信号与系统-chap p第4章连续时间变换

变换;本章的主要内容:连续时间级数与变换之间的关系;变换的性质;系统的频率响应及系统的频域分析；在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，非周期信号的频谱表示，线性时不变系统对非周期信号的响应如何求解，就是这一章要解决的问题。4.0

引言

Introduction（a）T0

0akakT0

（b）0当

T0

时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非4.1

非周期信号的表示—连续时间变换变换一.从 级数到再次周期性矩形脉冲的频谱图：周期的单个矩形脉冲信号。连续的频谱。00T相应地，谱线间隔

2，

离0散的频谱将演变为由于1T0

k0ak

0也随 增大而T减小，并最终趋于0，考查

T0a的k

变化，它在

T0

时非零。0T0

/2T0ak

xT

(t)e

dt

jk0tT

/2T0T00txT

(0即其频谱为0。那么怎样研究非周期信号的频谱呢?x(tk0

Tx (t)

x(t)T0

X

(

j)

x(t)e

jt

dtT0

lim

T0ak

X

(j)

则有对上式取极限，并令0k

0T故：a

1

X

(

jk

)连续时间

变换可看成频谱密度随频率的分布，故称X

(j为频谱密度函数，简称频谱。T0

由于X

(j)

lim000000T

/2T

/2T01x(t)e

dt

jk

tkT0a

1Tx

(t)e

jk

tdt

这表明:周期信号的频谱就是与它对应的非周期信号频谱的样本。而非周期信号的频谱是对应的周期信号频谱的包络。000T当

T

时，x

(t)

x(t),

2

d,T0k

于是有：

1

2x(t)

X

(

j)e

jt

d逆变换此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布、振幅为

1

X

(

j的)d复

指数信号之和。2怎样用频谱来展开非周期信号呢？根据 级数表示：00000X

(

jk

)ejk

tjk

tTx

(t)

kTa

e

jk0tX

(

jk

)e2k

0

k

k

1

1

jtX

(

j)e

d

1

2x(t)

jtX

(

j)

x(t)e

dt于是， 得到了非周期信号的频域描述方法这一对变换关系被称为连续时间变换对。变换的引出是从周期信号的级数表示出发， 周期趋于无穷大时的极限得级二.既然变换的收敛来的，

变换的收敛问题就应该和数的收敛相一致。也有相应的两组条件：这表明能量有限的信号其存在。变换一定存在。21.

若

x(t)

dt

则

X

(

jx(t)

dt

Dirichlet

条件绝对可积条件在任何有限区间内，

x(只有有限个极值点，且极值有限。在任何有限区间内，x(

只有有限个第一类间断点。x的(t和周期信号的情况一样，当 变换存在时，其

变换在的x(t连续处收敛于信号本身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会也产生Gibbs

现象。0三.常用信号的 变换：1.

x(t)

eatu(t),

a

0at

jtX

(

j)

e

e dt

1

a

j1a2

2X

(

j

)

x(t01

a0

a1/

aX

(

j

)12a

/2

aa≮

X

/2

/4

/4a-1

≮

X

(

j)

tg2.

x(t)

(t)X

(

j

)

(t)edt

1

jt0

(t这表明

(中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应h(t)才能完全描述一个LTI系统的特性，

(t)才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。X

(

j

)101

2T1

Sa(T1

)X

(

j)

Te3.矩形脉冲:t

T10,x(t)

1,t

T1T1T1tx(1x(tT1T110x(t2T1

2T1100T12T1X

(

j

)4T12T10不同脉冲宽度对频谱的影响X

(

j

)可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽.与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时域和频域之间存在一种对偶关系。4.

X

(

j1，0，

W

W

1

2e

jt

d

sinWt

W

Sa(Wt)x(t)

WWX

(

jWW10x(t

t

(W

/

)0W对偶关系可表示如下:x(tT1T110X

(

jW10

WX

(

j0T12T1x(t(W

/

)0W5.

若x(t)

1

则有X

(

j)

2

()证明：

1

2jt2

()e

d

1所以1F

2

()四.信号的带宽(Bandwidth

of

Signals):由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义带宽。通常有如下定义带宽的方法:2.

对包络是Sa(x)形状的频谱，通常定义主瓣宽度(即频谱第一个零点内的范围)为信号带宽。以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，脉宽乘以带宽等于常数(脉宽带宽积)。这清楚地反映了频域和时域的相反关系。1.

