全(13套)华师大版九年级上册课件：测量、锐角三角函数、解直角三角形(全章)-精选课件

（13套）华师大版九年级上册课件：测量、锐角三角函数、解直角三角形（全章）精选课件（13套）华师大版九年级上册课件：测量、锐角三角函数、解直角24.1测量24.1测量回顾练习小敏测得2m高的标杆在太阳光下的影长为1.2m，同时又测得一棵树的影长为12m，请你计算出这棵树的高度。回顾练习小敏测得2m高的标杆在太阳光下的影长为1.2m，同时旗杆在一个阳光普照的日子，当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你知道怎样测量旗杆的高度吗？想一想旗杆在一个阳光普照的日子，当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高旗杆利用量出竹竿在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度、竹竿的高度，便可利用构造出相似三角形，从而求出旗杆的高度。竹竿ABCC1B1A1方案一旗杆利用量出竹竿在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度、竹竿的高方案二为了测量学校操场上的旗杆的高度，八（7）班数学小组的同学进行了如下的实践与探索。根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图的测量方案：1、把镜子放在离旗杆（AB）27m的点E处，然后沿直线BE后退至点D，这时恰好在镜子里看到迎风飘扬的红旗顶端A，2、再用皮尺量得DE的长为2.4m，观测者的目高CD为1.6m，则旗杆得高度为ABCDE方案二为了测量学校操场上的旗杆的高度，八（7）班ABCDEECBDA怎么办？ECBDA怎么办？旗杆竹竿如果阴天，请你想办法测量出该旗杆的高度？并写出测量方案！旗杆竹竿如果阴天，请你想办法测量出该旗杆的高度？并写出测量方旗杆竹竿如果阴天，请你想办法测量出该旗杆的高度？并写出测量方案！旗杆竹竿如果阴天，请你想办法测量出该旗杆的高度？并写出测量方1、如图站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，地面34。BCEDA2、视线AB与水平线的夹角∠BAC为34。

，并且高AD为1.5米。3、现在请你按1：500的比例将ΔABC画在纸上，并记为ΔA’B’C’，用刻度直尺量出纸上B’C’的长度，便可以算出旗杆的实际高度。测量示意图：测量步骤：还可以利用三角形的相似算旗杆的高度吗？1、如图站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，地为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30.0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1.5米．试利用相似三角形的原理，求出该建筑的高度．（精确到0.1米）练习1为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30.0米处，目测其顶，视学习小结1、充分利用相似三角形的相关知识在测量中采用不同的方法或者设计不同的方案解决实际问题。2、我们也可借助于直角三角形来完成测量的方案。学习小结1、充分利用相似三角形的相关知识在测量中24.2直角三角形的性质24.2直角三角形的性质矩形的判定：

定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

有一个角是直角的平行四边形叫是矩形温故知新矩形的判定：定理1：有三个角是直角的四边形是矩形定理已知：在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠,CD是斜边AB上的中线

求证：CD=AB12ACBDE证明：延长CD到E，使DE=CD=CE，连接AE，BE。

∵CD是斜边AB上的中线，∴AD=DB。又∵CD=DE，∴四边形AEBC是平行四边形（_________________________________）∴CE=AB（____________________________），∴CD=AB。12∵∠ACB=Rt∠∴四边形AEBC是矩形（______________________________________）对角线互相平分的四边形是平行四边形有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形的对角线相等已知：在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠,CD是斜边AB上的一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形ABC已知：在ΔABC中，CD是边AB上的中线，且求证：ΔABC是直角三角形∵CD是边AB上的中线，∴AD=DB又∵CD=DE，∴四边形AEBC是平行四边形∴CE=ABDE证明：延长CD到E，使DE=CD=CE，连接AE，BE。∴四边形AEBC是矩形∴∠ACB=90°（对角线相等的平行四边形是矩形）∴△ABC是直角三角形还有其它证法吗？一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形ABC已知：定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AB。12CBAD几何语言：一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形推论：几何语言：在ΔABC中，CD是边AB上的中线，且∴ΔABC是直角三角形定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∵CD是斜边AB上小结：1、证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍，常用的定理：“三角形的中位线定理”和“直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半”2、添辅助线的方法：延长短的使它等于原来的，再证相等；或在长的上截取一段使它等于短，再证中点。小结：1、证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍，常用的定理（2）如图，一斜坡AB的中点为D，BC=1，CD=2，则斜坡的坡比为______练一练（1）在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=

BC=1，则AB边上的中线长为________（2）如图，一斜坡AB的中点为D，BC=1，CD=2，则斜坡（3）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，∠BAE=30O，AE=2，则BD=________练一练（4）如图，在Rt△ABC中,中∠ACB=Rt∠,CD是斜边AB上的中线,已知∠DCA=250,∠A=

