概率统计-p2.5连续型随机变量及其

§2.5

连续型随 量及其概率密度函数连续型随

量的概念定义

设

X

是一随

量，若存在一个非负可积函数

f

(

x

),

使得f

(t)dt

x

F

(x)

x其中F

(x

)是它的分布函数则称

X

是连续型随量，f(x

)是它的概率密度函数(p.d.f.)，简称为密度函数或概率密度10550

08xf

(

x)xF

(

x

)分布函数F

(x

)与密度函数

f

(x

)的几何意义y

f

(x)p.d.f.

f

(x

)的性质f

(x)

0f

(x)dx

F

()

1常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型随

量的密度函数，或求其中的未知参数在f

(x)的连续点处，f

(x)

F(x)

x

)f

(t)

dt(F(x)

xF

(x0

x)

F

(x0

)F(x

)

limx000xx

x

x)P(x

X

limx00000

f

(x

)f

(t)dt

x

F

(x)

x积分不是Cauchy

积分，而是Lesbesgue

意义下的积分，所得的变上限的函数是绝对连续的，因此几乎处处可导f

(x0

)

x

P(x0

X

x0

x)线段质量密度

长度注意:对于连续型随这里a

可以是随量X

,P

(X=a)=0量X

的一个可能的取值x

X

a)0

P(

X

a)

P(a

aaxx

0f

(x)dxaax0

P(

X

a)

limx0f

(x)dx

0P(

X

a)

0命题

连续型随

量取任一常数的概率为零强调概率为1(零)的事件未必发生

(不发生)事实上

(

X

a)

(a

x

X

a)对于连续型随

量XP(a

X

b)

P(a

X

b)

P(a

X

b)

P(a

X

b)baf

(x)d

x

F(b)

F(a)bxf

(

x)10550

08aP(

X

b)

P(

X

b)

F

(b)xP(

X

a)

P(

X

a)

1

F

(a)f

(

x)10550

08a例1

有一批晶体管，已知每只的使用

X

为连续型随

量，其概率密度函数为2x

1000

c

,f

(x)

x

(c

为常数)

0,

其他求常数

c已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，每只晶体管能否正常工作相互独立，求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.解(1)f

(x)d

x

1000令d

x

1

x2cc

=1000(2)设事件

A

表示一只晶体管的

小于1500小时P(

A)

P(0

X

1500)31000

115001000d

x

x2设在使用的最初1500小时三只晶体管中损坏的只数为

Y

3~

B3,1

493

3

3

1

2

2P(Y

1)

C1

例2

设随

量X的概率密度为1

x,1

x

0f

(x)

x,0

x

110,其它P{|

X

|

1};2X

的分布函数。求(1)(2)解(1)

P{|

X

|

1

P{

1

X

1}}12122

2

2f

(x)dx01210f

(x)dx

f

(x)dx012210(1

x)dx

2

(1

x)dx120222x

)

|122

(x

1

x

)

|

(x

01

3

3

3

0.758

8

4(2)xf(t)dt

x

F

(x)

当x

1

时,f

(t)

0(

t

x),

F

(x)

0当1

x

0

时,F

(x)

x

11f

(t)dt

f

(t)dtx(1

t)dt

(t

2t

)

|x1112

0

2

2

1

x2

x

1当0

x

1

时,f

(t)dt

F

(x)

1xf

(t)dt001f

(t)dt

(1

t)dt(1

t)dt

0

x001022

(t

1

t

2

)

|0

(t

1

t

2

)

|x12

1

x2

x

1f

(t)dt

2当

x

1

时,1f

(t)dt

F

(x)

xf

(t)dt

1f

(t)dt1001t)dt

0

1

0

10

1

0(1

t)dt

(11,

x

11X

的分布函数为0,

x

1F

(x)

2,0

x

1

x

,1

x

0

x

122112x

2x

2§2.6

常见的连续型随

量的分布(1)

均匀分布(a

,

b)上的均匀分布

记作

X

~

U

(a,b)若

X

的密度函数为

f

(x)，则称

X

服从区间,

a

x

b其中

f

(x)

b

a其他

0,0,1X

的分布函数为

x

ab

a

,1F

(x)x

ba

x

b,x

a,xf

(

x)abxF(

x)ba(c,d

)

(a,b)1

d

x

d

cc

b

aP(c

X

d

)

db

a即X

的取值在(a,b)内任何长为

d–c的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.在进行大量数值计算时，如果在小数点后第k

位进行四舍五入，则产生的误差可以看作服从k

k1U

110

,

102

2应用场合例3秒表的最小刻度差为0.01秒.若计时精度是取最近的刻度值,求使用该秒表计时产生的随机误差X的概率密度,并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.X

~

U

0.0解

由题设知随机误差

X

等可能地取得区间0.005上的任一值，则

0.005

0,100,f

(x)

x

0.005其他0.004100dx

0.8所以P(

X

0.004)