X

(

j

)

下降到最大值的

1

2

时对应的频率范围,此时带内信号分量占有信号总能量的1/2。4.2

周期信号的

变换002x(t)

1j

tjtd

e

X

(

j

)e

jt

d

(

)eThe

Fourier

Transformation

of

Periodic

SignalsX

(j)

2

(

0

)

所对应的信号考查前面已经介绍了周期信号用些情况下,需要对周期信号进行级数表示。某变换。但周期信号不满足

Dirichlet

条件，因而不能直接从傅立叶变换的定义出发，建立其 变换表示。对其 级数进行变换这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激：级数时，因为0ka

ejk

t于是当把周期信号表示为x(t)

k

就有

X

(

j)

2

ak

(

k0

)k

周期信号的 变换表示这表明：周期信号的 变换由一系列冲激组成，分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激强度为2

ak00j

t

Fe

2

(

)例1：0

001x(t)

sin

t

2

jj

t

j

t[e

e

]0

0k

0jk

X

(

j)

2

a

(

k

)

[

(

)

(

)]00

jX

(

j

j0X

(

j)

2

ak

(

k0

)

[

(

0

)

(

0

)]k

X

(

j

)

0000012x(t)

cost

[ej

t

e

j0t

]例2：221

11T

TkTTa

T

T

j

2

ktTT2

(t)e dt

2

(t)dt

n例3：

x(t)

(

)单位冲激串k

分析：X

(j)

2

ak

(

k0

)因此要先求ak

2T

T

T

2T0x(t10

2T

2TTX

(

j2Tk

X

(

j)

2

T

(

2

k)4.3

连续时间

变换的性质若则x(t)

X

(

j),

y(t)

Y

(

j)ax(t)

by(t)

aX

(

j)

bY

(

j)Properties

of

the

Continuous-Time

Fourier

Transform变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系，而且利用这些性质可以简化变换对的求解运算。1.

线性:

Linearity2.

时移:

Time

Shifting这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性会增加一个线性相移。0

jt若

x(t)

X

(

j)

则

x(t

t0

)

X

(

j)e3.反转:Reflectionx(t)

X

(

j)若则证明:x(t)

X

(

j)d

X

(

j)

jt

j

(

)x(t)e dt

x(

)e00j

tx(t)e

X

[

j(

)]频移特性*x*

(t)e

jt

dtX

(

j

)

所以*X

(

j

)

x

(t)e

dt*

jt即x*(t)

X

*(

j)x(t)e

dt

jtX

(

j

)

可得4.共轭对称性:若

x(t)

X

(

j)则

x*(t)

X

*(

j)证明：由

共轭对称性:

若x(t)为实，则

X

(

j)

X

*(

j)推论1：若x(t)为实偶函数，则其若x(t)为实奇函数，则其变换也是实偶；变换是虚奇函数若x(t)为实，且x(t)

xe

(1xe

(t)

2

[x(t)

x(t)]2ox

(t)

1

[x(t)

x(t)]则F[x(t)]

F[xe

(t)]

F[xo

(t)]

X

(j)根据推论1，

F[xe

(t)]

为实函数，F[xo

(t)]

为虚函数则有推论2：xe

(t)

Re{X

(

j)}xo

(t)

j

Im{X

(

j)}例:

u(的频谱:u(t)

ue

(2eu

(t)

110u(t

1/2

0ue

(t-1/21/20uo

(t)t将u(分解为偶部和奇部有1uo

(t)

2

Sgn(t)Sgn(t)

1,1,t

0t

02eu

(t)

1

()a0

a2

2

j

lim

j2

2ju(t)

1

()a0Sgn(t)

lim[eatu(t)

eatu(t)]]a01

1a

j

a

jF

[Sgn(t)]

lim[1j2ou

(t)

1

Sgn(t)1tSgn(t)1e

ateat5.时域微分与积分:Differentiation

and

Integration若x(t)

X

(j)(将

1

2x(t)

X

(j

)e

jt

d

两边对t微分即得该性质)dt则dx(t)

j

X

(

j

)

(可将微分运算转变为代数运算)易证频域微分特性：

jtx(t)

dX

(j)d时域积分特性是否除jω

?j而：F

[u(t)]

()

1

F

[u(t

)]

[

()

1

]e

jj]e

d

[

()

1

]X

(

j)

X

(

j)

X

(0)

()j

j证明：由于：故：x(

)u(t

)dx(

)d

jt

x(

)d

]

[t

jtx(

)u(t

)d

]e

dt

F

[x(

)[dt]d

jtu(t

)e

1jx(

)d

]

x(

)[

()

t所以：F[

j

x(

)F

[u(t

)]dx(

)d

1

X

(

j)

X

(0)

(（)t时域积分特性）6.对偶性:

Duality若

x(t)

X

(

j)

则

X

(

jt)

2

x()

X

(

jt)e

dtjt2

x()

X

(

jt)e

dt

jt

X

(

jt)

2

x()操作口诀：t负，换t，负外担2π

1

2证明：x(t)jtX

(

j)e

d7.

