高数113格林公式(黑白)课件

第三节一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件格林公式及其应用第十一章1第三节一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的格林公区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,或一、格林公式2区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(证明:1)若D既是X-型区域,又是

Y-型区域,且则3证明:1)若D既是X-型区域,又是Y-即同理可证①②①、②两式相加得:4即同理可证①②①、②两式相加得:42)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图证毕52)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个推论:

正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,椭圆所围面积6推论:正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:令则利用格林公式,得7例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:令则利例2.计算其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:令,则利用格林公式,有8例2.计算其中D是以O(0,0),A(1,1),例3.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:令设L所围区域为D,由格林公式知9例3.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和l¯

所围的区域为林公式,得10在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和l二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即11二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分与路径无关,只与起止点有关.说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B

的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))12(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)与路径无关,只与起止点有关.在D内是某一函数的全微分,即证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数13(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)与路径(4)在D内每一点都有(3)在D内是某一函数的全微分,即证明(3)

(4)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有14(4)在D内每一点都有(3)在D内是某一函数的全微证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(4)在D内每一点都有15证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如说明:根据定理2,若在某区域D内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;16说明:根据定理2,若在某区域D内则2)求曲线积分时,4)若已知du=

Pdx+Qdy,则对D内任一分段光滑曲线AB,有注:此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4).

它类似于微积分基本公式:174)若已知du=Pdx+Qdy,则对D内例4.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围原式圆周区域为D,

则18例4.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4例5.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使19例5.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证例6.验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:令则由定理2可知存在原函数20例6.验证在右半平面(x>0)内存在原函数,或21或21例7.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.22例7.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的思考:

积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意：本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!23思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意：本题只在不含原判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,③为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关的条件.1.求原函数u(x,y)2.由du=0知通解为

u(x,y)=C.*三、全微分方程则称为全微分方程.③24判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,③为全微例8.求解解:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解为法125例8.求解解:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解法2此全微分方程的通解为,则有两边对y求导得④⑤由④得与⑤比较得因此方程的通解为26法2此全微分方程的通解为,则有两边对y求导得④例9.求解解:∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程的通解为或27例9.求解解:∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.思考:

如何解方程这不是一个全微分方程,就化成例9的方程.使为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘注:若存在连续可微函数积分因子.28思考:如何解方程这不是一个全微分方程,就化成例9的方内容小结1.格林公式2.等价条件在D内与路径无关.在

D

内有对D内任意闭曲线L有在D

内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有为全微分方程29内容小结1.格林公式2.等价条件在D内与路径无关.在思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:30思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:2.设提示:作业P2142

(1);3;4

(3);

5

(1),(4)；

6(2),(5);

*8(2),(4),(7);9312.设提示:作业31备用题

1.设C为沿从点依逆时针的半圆,计算解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点32备用题1.设C为沿从点依逆时针的半圆,计算解:2.质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解:由图知故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y

轴正向夹角为求变力F对质点M所作的功.(1990考研)

F的大小等于点M在此过程中受力F作用,332.质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运3.

已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解:因积分与路径无关,故有即因此有343.已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解:因积第三节一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件格林公式及其应用第十一章35第三节一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的格林公区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,或一、格林公式36区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(证明:1)若D既是X-型区域,又是

Y-型区域,且则37证明:1)若D既是X-型区域,又是Y-即同理可证①②①、②两式相加得:38即同理可证①②①、②两式相加得:42)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图证毕392)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个推论:

正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,椭圆所围面积40推论:正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:令则利用格林公式,得41例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:令则利例2.计算其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:令,则利用格林公式,有42例2.计算其中D是以O(0,0),A(1,1),例3.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:令设L所围区域为D,由格林公式知43例3.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和l¯

所围的区域为林公式,得44在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和l二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即45二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分与路径无关,只与起止点有关.说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B

的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))46(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)与路径无关,只与起止点有关.在D内是某一函数的全微分,即证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数47(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)与路径(4)在D内每一点都有(3)在D内是某一函数的全微分,即证明(3)

(4)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有48(4)在D内每一点都有(3)在D内是某一函数的全微证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(4)在D内每一点都有49证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如说明:根据定理2,若在某区域D内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;50说明:根据定理2,若在某区域D内则2)求曲线积分时,4)若已知du=

Pdx+Qdy,则对D内任一分段光滑曲线AB,有注:此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4).

它类似于微积分基本公式:514)若已知du=Pdx+Qdy,则对D内例4.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围原式圆周区域为D,

则52例4.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4例5.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使53例5.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证例6.验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:令则由定理2可知存在原函数54例6.验证在右半平面(x>0)内存在原函数,或55或21例7.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.56例7.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的思考:

积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意：本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!57思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意：本题只在不含原判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,③为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关的条件.1.求原函数u(x,y)2.由du=0知通解为

u(x,y)=C.*三、全微分方程则称为全微分方程.③58判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,③为全微例8.求解解:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解为法159例8.求解解:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解法2此全微分方程的通解为,则有两边对y求导得④⑤由④得与⑤比较得因此方程的通解为60法2此全微分方程的通解为,则有两边对y求导得④例9.求解解:∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程的通解为或61例9.求解解:∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.思考:

如何解方程这不是一个全微分方程,就化成例9的方程.使为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