度电荷q′对电荷q的作用力，是由于q′在空间产生电场，电荷q在电场中受力。用电场强度来描述电场，空间一点的电场强度定义为该点的单位正试验电荷所受到的力。在点r处，试验电荷q受到的电场力为多个点电荷时:对于体分布的电荷，可将其视为一系列点电荷的叠加，从而得出r点的电场强度为同理，面电荷和线电荷产生的电场强度分别为(画图)例2-1

一个半径为a的均匀带电圆环，求轴线上的电场强度。解：取坐标系如图2-2，圆环位于xoy平面，圆环中心与坐标原点重合，设电荷线密度为ρl

。图2-2

例2-1用图所以

高斯定理描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电荷间的关系。可以证明：2.2高斯定理Q:S面内电量的代数和要分析一个点的情形，要用微分形式。如果闭合面内的电荷是密度为ρ的体分布电荷，则式(2-15)可以写为由于体积V是任意的，所以有例2-2

假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为ρ0的电荷，试求任意点的电场强度。解：当r>a时，故当r<a时，所以例2-3

已知半径为a的球内、外的电场强度为求电荷分布。解：由高斯定理的微分形式，得电荷密度为用球坐标中的散度公式可得(r>a)(r<a)2.3静电场的旋度与静电场的电位由于电场强度可表示为一个标量位函数的负梯度，所以有可用一个标量函数的负梯度表示电场强度。这个标量函数就是静电场的位函数，简称为电位。电位φ的定义由下式确定电位的单位是伏(V)，因此电场强度的单位是伏/米(V/m)。体分布的电荷在场点r处的电位为:线电荷和面电荷的电位表示式与上式相似，只需将电荷密度和积分区域作相应的改变。对于位于源点r′处的点电荷q，其在r处产生的电位为可见，静电场在任意闭合回路的环量为零：

由斯托克斯公式：

通常，称φ(P)-φ(P0)为P与P0两点间的电位差(或电压)。一般选取一个固定点，规定其电位为零，称这一固定点为参考点。当取P0点为参考点时，P点处的电位为

当电荷分布在有限的区域时，选取无穷远处为参考点较为方便。此时，可以证明：将E=-▽φ代入高斯定理的微分形式，得到若讨论的区域ρ=0，则电位微分方程变为上述方程为二阶偏微分方程，称为拉普拉斯方程。其中▽2在直角坐标系中为泊松方程例2-5

求均匀带电球体产生的电位。解：(r>a)(r<a)由此可求出电位。当r>a时，当r<a时，例2-6

若半径为a的导体球面的电位为U0,球外无电荷，求空间的电位。解：

即再对其积分一次，得在导体球面上，电位为U0，无穷远处电位为零。分别将r=a、r=∞代入上式，得这样解出两个常数为所以总之，真空中静电场的基本方程可归纳为：（微分方程）（积分方程）2.4电偶极子图2-5电偶极子0用电偶极矩表示电偶极子的大小和空间取向，它定义为电荷q乘以有向距离l，即电偶极子在空间任意点P的电位为其中，r1和r2分别表示场点P与q和-q的距离，r表示坐标原点到P点的距离。经推导图2-6电偶极子的电场分布2.5电介质中的场方程2.5.1介质的极化极化强度的单位是C/m2。极化强度定义：极化现象…….击穿强度…….2.5.2极化介质产生的电位图2-7极化介质的电位场点*设极化介质的体积为V，表面积是S，极化强度是P，现在计算介质外部任一点的电位。在介质中r′处取一个体积元ΔV′，因|r-r′|远大于ΔV′的线度，故可将ΔV′中介质当成一偶极子，其偶极矩为p=PΔV′，它在r处产生的电位是整个极化介质产生的电位是上式的积分：极化体电荷密度极化面电荷密度比较电位公式，得：例2-7

一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是P=P0ez，求极化电荷分布。解：取球坐标系，让球心位于坐标原点。

极化电荷体密度为极化电荷面密度为

2.5.3介质中的场方程在真空中高斯定理的微分形式为▽·E=ρ/ε0，其中的电荷是指自由电荷。在电介质中，高斯定理的微分形式便可写为将ρP=-▽·P代入，得这表明，矢量ε0E+P的散度为自由电荷密度。称此矢量为电位移矢量，并记为D，即于是，介质中高斯定理的微分形式变为与其相应的积分形式为将介质中静电场的方程归纳如下：自由电荷2.5.4介电常数式中χe为极化率，是一个无量纲常数。从而有称εr为介质的相对介电常数，称ε为介质的介电常数。对于均匀介质(ε为常数)，电位满足如下的泊松方程：由实验得知例2-8

一个半径为a的导体球，带电量为Q，在导体球外套有外半径为b的同心介质球壳，壳外是空气，如图2-8所示。求空间任一点的D、E、P以及束缚电荷密度。图2-8例2-8用图解：(r≥a)介质内(a<r<b)：见附录一A1.26式介质外(b<r)：介质内表面(r=a)的束缚电荷面密度：介质外表面(r=b)的束缚电荷面密度：2.6静电场的边界条件图2-9法向边界条件（什么是边界？）或如果界面上无自由电荷面电荷分布，即在ρS=0时，边界条件变为或图2-10切向边界条件E2E1因为Δl2=l°Δl，Δl1=-l°Δl,

l°是单位矢量，上式变为注意到n⊥l°，故有*电场强度的切向分量连续，意味着电位是连续的，即由于法向分量的边界条件用电位表示为*导体内的静电场在静电平衡时为零。设导体外部的场为E、D，导体的外法向为n，则导体表面的边界条件简化为2.8电场能量与能量密度电场能量能量密度例2-14

若一同轴线内导体的半径为a，外导体的内半径