Parseval定理:若x(t)

X

(j)则2X

(

j

)

2d

1

2x(t)

dt

这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于X

(j)2

表示了信号能量在频域的分布，因而称其为“能量谱密度”函数。22X

(

j)

dx(t)

dt

x(t)x

(t)dt

1

x(t)X

(

j)e

jt

d

dt

1

2

1

2x(t)eX

(

j)dt

d

jt

2

证明：4.4

卷积性质

The

Convolution

Property一.卷积特性：x(t)

X

(

j)x(t)

h(t)

h(t)

H

(

j

)

jt

[

x(

)h(t

)d

]e

dt

若则证明：F[x(t)

h(t)]x(

)[dt]d

jth(t

)ex(

)H

(

j)e

d

j

X

(

j由于卷积特性的存在，使对LTI系统在频域进行分析成为可能。二.LTI系统的频域分析法:根据卷积特性,可以对LTI系统进行频域分析,其过程为:1.由x

(t)

X

(

j)根据系统的描述，求出

H

(Y

(

j

)

X

(

j

)H

(

j

)y(t)

F

1[Y

(

j)]4.5

相乘性质

The

Multiplication

Property利用

逆变换的定义式易证。由相乘性质也可以得到频移性质：若

x1(t)

1x2

(t)

2则1

21

22x

(t)

x

(t)

1

X

(

j

)

X

(

j

)两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个信号的幅度，这就是幅度调制。其中一个信号称为载波，另一个是调制信号。x(t)

X

(

j)e

j0t0

2

(

)

x(t)e

j0t

X[

j(

)]0频移性质0p(t)

cos

t1.正弦幅度调制:调制信号s(t)

S

(j)r(t)

s(t)

p(t)

s(t)

cos0tp(s(tr(1MM

0S(

jr(ts(载波已调信号0P(

j)

[

(0(

)00P(

j0

02R(

j)

1

S(

j)

[

(

)

(

)]0

02

2

1

S

j(

)

1

S[

j(

)]00R(

j1/2正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬移到载频位置。为什么需要频谱搬移？便于天线发送或实现不同信号源、不同系统的频分复用2.同步解调:0

002r(t)

cos

t

1

R(

j

)

[

(

)

(

)]0

02

4

4

1

S

(

j)

1

S[

j(

2

)]

1

S[

j(

2

)]1/21/41/4MM

20200

0

0

04

1

S

j(

)

S[

j(

)][

(

)

(

)]此时，用一个频率特性为H

(的系统即可从r(恢复出s(t)。H

(20c

cM

M只要

c

20

即可。具有此频率特性的LTI系统称为理想低通滤波器。3.中心频率可变的带通滤波器：x(t)y(e

j0tw(t)

e

j0t

f

(c0F

(

jX

(

jc

c0

c

Y

(

j00

cc1cW

(理想低通器2c1H

(等效带通滤波器0系统频域响应相当于从

X

(

中直接用一个带通滤波器滤出的频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为0的带通滤波器，改变0即可实现中心频率可变。Systems

Characterized

byLinear

Constant-Coefficient

Differential

Equations连续时间LTI系统其输入输出关系可以由一个线性常系数微分方程描述。一般形式为:4.7

由线性常系数微分方程表征的系统d

k

y(t)d

k

x(t)NNdtk

dtkk

0

k

0ak

bk一.由LCCDE描述的LTI系统的频率特性:变换有：对LCCDE两边进行NNk

0kkkk

0a

(

j)

Y

(

j)

kb

(

j)

X

(

j)由于Y

(

j

)

X

(

j

)H

(

j

)N

H

(

j)

kNkb

(

j)a

(

j)k

0

k

kk

0可见由LCCDE描述的LTI

系统其频率响应是一个有理函数。对有理函数求

逆变换通常采用部分分式展开和利用常用信号的变换进行。二.频率响应的求法：1.用微分方程表征的系统

3x(t)dx(t)dy(t)6例：

d

2

y(t)

dt2对方程进行

8y(t)

变换得dtdt1

1

[H

(

j)

X

(

j)

(12 2

j

4

j]h(t)

1

[e2t

e4t

]u(t)2假分式呢？(

j)2Y

(

j)

6(

j)Y

(

j)

8Y

(

j)

jX

(

j)

3X

(

j)h(t)

(t)

2

(t)

e2tu(t)上面的例子表明，对由微分方程所描述的系统通过求频率响应可以方便地求出其单位冲激响应。反之，也可以由系统函数（频域响应）写出系统方程。(

j)2

4

j

3j

212

jH

(

j)

j

2

例：H

(j)(

j)2

4

j

3j

2例:已知x(t)=e-tu(t)→y(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)u(t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。解:

由给定的x(t)和y(t)可得则

H

(

j)

Y

(

j)

2

j

8

X

(

j) (

j)2

5

j

6对上式逆变换得系统冲激响应h(t)

(4e2t

2e3t

)u(t)4

2j

2

j