,∠B=;CBAD250650（3）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，∠BAE=30（5）如图，已知BC=20m，∠B=∠C=30°，E、G分别为AB，AC的中点，P为BC的中点，且EF⊥BC，GH⊥BC，垂足分别为F，H，求EF、PG的长；APCBFGHE练一练（5）如图，已知BC=20m，∠B=∠C=30°，E、G（6）一张平行四边形纸片如图。现要求剪一刀，把它分成两部分，然后做适当的图形变换，把剪开的两部分拼成一个矩形，说明你的剪法和所采用的变换。ADCB练一练（6）一张平行四边形纸片如图。现要求剪一刀，把它分成两部分，例、求证：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的一半。已知：在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠,∠A=30°ABC求证：BC=AB12D证明其逆命题例、求证：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的一半。

在直角三角形中，等于斜边一半的直角边所对的角等于30°ABC已知：在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠,BC=AB12

求证：∠A=30°D说明：上面两个性质只能局限于填空和选择题在直角三角形中，等于斜边一半的直角边所对的角等于30°例1、已知：如图，△ABC中，BD，CE是高，G、F分别是BC，DE的中点。试判断FG与DE的位置关系，并加以证明。例1、已知：如图，△ABC中，BD，CE是高，G、F分别是B变式：已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=Rt∠，M是AC的中点，N是BD的中点。试判断MN与BD的位置关系，并加以证明。变式：已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=例2、已知：如图，AB与直线相交于一点，过点A，B作于C，于D，M为AB的中点，连结MC，MD。

求证：MC=MDE例2、已知：如图，AB与直线相交于一点，过点A，B作做一做1、如图Ｒt⊿ABC中，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ边上的中点，点Ｅ是ＡＢ边上的中点，如果ＣＥ＝３，则ＤＦ＝＿＿＿∵点Ｅ是ＡＢ边上的中点，∠ＡＣＢ＝９０°∴ＣＥ是Ｒt⊿ABC的斜边的中线∴ＡＢ＝２ＣＥ＝２×３＝６（＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半）∵点Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ边上的中点，∴DF是三角形ＡＢＣ的中位线∴(三角形的中位线等于第三边的一半）做一做1、如图Ｒt⊿ABC中，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ，Ｆ分别

2、如图：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的中线，已知∠DCA=200，则∠A

＝＿＿，∠B＝____。BCAD20°70°∵CD是斜边AB上的中线∴CD=AD=BD=AB(直角三角形的斜边中线等于斜边的一半）∴∠Ａ＝∠ＤＣＡ＝２０°∴∠Ｂ＝９０°－∠Ａ＝９０°－２０°＝７０°（直角三角形两锐角互余）2、如图：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的中线，已3、在矩形ABCD中，E是BC上一点，已知AE=AD,DF垂直与AE于点F,求证：CE=FEDCAFEB3、在矩形ABCD中，E是BC上一点，已知AE=AD,DF垂4、以ᇫABC的三边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即ᇫABC,ᇫBCE,ᇫACF,请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当ᇫABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？FEDCBA4、以ᇫABC的三边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即ᇫ课堂小结：证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍，（１）常用的定理：（2）添辅助线的方法：“三角形的中位线定理”和“直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半”

延长短的一倍，再证它与长的线段相等；或在长的上截取中点,再证中点取得的一半等于短的，课堂小结：证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍，（2）添辅24.3锐角三角函数24.3.1锐角三角函数24.3锐角三角函数24.3.1锐角三角函数BACA1B1C1△ABC∽△A1B1C1

BACA1B1C1△ABC∽△A1B1C1当我们知道视线与水平线的夹角为34度时，能否直接求出旗杆的高度呢？当我们知道视线与水平线的夹角为34度时，能否直接求出旗杆的高溫故知新:直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，你能说出各条边的名称吗？那么，Rt△ABC

有哪些性质？角的性质：边的性质：除了这些性质之外，那么边和角之间有没有联系呢？溫故知新:直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，你能说出各图19.3.1

当∠A的大小确定以后，不管直角三角形大小如何变化，

是否是一个固定的值

图19.3.1当∠A的大小确定以后，不管直角三角形大小如何B1C1Rt△ABC∽Rt△AB1C1C2B2Rt△ABC∽Rt△AB2C2B1C1Rt△ABC∽Rt△AB1C1C2B2Rt△ABC∽所以

＝________=________=可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确定的.B2C2AC2tanA=tanA

叫做∠A的正切函数所以＝________=________=可见，在Rt想一想对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的吗？想一想对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、sinA=cosA=sinA

叫做∠A的正弦函数cosA

叫做∠A的余弦函数tanA叫做

∠A的余切函数tanA=cotA=cotA叫做

∠A的余切函数sinA=cosA=sinA叫做∠A的正弦函数co温馨提示：1、sinA

不是一个角2、sinA不是

sin与A的乘积3、sinA

是一个比值4、sinA

没有单位正确表示：温馨提示：例1、求出如图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值.解：8思考：1、sinA和cosA的取值范围；2、sin2A+cos2A=?tanA.cotA=?例1、求出如图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值.解：我来试一试：1、如图1，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.

