概率及数理统计课件

直观定义——事件A出现的可能性大小.统计定义——事件A在大量重复试验下出现的频率的稳定值称为该事件的概率.古典定义；几何定义.§1.2

概率的定义及其确定方法直观定义——事件A出现的可能性大小.§1.2概率的AxiomatizeDefinition1.2.1概率的公理化定义AxiomatizeDefinition1.2.1概从n个元素中任取r个，求取法数.排列讲次序，组合不讲次序.全排列：Pn=n!0!=1.重复排列：nr选排列：1.2.2排列与组合公式从n个元素中任取r个，求取法数.1.2.2排列与组合组合：重复组合：组合组合：重复组合：加法原理

完成某件事情有n类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第n类途径中有mn种方法，则完成这件事共有m1+m2+…+mn种不同的方法.乘法原理

完成某件事情需先后分成n个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，依次类推，第n步有mn种方法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法.加法原理完成某件事情有n类途径，在第一类途径中进行n次重复试验，记n(A)为事件A的频数，称为事件A的频率.随机试验可大量重复进行.1.2.3确定概率的频率方法频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).用频率的稳定值作为该事件的概率.进行n次重复试验，记n(A)为事件A的频数，随机试验可大PropertyProperty概率及数理统计课件-(12)概率及数理统计课件-(12)

古典方法设为样本空间，若①只含有限个样本点;②每个样本点出现的可能性相等，则事件A的概率为:P(A)=A中样本点的个数/样本点总数1.2.4确定概率的古典方法古典方法设为样本空间，若1.2.抛一枚硬币三次抛三枚硬币一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}此样本空间中的样本点等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}

此样本空间中的样本点不等可能.

注意抛一枚硬币三次抛三枚硬币一次注意n个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两种情况，所以P(A)=2/(n-1)。例1.2.1n个人围一圆桌坐，解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐n个人坐成一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率.(注意：请与上一题作比较)解：1)先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有n(n1)种可能.2)甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能.3)甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐，所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：例1.2.2n个人坐成一排，解：1)先考虑样本空间的样本点数：例1.2概率及数理统计课件-(12)概率及数理统计课件-(12)概率及数理统计课件-(12)解方法1样本空间样本点数为,设A={

取的

4

只鞋子中至少有

2

只配成一双

},

先从5双中任取

1双从余下的

4

双中任取

2双从这

2双中各任取

1只A={

4

只鞋中恰有

2

只配成一双

}∪{

4

只鞋恰好配成两双

}所求为“至少”或“至多”的问题，用余概公式简单例1.2.5从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋中至少有2只配成一双鞋的概率？解方法1样本空间样本点数为,设A=方法2{

取的

4

只鞋子中没有成双的

},先从5双中任取

4

双在从这4双中各取

1只还有其它解法吗？

从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋中至少有2只配成一双鞋的概率？方法2{取的4只鞋子中没有成双的},先从5双中任取错在何处？在用排列组合公式计算古典概型时必须注意不要重复计数，也不要遗漏

从5双不同的鞋中任取4只，求这

4

只鞋中至少有

2

只配成一双鞋的概率？先从5双中任取

1双从余下的

8只中任取

2只这2只鞋有“不成双”和“成双”两种情形与5双中任取一双时已出现“4只恰有两双”的情形重复正确做法多算了种解法3

同样的“4只配成两双”算了两次错在何处？在用排列组合公式计算古典概型时从P(A)=——1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件再次提醒注意：2、用排列组合公式计算样本点数时必须注意不要重复计数，也不要遗漏例1.2.6

掷两枚骰子出现的点数之和等于3的概率.解

掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{

2,3,4,…,12

},={(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),…,(6,6)

}2663、所求为“至少”或“至多”的问题，用余概公式简单4、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型P(A)=——1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条

有n个人,每个人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在N间房的每一间中,求指定的n间房中各有一人的概率.人房4、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型

有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365.求这n

(n≤365)个人的生日互不相同的概率.人任一天

有n个旅客,乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/N(N≥n),求指定的

n

个站各有一人下车的概率.旅客车站

某城市每周发生7次车祸,假设每天发生车祸的概率相同.求每天恰好发生一次车祸的概率.车祸天分球入箱有n个人,每个人都以相同的概率1/N(N个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.(口袋中有M个白球，NM个黑球)常见模型(1)——不放回抽样从中不放回任取n个,则此n个中有m个不合格品的概率为：此模型又称超几何模型.

nN,mM,

nmNM.N个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.常见模型(1)口袋中有5

个白球、7个黑球、4个红球.从中不放回任取3

个.求取出的3

个球为不同颜色的球的概率.思考题口袋中有5个白球、7个黑球、4个红球.思考题购买：从01，……，35中选7个号码.开奖：7个基本号码，1个特殊号码.

