概率论试题(含解析)

一、单项选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）。1、事件A、B独立，且P(AB)__0.8,P(A)0.4，则P(B|A)等于（A）0；（B）1/3；（C）2/3；（D）2/5.答：（B）2、设fx是连续型随机变量X的概率密度函数,则以下选项正确的选项是（A）fx连续；（B）P(Xa)f(a),aR；（C）fx的值域为[0,1]；（D）fx非负。答：（D）3、随机变量X~N(,2)，则概率P{X1}跟着的变大而（A）变小；（B）变大；（C）不变；（D）没法确立其变化趋向。答：（A）4、已知连续型随机变量X、Y互相独立,且拥有同样的概率密度函数f(x)，设随机变量Zmin{X,Y}，则Z的概率密度函数为（A）2；（）z；（C）2z.f(u)duf(z)；（D）2(1f(u)du)f(z)[f(z)]B21[1f(z)]答:（D）5、设X1,X2,L,Xm,Xm+1,L,Xn是来自正态整体N(0,1)的容量为n的简单样本，则统计mXi2(nm)量ni1听从的散布是Xi2im1（A）F(nm,m)（B）F(nm1,m1)（C）F(m,nm)（D）F(m1,nm1)答:（C）二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）。6、某人投篮，每次命中的概率为2，现独立投篮3次，则起码命中1次的概率为2627.3(x1)7、已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)Ae2,x1，则常数A=.0,12其余8、二维随机变量(X,Y)的散布函数为F(x,y)(12x)(13y),x0,y0，则概率0,其余P(Y1)=23.9、已知随机变量X、Y的方差分别为DX2,DY1，且协方差Cov(X,Y)0.6，则D(XY)=.10、某车间生产滚珠，从长久实践中知道，滚珠直径X（单位：cm）听从正态散布,0.32)，从某天生产的产品中随机抽取_N(9个产品，测其直径，得样本均值x＝，则的置信度为的置信区间为(0.924,1.316).（已知z0.0251.96，z0.051.65，t0.025(8)2.3060，t0.05(8)1.8595）三、解答题（本大题共6小题，每题10分，共60分）。11、玻璃杯成箱销售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为,,.顾客购置时，售货员任意取一箱，而顾客任意查察四只，若无残品，则买下，不然，退回。现售货员任意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。（结果保存3个有效数字）解：设B表示售货员任意取一箱玻璃杯，顾客买下；Ai表示取到的一箱中含有i个残品，0,1,2，则所求概率为2P(B)P(B|Ai)P(Ai(5')i00.810.1191817160.118171615...........................(9')20191817201918170.943...................................................................................................(10')12、已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)2(x2x),0x1，30,其余（1）求概率P(0X1/2)；（2）求E(1).X解：（1）由题意P(0X12)122x)dx....................................................(4')2(x031(5')6（2）由随机变量函数的数学希望的性质E(1)1f(x)dx11)dx............................................(9')2(xXx03(10')0,x013、已知连续型随机变量X的散布函数为F(x)Aarcsinx,0x1，1,x1（1）求常数A；（2）求P(1/2X3/2)；（3）求X的概率密度函数f(x).解：（1）由散布函数的性质F(1)F(1)Aarcsin11...........................................................(1')所以可得A2...........................................................................(3')（2）由散布函数的性质P(1/2X3/2)F(3/2)F(1/2).........................................(5')22arcsin(1/2)13............................................(7')arcsin(3/2)2，x1............（3）由密度函数的定义f(x)dF(x)0(10')1x2dx0,其余14、已知二维连续型随机变量(X,Y)的结合概率密度函数为f(x,y)ey,0xy，0,其余1）求概率P(XY1)；2）分别求出(X,Y)对于X、Y的边沿密度函数fX(x)、fY(y),并判断X,Y能否独立。解：（1）由题意P(XY1)f(x,y)dxdy...............................................(2'){xy1}121xydy12xe(1x))dy.....................................(4')0dxe(ex0(1e12)2...............................................................................(5')（2）由边沿密度函数的定义eydy,xfX(x)x0,其余yydx,yfY(y)e00,其余由于当x0,y0时，f(x,y)

0ex,x0')0,..............................(7其余0yey,y00,.............................(9')其余fX(x)fY(y)，故X、Y不独立。.........(10')15、已知二元失散型随机变量(X,Y)的结合散布律为（1）分别求出(X,Y)对于X、Y的边沿散布律；（2）分别求出EX,EY,DX,DY,XY.解：（1）(X,Y)对于X的边沿密度函数为01............................(2')0.20.8101..........................(5')(X,Y)对于Y的边沿密度函数为0.30.60.1（2）由Y（1）可得-101X01EX0.8,DX0.16;EY0.5,DY0.45..................(7')又E(XY)(1)10.08110.480.40.......................................(8')则Cov(X,Y)E(XY)EXEY0.40.80.5.................(10')XYDXDY0DXDY16、已知整体X听从参数为p(0p1)的几何散布，即X的散布律为PXxp(1p)x1，x1,2,L，若X1,X2,L,Xn为来自整体X的一个容量为n的简单样本，求参数p的最大似然预计量。np)xi1............................................................解：似然函数为L(p)p(1(3')i1n对数似然函数ln[L(p)]nlnp(xin)ln(1p)..............................(5')i1n令dln[L(p)]nnxi0i10.....................................................(8')dpp1p^np的最大似然预计量pnXi...........................................................(10')i1四、应用题（本大题共1个小题，5分）。17、一系统由n个独立起作用的零件构成，每个零件正常工作的概率为0.9，且起码有80%的零件正常工作，系统才能运转。问n起码为多大时，才能使系统能够运转的概率不低于0.95（已知(1.65)0.95）解：设X表示n个零件中正常工作的零件数，则X:b(n,0.9).................(1')近似由中心极限制理X:N(0.9n,0.09n)......................................................(2')由题意，要求知足P(X80%)0.95的最小的n，而nP(X0.8n)0.95P(X0.9n0.8n0.9n)0.950.3n0.3n(n3)0.95(1.65)n31.65n24.5.......................(4')即n起码为25............................................................................................(5')五、证明题（本大题共1个小题，5分）。18、已知一母鸡所下蛋的个数X听从参数为的泊松散布，即X的散布律为P(Xk)ke0,1,2,L，而每个鸡蛋能够孵化成小鸡的概率为p.证明：这只母,kk!鸡后辈（小鸡）的个数Y听从参数为p的泊松散布，即P(Yr