∠P的对边是_________,∠P的邻边是___________;

∠M的对边是________,∠M的邻边是___________;2、求出如图2所示的Rt△DEC(∠E＝90゜)中∠D的四个三角函数值(用字母表示).3、设Rt△ABC，∠C＝90゜∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件∠B的四个三角函数值：（1）a=3，b=4；（2）a=5，c=13.我来试一试：1、如图1，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.

∠4、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90゜，sinA=,AB=15，求△ABC的周长和tanA的值.4、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90゜，sinA=5、Rt△ABC中，如果各边都扩大到原来的两倍，则锐角A的正切值（）

A、扩大到2倍B、缩小到2倍

C、扩大到4倍D、没有变化

6、如图1,判断sinA=

ACB图1BCAB()ADBC图27、如图2，AD⊥CD,AB=13，BC=12,CD=3,AD=4,则sinB=()

5、Rt△ABC中，如果各边都扩大到原来的两倍，则锐角A的8、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AC=CD=，求∠BCD的四个三角函数值.2D8、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，A知识回顾：本节课我学会了：1、2、……知识回顾：本节课我学会了：24.3锐角三角函数24.3.1锐角三角函数24.3锐角三角函数24.3.1锐角三角函数锐角三角函数的内容1锐角三角函数的定义2锐角三角函数定义的应用A锐角的正弦值和余弦值的取值范围B锐角三角函数的两个性质3特殊角的三角函数值4一个定理锐角三角函数的内容1锐角三角函数的定义2022/11/22351锐角三角函数的定义这是做其他题目的基础啊，一定要牢记2022/11/21351锐角三角函数的定义这是做其他题目的定义的应用(一)取值范围：在以后的计算过程中，如果出现了一个锐角的正弦值或是余弦值大于1—你啊，快点回头检查，一定在哪一步出现了错误！定义的应用(一)取值范围：在以后的计算过程中，如果出现了一个应用（二）

锐角三角函数的两个性质的证明应用（二）

锐角三角函数的两个性质的证明两个三角函数性质的证明两个三角函数性质的证明特殊角的三角函数值30°45°60°sinAcosAtanA1特殊角的三角函数值30°45°60°sinAcosAta特殊角的三角函数值有时候，数学上的一些内容也需要你能牢记的---不过，看出规律以后，会加快你记住的速度的特殊角的三角函数值有时候，数学上的一些内容也需要你能牢记的-一个定理这个结论你知道是如何得出的吗？一个定理这个结论你知道是如何得出的吗？

随堂练习随堂练习全(13套)华师大版九年级上册课件：测量、锐角三角函数、解直角三角形(全章)-精选课件答案（1-----3题）设k法在很多有关的函数问题中经常用到答案（1-----3题）设k法在很多有关的函数问题中经常用到答案（4---5题）怎么样啊？你是不是很快的想出了这个方法啊？答案（4---5题）怎么样啊？你是不是很快的想出了这个方法啊

结束结束24.3.1锐角三角函数欢迎各位光临指导！24.3.1锐角三角函数欢迎各位光临指导！我们已经知道，如图：直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示.∠A的对边a

脑中有“图”，心中有“式”BAC∠A的邻边b斜边c我们已经知道，如图：直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.

∠P的对边是__________,∠P的邻边是_______________;

∠M的对边是__________,∠M的邻边是_______________;

MNPNPN

MNPMN如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.

∠P的对边是____观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，它们相似吗？Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的.B2C2AC2B3C3AC3所以＝__________=__________.B1C1AC1AC1C2C3B3B1B2观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的吗？想一想AC1C2C3B3B1B2对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与注意：

1.我们研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的.2.三角函数的实质是一个比值，没有单位，而且这个比值只与锐角的大小有关与三角形边长无关.3.sinA、cosA、tanA、cotA都是表达符号,它们是一个整体,不能拆开来理解.4.sinA、cosA、tanA、cotA中∠A的角的记号“∠”∠习惯省略不写,但对于用三个大写字母和阿拉伯数字表示的角,角的记号“∠”不能省略.如sin∠1不能写成sin1.注意：1.我们研究的锐角三角函数都是在直角三角形中1、下图中∠ACB=90°，(1)指出∠A的对边、邻边。2、上题中如果CD=5，AC=10，则sinA=

试一试ABCD(2)CD⊥AB(3)sinA可以表示为1、下图中∠ACB=90°，2、上题中如果CD=5，AC=1求出如图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值.CBA68示例：求出如图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值.CBA681.设Rt△ABC中∠ACB=90°,∠A∠B、∠C的对边分别a、b、c根据下列条件求∠B的四个三角函数值（1）a=3b=4（2）a=5c=13小试身手11tanA•cotA=2.猜一猜做一做1.设Rt△ABC中∠ACB=90°,∠A∠B、∠C的在Rt△ABC中,∠ACB=90°sinA=,AB=10.求AC、tanBABC示例：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵sinA==AB=10∴BC=AB×=8∵AC==6∴tanB=在Rt△ABC中,∠ACB=90°sinA=(4)把Rt△ABC的各边都扩大5倍得Rt△A1B1C1则锐角A，