0.004(2)

指数分布若

X

的概率密度为x

00,

其他f

(x)

ex

,则称

X

服从

参数为的指数分布1

e0,

x

0,

x

0X

的分布函数为

F

(x)

x

>0

为常数xF(

x)

10xf

(

x)0对于任意的

0<a

<b,

F

(b)

F

(a)

ea

ebbaxe

d

xP(a

X

b)

应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间问题中的通话时间无线电元件的动物的指数分布常作为各种“

”分布的近似所以，又把指数分布称为“年轻”的分布指数分布的“无

性”若X服从指数分布,则P(X

s

t

X

s)

P(X

t)事实上P(

X

s

t X

s)

P(

X

s

t,

X

s)

P(

X

s

t)tX)sX)(P1

Fs(1)sXP)t(1tesP(

X

s)

P(

X

s)Fst

)(1

e

()st例4

假定一大型设备在任何长为

t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为t的Poisson分布,求相继两次故障的时间间隔

T

的概率分布.解FT

(t)

P(T

t)

0,t

01

P(T

t),

t

0P(T

t)

P(N

(t)

0)t

(t)0

et

e0!1

e0,

t

0,

t

0F

(t)

tf

(t)

t0,

t

0e

,

t

0即T服从指数分布§2.7

正态分布若X

的概率密度为e

x

f

(x)

2

2

(

x

)212

,

0

为常数，则称

X

服从参数为

,

2

的正态分布记作

X

~

N

(

,2

)N

(-3

,

1.2

)-6 -5-10.30.250.20.150.10

05-4 -3 -2

3f

(x)的性质：图形关于直线

x=

对称:f

(

+a

)=f

(

-a)在x=

时,f

(x)取得最大值12

在x=±

时,曲线y

=f

(x)在对应的点处有拐点曲线

y

=f

(x)以x轴为渐近线曲线

y

=f

(x)的图形呈单峰状

12P(

X

)

F

()

1

F

()

P(

X

)-6-5-4-3-2-10.30.250.20.150.10

05f

(x)的两个参数：

—位置参数即固定

,对于不同的

,对应的

f

(x)的形状不变化，只是位置不同

—形状参数固定

，对于不同的

，f

(x)的形状不同.若

1<

2

则1

12

1

2

2比x

=

2

所对应的拐点更靠近直线

x

=

附近值的概率更大.x=

1

所对应的拐点前者取

Show[fn1,fn3]-6 -5-4 -3 -2-10.10.30.20.50.4大小应用场合若随

量

X

受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加,

则

X

服从正态分布.可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差；工厂产品的尺寸；海洋波浪的高度；热噪声电流强度；人的生理特征；农作物的收获量；金属线的抗拉强度；学生们的考试成绩；一种重要的正态分布：N

(0,1)—标准正态分布e

x

(x)

x2212

(x)是偶函数，其图形关于纵轴对称它的分布函数记为

(x)，其值有专门的表可查

t

2e

2

dt

x

(x)

x12

(0)

0.5

(x)

1

(x)P(|

X

|

a)

2

(a)

1

(0)

0.53

-2

-11230.20.10.30.4-3

-2

-x

-1

(x)

1

(x)P(|

X

|

a)

2

(a)

11

x230.40.30.20.1对一般的正态分布：X

~

N

(

,

2)其分布函数F

(x)

xe

dt122

2

(t

)2作变量代换

s

t

F

(x)

x

P(a

X

b)

F

(b)

F

(a)

b

a

P(

X

a)

1

F

(a)

1

a

例5

设X

~

N(1,4),求P

(0

X

1.6)解

2

2P(0

X

1.6)

1.6

1

0

1

0.3

0.5

0.3

[1

0.5]

0.6179

[1

0.6915]

0.3094P380

附表3例6

已知

X

~

N

(2,

2

)

且

P(

2

<

X

<

4

)

=

0.3,求P

(X<0).解一

P(

X

0)

0

2

1

2

P(2

X

4)

4

2

2

2

2

(0)

0.3

2

0.8P(

X

0)

0.2解二

图解法0.2由图P(

X

0)

0.2-22460.050.150.10.20.3例3

原理设X

~

N(

,

2),求P(|

X

|

3

)解P(|

X

|

3

)

P(

3

X

3

)

3

3

3

3

2

3

1

2

0.9987

1

0.9974在一次试验中,

X

落入区间(

-

3

,

+3

)的概率为

0.9974,

而超出此区间的可能性很小由3

原理知，当

a

3时(a)

0,

b

3时(b)

1标准正态分布的

分位数

z设

X

~

N

(0,1)

,

0

<

<

1,

称满足P(

X

z

)

的点

z

为X

的

分位数1

z

2

3常用的几个数据0.95z

1.645z0.975

1.96-3

-2

-10.10.20.30.4正态分布的分位点的性质:(0

1)(