彩票问题——幸运35选7购买：从01，……，35中选7个号码.彩票问题——幸运35中奖规则

1)7个基本号码2)6个基本号码+1个特殊号码3)6个基本号码4)5个基本号码+1个特殊号码5)5个基本号码6)4个基本号码+1个特殊号码7)4个基本号码，或3个基本号码+1个特殊号码

中奖规则1)7个基本号码中奖概率中所含样本点个数：将35个号分成三类：

7个基本号码、

1个特殊号码、

27个无用号码记pi为中i等奖的概率。利用抽样模型得：

中奖概率中所含样本点个数：将35个号分成三类：中奖概率如下：不中奖的概率为：

p0=1p1p2p3p4p5p6p7中奖概率如下：不中奖的概率为：

N个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.从中有放回地任取n个.则此n个中有m个不合格品的概率为：常见模型(2)——返回抽样条件：

m

n,即

m=0,1,2,……,n.N个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.常见模型(2n个不同球放入N个不同的盒子中.每个盒子中所放球数不限.求恰有n个盒子中各有一球的概率(nN)

常见模型(3)——盒子模型n个不同球放入N个不同的盒子中.常见模型(3)——求n个人中至少有两人生日相同的概率.看成n个球放入N=365个盒子中.P(至少两人生日相同)=1P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少两人生日相同)=生日问题p20=0.4114,p30=0.7063,p50=0.9704,p60=0.9941

求n个人中至少有两人生日相同的概率.生日问题p20=0.4

下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概率大？卧室书房创设情境3：问题情境下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除1.2.5确定概率的几何方法

若①样本空间充满某个区域，其度量(长度、面积、体积)为S；

②落在中的任一子区域A的概率，只与子区域的度量SA有关，而与子区域的位置无关(等可能的).则事件A的概率为:P(A)=SA/S1.2.5确定概率的几何方法若①样本空间UniformDistributionAUniformDistributionA概率及数理统计课件-(12)1Buffon’NeedleSimulation2MonteCarloMethod1Buffon’NeedleSimulation2Mont

法国自然哲学家蒲丰先生经常搞点有趣的试验给朋友们解闷。1777年的一天,蒲丰先生又在家里为宾客们做一次有趣的试验，他先在一张白纸上画满了一条条距离相等的平行线。然后，他抓出一大把小针，每根小针的长度都是平行线之间距离的一半。蒲丰说：“请诸位把这些小针一根一根地往纸上随便扔吧。”客人们好奇地把小针一根根地往纸上乱扔。最后蒲丰宣布结果：大家共投针2212次，其中与直线相交的就有704次。用704去除2212，得数为3.142。他笑了笑说：“这就是圆周率π的近似值。”这时众宾客哗然：“圆周率π?这根本和圆沾不上边呀?”蒲丰先生却好像看透了众人的心思，斩钉截铁地说：“诸位不用怀疑，这的确就是圆周率π的近似值。你们看，连圆规也不要，就可以求出π的值来。只要你有耐心，投掷的次数越多，求出的圆周率就越精确。”这就是数学史上有名的“投针试验”。（更详细的情况参见）

/ctk/August2001.shtml投针试验法(1707-1788)法国自然哲学家蒲丰先生经常搞点

aaa/2

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OCH1CH1由蒲丰投针问题知：长为l的针与平行线相交的概率为:2l/d.而实际去做N

次试验，得n

次针与平行线相交，则频率为:n/N.用频率代替概率得：2lN/(dn).历史上有一些实验数据.的随机模拟由蒲丰投针问题知：长为l的针与平行线相交的概率为:2l历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次数投掷次数针长时间试验者历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)3.17958蒲丰投针问题的推广平面上画有间隔为d的等距平