A1的余弦值关系是（）

AcosA=cosA1B3cosA=cosA1

CcosA=3cosA1D不能确定(2)（）·cot20º=1，(1)在Rt△ABC中∠ACB=90°，

BC:AC=3:4cosA=Atan20º

(3)(50°)+=1勇往直前相信自己一定行(4)把Rt△ABC的各边都扩大5倍得Rt△A1B1C1在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，AB=5BC=3CD⊥AB求sin∠BCD登峰造极ACDB在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5B谈谈你这节课有什么收获布置作业谈谈你这节课有什么收获布置作业再见再见华师版九年级数学(上册)第二十四章

24.3.1锐角三角函数华师版九年级数学(上册)第二十四章

24.3.1锐角三角1、角与角之间的关系：两锐角互余。2、边与边之间的关系：a2+b2=c2那么直角三角形的角与边之间又有什么关系？1、角与角之间的关系：两锐角互余。2、边与边之间的关系：a21、sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。

2、sinA、cosA是一个比值（数值）。

3、sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，正弦余弦1、sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是

当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边、邻边与对边比值也是惟一确定的吗？

想一想

比一比当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边、邻边

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值。B’C’BCA’C’AC＝所以ACBCA’C’B’C’＝即ACBCA’C’B’C’＝问：有什么关系？在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，

我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作

tanA；邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA.一个角的正切、余切表示定值、比值、正值。cotA=∠A的邻边∠A的对边=ab=abtanA=如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把

在RtABC中对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA、cotA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切、余切叫做∠A的锐角三角函数。在RtABC中对于锐角A的每一个确定的应用举例1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，求∠A的三角函数值。

a=9b=12

2、在△ABC中，AB=AC＝4，BC=6，求∠B的三角函数值。应用举例1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，求∠A的三角函下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和∠B的对边、邻边。试一试：ABCD(1)tanA=

=AC()CD()(2)tanB=

=BC()CD()BCADBDAC下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和∠B

显然锐角三角函数都是正实数，你能利用直角三角形三边关系得到sinA与cosA的取值范围吗？0<sinA<1,0<cosA<1tanA与cotA的关系：

sinA与cosA的关系：

tanA与sinA、cosA之间的关系：cotA与sinA、cosA之间的关系：

sin2A+cos2A=1tanA·cotA=1sinAcosAtanA=

cosAsinAcotA=显然锐角三角函数都是正实数，你能利用直角三

已知∠A为锐角，sinA＝，求cosA、tanA的值。练一练：解：∵sin2A+cos2A=1

∴cosA=√1-sin2A=√1-()2=178∵sinAcosAtanA=

∴tanA=1781517=158已知∠A为锐角，sinA＝

如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值（）

A.扩大100倍B.缩小100倍

C.不变D.不能确定ABC┌C试一试：如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大10小结回顾在Rt△ABC中

及时总结经验，要养成积累方法和经验的良好习惯！

=abtanA=cotA=∠A的邻边∠A的对边=ab=acsinA=斜边的对边AÐ=bccosA=斜边的邻边AÐ小结回顾在Rt△ABC中及时总定义中应该注意的几个问题:回味无穷1、sinA、cosA、tanA、cotA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。2、sinA、cosA、tanA、cotA是一个比值（数值）。3、sinA、cosA、tanA、cotA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。定义中应该注意的几个问题:回味无穷1、s课本作业课后作业独立完成作业的良好习惯，是成长过程中的良师益友。课本作业课后作业独立完成作业的良好习惯，是成长过程中的良师益24.3.2用计算器求锐角三角函数值*24.3.2用计算器求锐角三角函数值*αsinαcosαtanacota300

450

600

11特殊角的三角函数值αsinαcosαtanacota300

45*求下列各式的值*求下列各式的值*如图，有一个斜坡，现在要在斜坡AB上植树造林，要保持两棵树水平间距为2m，那么沿斜坡方向每隔几米挖坑（已知斜坡面的倾斜角为16°18′）同学们想一想能求出两坑的距离吗？ABC*如图，有一个斜坡，现在要在斜坡AB上植树造林，要保持两棵树*求sin63゜52′41″的值.（精确到0.0001）求cot70゜45′的值.（精确到0.0001）练习1、使用计算器求下列三角函数值.（精确到0.0001）

sin24゜,cos51゜42′20″,tan70゜21′cot70゜.例题1、*求sin63゜52′41″的值.（精确到0.0001）例题*

例题2、

已知tanx=0.7410,求锐角x.

（精确到1′）已知cotx=0.1950,求锐角x.

（精确到1′）练习2、已知锐角α的三角函数值，使用计算器求锐角α.（精确到1′）（1）sinα=0.2476;（2）cosα=0.4174;（3）tanα=0.1890;（4）cotα=1.3773.*例题2、*1、在Rt△ABC中，∠C＝90゜，已知AC＝21，AB＝29，求∠A的度数2.在Rt△ABC中，∠C＝90゜，BC:AC＝3:4，求∠B的度数*1、在Rt△ABC中，∠C＝90゜，*3、等腰△ABC中，顶角∠ACB＝108゜，腰AC＝10cm，求底边AB的长及△ABC的面积？*3、等腰△ABC中，顶角∠ACB＝108゜，*已知：直角三角形ABC中，∠C=900，∠BAC=300，延长CA到D使AD=AB，连接BD，你能运用三角函数求出∠D的正切、余切值吗？

DCBA*已知：直角三角形ABC中，∠C=900，∠BAC=300，24.4解直角三角形24.4解直角三角形直角三角形三边之间关系锐角之间关系边角之间关系(以锐角A为例)a2+b2=c2（勾股定理）∠A+∠B=90º直角三角形三边之间关系锐角之间关系a2+b2=c2（勾股练习:在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,AB=13,则有

①根据勾股定理得:

BC=_________=______②sinA=_____=_____

③cosA=_______=_______

④tanA=_____=____⑤cotA=___=___5132-12212135练习:5132-12212135练习1：在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？

BCA练习1：在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳1、在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三形；3、在直角三角形中，如果已知两条边的长度，那么就可利用勾股定理求出另外的一条边。2、在解决实际问题时,应“先画图,再求解”；

概括4、在直角三角形中，如果已知两条边的长度，能否求出另外两个锐角？1、在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角虎门威远炮台虎门威远炮台全(13套)华师大版九年级上册课件：测量、锐角三角函数、解直角三角形(全章)-精选课件虎门威远的东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求:(1)敌舰C与炮台A的距离;(2)敌舰C与炮台B的距离.(精确到1米）

虎门威远的东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入(1)在直角三角形中，已知一条边和一个锐角，可利用三角函数来求另外的边

.注意:

(2)解直角三角形过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到(1)在直角三角形中，已知一条边注意:练习2：海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求(1)从A处到B处的距离;(2)灯塔Q到B处的距离（画出图形后计算，精确到0.1海里）

练习2：海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看

小结①定义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形;②在解决实际问题时,应“先画图,再求解”;③解直角三角形，只有下面两种情况可解：

（1）已知两条边；

（2）已知一条边和一个锐角。小结②在24.4解直角三角形24.4解直角三角形ABCbc1.三边关系3.边角关系2.锐角关系90度ABCbc1.三边关系3.边角关系2.锐角关系90度例如，要测出一座铁塔的高度，一般需用测角仪测出一个角来，BE是铁塔，要求BE是不能直接度量的，怎样测量呢？

常常在距塔底B的适当地方，比如100米的A处，架一个测角仪，测角仪高1.52米，那么从C点可测出一个角，即∠ECD，比如∠ECD=24°24′，那么在Rt△ECD中，DE=CDtan∠ECD，显然DE＋BD即铁塔的高：例如，要测出一座铁塔的高度，一般需用测角仪测出一个角来，BE

1.仰角与俯角的定义

在视线与水平线所成的角中规定:

视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角。铅垂线视线视线水平线仰角俯角1.仰角与俯角的定义铅垂线视线视线水平线仰角俯例1在升旗仪式上，一位同学站在离旗杆24米处，行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30度，若两眼离地面1.5米，则旗杆的高度是否可求？若可求，求出旗杆的高，若不可求，说明理由.（精确到0.1米）.A30度24米1.5米CDEBA90度例1在升旗仪式上，一位同学站在离旗杆24米处，行注目礼解：A241.5DEBC30°答：旗杆的高为15.4米。90°解：A241.5DEBC30°答：旗杆的高为15.4米。90

例2.河的对岸有水塔AB,今在C处测得塔顶A的仰角为30°，前进20米到D处，又测得塔顶A的仰角为60°.

求塔高AB.示意图30°60°解：例2.河的对岸有水塔AB,今在C处测得塔示意图

练习1.某飞机与空中A处探测到目标

C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B的距离。

分析：解决此类实际问题的关键是画出正确的示意图，能说出题目中每句话对应图中哪个角或边，将实际问题转化直角三角形的问题来解决。练习1.某飞机与空中A处探测到目标分析：解决此α如图：解：在RtΔABC中，

sinB=AC/AB,∴AB=AC/sinB=AC/sin16°31′≈1200/0.2843=4221（米）答：飞机A到控制点B的距离为4221米。

1200mα如图：解：在RtΔABC中，1200m练习2．如图8，两建筑物AB、CD的水平距离BC=32.6米，从A点测得D点的俯角α=35°12′，C点的俯角β=43°24′，求这两个建筑物的高AB和CD(精确到0.1m)．

练习2．如图8，两建筑物AB、CD的水平距离BC=32.6米练习3.如图,沿AC方向开山修渠．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=520米，∠D=50°．那么开挖点E离D多远(精确到0.1米)，正好能使A，C，E成一直线？练习3.如图,沿AC方向开山修渠．为了加快施工进度，要本节课我们主要研究的是关于仰角，俯角的基本定义，及用解直角三角形的方法解决实际问题小结：本节课我们主要研究的是关于仰角，俯角小结：24.4解直角三角形24.4解直角三角形

△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=3,∠A=30°,求∠B,a,c.ABCabc330°△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a6个元素三边两个锐角一个直角(已知)5个定义：由直角三角形中已知的边和角，计算出未知的边和角的过程，叫

.解直角三角形ABCabc6个元素三边两个锐角一个直角(已知)5个定义：由直角三角形中如图：RtABC中,C=90,则其余的5个元素之间有什么关系？bCABca如图：RtABC中,C=90,则其余的5个元素之间有

在△ABC中,∠C＝90°,,求∠A、∠B、c边.ABCabc2

在△ABC中,∠C＝90°,ABCabc2

1.填空：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.

(1)c＝10,∠B＝45°,则a=

，b=

S△=

(2)a=10,∠B＝45°,

S△=,则b=

,∠A＝

1.填空：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，a、b、2.△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，

(1)a=4,sinA=,求b,c,tanB；

(2)a+c=12，b=8，求a,c,cosBABCabcABCabc48522.△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠在RtΔABC中,若∠C=900，问题1.在RtΔABC中,两锐角∠A,∠B的有什么关系?答：∠A+∠B=900.问题2.在RtΔABC中,三边a、b、c的关系如何？答：a2+b2=c2.问题3：在RtΔABC中，∠A与边的关系是什么？答：在RtΔABC中,若∠C=900，

在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.解直角三角形,只有下面两种情况：(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，除特别说1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，由下列条件解直角三角形：(1)已知a＝6,b=6,则∠B=

，∠A=

，c=

；(2)已知c＝30,∠A＝60°则∠B=

，a

=

，b=

；1551.在Rt△ABC中，∠C＝90°，由下列条件解直角三角形：

1.仰角与俯角的定义

在视线与水平线所成的角中规定:

视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角。铅垂线视线视线水平线仰角俯角1.仰角与俯角的定义铅垂线视线视线水平线仰角俯1.如图,升国旗时某同学站在离旗杆24m处行注目礼,当国旗升到旗杆顶端时,这位同学的视线的仰角为30o,若双眼离地面1.5m,则旗杆高度为多少米？30oABCDE1.如图,升国旗时某同学站在离旗杆24m处行注目礼,当国旗升2.在操场上一点A测得旗杆顶端的仰角为30°再向旗杆方向前进20m,又测得旗杆的顶端的仰角为45°,求旗杆的高度.(精确到1m)A20B30°DC45°2.在操场上一点A测得旗杆顶端的仰角为30°再向旗杆方向前进坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。1、什么叫坡度？2、什么叫坡角？坡角是斜坡与水平线的夹角3、坡角和坡度什么关系？

坡角与坡度之间的关系是：i＝=tana

i＝坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。1、什么叫坡度(1).一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动米，则物体升高了

______米．(2).河堤的横断面如图所示，堤高BC是5m，迎水坡AB的长是13m，那么斜坡AB的坡度是（）．

A1：3B1：2.6C1：2.4D1：21C(1).一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动米，则物体(3)如果坡角的余弦值为，那么坡度为（）．

A1:B3:C1:3D3:1BCAC(3)如果坡角的余弦值为，那么坡度为（一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD，试根据下图中的数据求出坡角a和坝底宽AD.(单位是m，结果保留根号)ABCDEF46α一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD，试根据下图中的数据求出坡如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD已知上底长CB=5m，迎水面坡度为1：背水面坡度为1：1，坝高为4m.求(1)坡底宽AD的长.(2)迎水坡CD的长.(3)坡角α、β．CDBAβα如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD已知上底长CB=5m，迎水如图,一段路基的横断面是梯形，高为4.2m，上底的宽是12.51m，路基的坡面与地面的倾角分别是30°和45°．求路基下底的宽.(精确到0.1m)

45°30°ABCDEF如图,一段路基的横断面是梯形，高为4.2m，上底的宽是12.(1)、一斜坡的坡角为30度，则它的坡度为

；

(2)、坡度通常写成1：

的形式。如果一个坡度为1:1,则这个坡角为

，

1：

m450(1)、一斜坡的坡角为30度，则它的坡度为(3)、等腰梯形的较小底长为3，腰长为5，高为4，则另一个底长为

，坡度为

，

(4)、梯形的两底长分别为5和8，一腰长为4，则另一腰长X的取值范围是

。94:31<x<7(3)、等腰梯形的较小底长为3，腰长为5，高为4，则另一个底(5)锐角△ABC中，

则∠C=

。(5)锐角△ABC中，ABC如图,在△ABC中,已知AC=6，∠C=75°,∠B=45°,求S△ABC。DABC如图,在△ABC中,已知AC=6，D求证:ABCD的面积S=AB·BC·sinB(∠B为锐角)。ABCDE求证:ABCD的面积ABCDE我军某部在一次野外训练中,有一辆坦克准备通过一座小山,且山脚和山顶的水平距离为1000m，山高为565m,如果这辆坦克能够爬300

的斜坡,试问:它能不能通过这座小山？AC1000m565mB我军某部在一次野外训练中,有一辆坦克准备通过一座小山,且山脚┓ABCD山顶上有一旗杆,在地面上一点A处测得杆顶B的俯角α=600，杆底C的俯角β=450，已知旗杆高BC=20m，求山高CD。┓ABCD山顶上有一旗杆,在地面上一点A处测得杆顶B的俯角α河的对岸有水塔AB,今在C处测得塔顶A的仰角为30°，前进20米到D处，又测得塔顶A的仰角为60°.求塔高AB.30°60°ABCD河的对岸有水塔AB,今在C处测得塔顶A的仰角为30°，前进(1).在电线杆离地面8m高的地方向地面拉一条长10m的缆绳,问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？(2).海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.(画出图形后计算，精确到0.1海里)(1).在电线杆离地面8m高的地方向地面拉一条长10m的缆绳如图,为了测量小河的宽度,在河的岸边选择B.C两点,在对岸选择一个目标点A,测∠BAC=75°,∠ACB=45°BC=48m,求河宽.ABCD如图,为了测量小河的宽度,在河的岸边选择B.C两点,在对岸选海岛A四周20海里内为暗礁区,一艘货轮由东向西航行,在B处见岛A在北偏西60˚,航行24海里到C,见岛A在北偏西30˚,货轮继续向西航行,有无触礁的危险?请说明理由.ABDCNN130˚60˚海岛A四周20海里内为暗礁区,一艘货轮由东向西航行,在B处见如图学校里有一块三角形形状的花圃ABC,现测∠A=30°,AC=40m,BC=25m,请你帮助计算一下这块花圃的面积?DACB300如图学校里有一块三角形形状的花圃ABC,现测∠A=30°,A

由于过度采伐森林和破坏植被,我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭.近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向240km的B处,以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动,距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域。由于过度采伐森林和破坏植被,我国部分地区频频遭某市计划将地处A、B两地的两所大学合并成一所综合大学,为了方便A、B两地师生的交往,学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路(即图中的线段AB)经测量,在A地的北偏东60º方向，B地的西偏北45º方向的C处有一个半径为0.7千米的公园,问计划修筑的这条公路会不会穿过公园?为什么?60º45ºCBAD某市计划将地处A、B两地的两所大学合并成一所综合大学,为了方解（1）：过A作AC⊥BM,垂足为C,在Rt△ABC中，∠B=30°,

∴AC=AB=x240=1201212∵AC=120<150∴A城受到沙尘暴影响(1)A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？ABCOC解（1）：过A作AC⊥BM,垂足为C,在Rt△ABC中，∠ABCEFM解（2）：设点E、F是以A为圆心，150km为半径的圆与BM的交点，由题意得：∴CE=AE2–AC2=90√∴EF=2CE=2x90=180∴A城受到沙尘暴影响的时间为180÷12=15小时答：A城将受到这次沙尘暴影响，影响的时间为15小时。(2)若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？ABCEFM解（2）：设点E、F是以A为圆心，150km为半如图,一人在河对岸C处测得电视塔尖A的仰角为45º,后退100米到达D处,测得塔尖A的仰角为30º,设塔底B与C、D在同一直线上，求电视塔的高度AB。DCBA45º30º如图,一人在河对岸C处测得电视塔尖A的仰角为45º,后退1024.4解直角三角形24.4解直角三角形学习永远是件快乐而有趣的事！多彩的数学世界及其解决实际问题的魅力将把你引入一个奇妙的境界！学习永远是件快乐而有趣的事！

三边之间关系锐角之间关系边角之间关系(以锐角A为例)a2+b2=c2（勾股定理）∠A+∠B=90º直角三角形三边之间关系锐角之间关系a2+b2=c2（勾股定理）∠A仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；水平线视线视线铅垂线仰角俯角从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰解在Rt△ADE中，

AE＝DE×tana

＝BC×tana

＝22.7×tan22°≈9.17AB＝BE＋AE

＝AE＋CD

＝9.17＋1.20≈10.4（米）答:旗杆的高度约为10.4米．∵∴做一做?22.7D１、如图，为了测量旗杆的高度AB，在离旗杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角＝22°，求旗杆AB的高.（精确到0.1米）解在Rt△ADE中，∵∴做一做?22.7D１、如图，为了水平线地面２、如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角＝200，求飞机A到控制点B的距离.(精确到1米）水平线地面２、如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高解在Rt△ABC中,AC=1200,＝200

由所以所以飞机A到控制点B的距离约3509米.解在Rt△ABC中,AC=1200,＝200３、小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲在自家窗口测得大厦顶部的仰角和大厦底部的俯角（如图所示），量得两幢楼之间的距离为32m，问大厦有多高？（结果精确到1m)m?32m３、小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲在自家窗口测得大厦顶部32mAC=32m解：在ΔABC中，∠ACB=900

∵∠CAB=460∴

在ΔADC中∠ACD=900

∵∠CAD=290∴BD=BC+CD=33.1+17.7≈51答：大厦高BD约为51m.AC=32m∴32mAC=32m解：在ΔABC中，∠ACB=900

·一位同学测河宽,如图,在河岸上一点A观测河对岸边的一小树C,测得AC与河岸边的夹角为45０,沿河岸边向前走200米到达B点,又观测河对岸边的小树C,测得BC与河岸边的夹角为30０,问这位同学能否计算出河宽?若不能,请说明理由;若能,请你计算出河宽.请你来帮忙！播放停止 ·一位同学测河宽,如图,在河岸上一点A观测河对岸边的一小树解这位同学能计算出河宽.

在Rt△ACD中,设CD=x,由∠

CAD=450,则CD=AD=x.

在Rt△BCD中,AB=200,

则BD=200+X,由∠CBD=300,

则tan300=即解得所以河宽为解这位同学能计算出河宽.动手做一做1、一架飞机以300角俯冲400米,则飞机的高度变化情况是()

A.升高400米

B.下降400米

C.下降200米

D.下降米

2、在山顶上D处有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o，已知塔高BD=30米，则山高CD=__________米.

ABCDαβC动手做一做1、一架飞机以300角俯冲400米,本节课你有什么收获?本节课你有什么收获?

PPT

(1)求直角三角形中未知角、边时，先画出示意图，尽可能直接找出与已知角、边的关系来求解.（2）解决实际问题时，先将实物模型转化为几何图形，如果示意图不是直角三角形时，添加适当的辅助线，画出直角三角形来求解.谢谢大家（2）解决实际问题时，先将实物模型转化为几何图形，如果示意图不是直角三角形时，添加适当的辅助线，画出直角三角形来求解.

(1)求直角三角形中未知角、边时，先画出示意图，尽可能直接找出与已知角、边的关系来求解.

PPT谢谢大家PPT(1)求直角三角形中未知角、边时，先画出示意图，尽已知斜边求直边，已知直边求直边，已知两边求一边，已知两边求一角，已知锐角求锐角，已知直边求斜边，计算方法要选择，正弦余弦很方便；正切余切理当然；函数关系要选好；勾股定理最方便；互余关系要记好；用除还需正余弦；能用乘法不用除.优选关系式已知斜边求直边，已知直边求直边，已知两边求一边，已知两边求一就到这里吧，就到这里了！就到这里吧，就到这里了！24.4解直角三角形——坡度、坡角24.4解直角三角形——坡度、坡角在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠

B＝90º；(3)边角之间的关系:tanA＝absinA＝accosA＝bc复习旧知(必有一边)cotA＝baＡＣＢabc别忽略我哦！在直角三角形中,除直角外,由已知两元素水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的，斜坡CD的，

则斜坡CD的，坝底宽AD和斜坡AB

的长应设计为多少？坡度i=1∶3坡度i=1∶2.5坡面角αADBCi=1:2.5236创设情景水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的探索新知αlhi=h:l1、坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α

。2、坡度（或坡比）

坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.

如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i,即i=——hl3、坡度与坡角的关系坡度等于坡角的正切值坡面水平面探索新知αlhi=h:l1、坡角坡面与水平面的夹角叫做1、斜坡的坡度是，则坡角α=______度。2、斜坡的坡角是450

，则坡比是_______。3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。αLh30巩固概念1：11、斜坡的坡度是，则坡角α=______度。例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高

23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度

i=1∶2.5，求：（1）坝底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m

）（2）斜坡CD的坡角α。（精确到）例题讲解EFADBCi=1:2.5236α分析：（1）由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C作AD的垂线。

（2）垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD，EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出。

（3）斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt△ABE和Rt△CDF。例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高例题讲解EFA解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、F,由题意可知在Rt△ABE中BE=CF=23mEF=BC=6m在Rt△DCF中，同理可得=69+6+57.5=132.5m在Rt△ABE中，由勾股定理可得(2)斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4

由计算器可算得EFADBCi=1:2.5236α

答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡CD的坡角α约为22°。解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△A

一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽．（精确到0.1,米,）

变式练习45°30°4米12米ABCEFD一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知

DE＝CF＝4（米），

CD＝EF＝12（米）．在Rt△ADE中，

在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF

≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．答：路基下底的宽约为