考研自动控制原理习题集及其解答

自动控制原理习题及其解答第一章（略）第二章例2-1弹簧，阻尼器串并联系统如图2-1示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。解：（1）设输入为外，输出为泗。弹簧与阻尼器并联平行移动。（2）列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足2斤=0，则对于A点有其中，号为阻尼摩擦力，F*,&2为弹性恢复力。写中间变量关系式尸/.或…。）/ dt%—检）尸K2=七必）(4)消中间变量得(4)化标准形丁群…冬风其中：其中：7=—_为时间常数，单位［秒KK=・।-为传递函数,无量纲。5+K2例2-2已知单摆系统的运动如图2-2示。（1）写出运动方程式（2）求取线性化方程解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角e,摆球质量为怔（2）由牛顿定律写原始方程。

m(l^-)=-mgsin0-hdt~其中，/为摆长，为运动弧长，力为空气阻力。(3)写中间变量关系式h=a(lm(l^-)=-mgsin0-hdt~其中，/为摆长，为运动弧长，力为空气阻力。(3)写中间变量关系式h=a(l—)

dt式中，"为空气阻力系数/也为运动线速度。dt(4)消中间变量得运动方程式疝粤+a〃+mgsin”。dt2dt图2-2单摆运动(2-1)此方程为二阶非线性齐次方程。(5)线性化由前可知，在6=0的附近，非线性函数sin。器。，故代入式(2-1)可得线性化方程为,d2e,deml———+al——drdt+mgd=0例2-3已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。解：(1)设输入量作用力矩切，输出为旋转角速度。»(2)列写运动方程式,dco一,,J =~~J(D+Aifdt式中，加为阻尼力矩，其大小与转速成正比。(3)整理成标准形为rdco, ..J—FjCD=M,此为一阶线性微分方程，若输出变量改为夕则由于de(0——

dt代入方程得二阶线性微分方程式rd20「d。、//不+/丁=河

dt-dt例2・4设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图2-4所示。

图2-4图2-4 倒立摆系统倒立找是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力〃作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心4。试求该系统的运动方程式。解：（1）设输入为作用力〃，输出为摆角6。（2）写原始方程式，设摆杆重心N的坐标为（Xa，力）于是XA=X+lsin0Xv=lcosO画出系统隔离体受力图如图2-5所示。摆杆围绕重心4点转动方程为:(2-2)/"■=〃sin8-〃/cosedt1(2-2)式中，＜/为摆杆围绕重心力的转动惯量。摆杆重心4沿X轴方向运动方程为：j2即 m—7(x+/sin，)=〃dj2即 m—7(x+/sin，)=〃d广摆杆重心力沿y轴方向运动方程为：(2-3)d~yATZm --V-mgdrJ-即 m—―(/cos0)=V-mgdf小车沿x轴方向运动方程为：M*=u-H

dt2方程(2-2),方程(2-3)为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sing和cos。项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。(3)当6很小时，可对方程组线性化，由sin。七8,同理可得到cos^l则方程式(2-2)式(2-3)可用线性化方程表示为：j2nj咨=vie-Hidt2d2x,d20„m———+ml———=Hdt10=K—mg

d2xM———=w

dt2dr-H用S?=4的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量人H、X得dt2{-Ml-M+mJ)s2e+(M+m)ge=u

ml将微分算子还原后得(Ml+■~—H—)——；——(M+m)g——=-u

mlIdt' dt此为二阶线性化偏量微分方程。例2-5KC无源网络电路图如图2—6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数a(s)/a(s)。&R,图2-6RC无源网络解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足广义的欧姆定律。即：以二Z(s)

/(s)如果二端元件是电阻R、电容C或电感，则复阻抗Z(s)分别是/?、1/Cs或As.(1)用复阻抗写电路方程式：/l($)=[%⑸-&($)].：C/cI(S)=[ZI(S)-/2(S)]./2(S)=[i/cl(5)-t7c2(S)]-^-匕2(S)=/2(SA；C2s(2)将以上四式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2—6(a).(3)用结构图化简法求传递函数的过程见图2—6(c)、⑺、(e)。(d)图2-6RC无源网络结构图（4）用梅逊公式直接由图2—6S）写出传递函数a（s）/a（s）o£GkAK

A独立回路有三个:RC[SR]GSL-f= = 2r2c2sr2c2sL= 1 1 = -1C\SR2R2cls回路相互不接触的情况只有A,和L2两个回路。则工12=心也= 7RlC[R2c2s2由上式可写出特征式为：A=1-(L,+L,+£,)-L,L.=1+—5—+―!—+―!—+ 5 RgSH2c2sR2clsR&R2c2s通向前路只有一条GJI1-1

1-RfC\SR2C2S~-C2s2由于G1与所有回路〃，L2,区都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为△1=1代入梅逊公式得传递函数cG,A, gR2c2s2u= = A, 1 1 1 11H 1 F F -RlGsR2c2sR2clsRgR2c2s2 1 &R2cle2s2+（H]G+R2c2+R1C?）s+1例2・6有源网络如图2—7所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果,直接用于图2—8所示PI调节器，写出传递函数。图2-7有源网络图2-7有源网络图2-8PI调节器解：图2-7中Z,和力表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，假设Z点为虚地，即上-0,运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是：/尸/2则有:a（6）=/G）z,（s）则有:Uc（S）=_/2（S）Z/G）故传递函数为3_也3_也U,(s) Z,(s)(2-4)对于由运算放大器构成的调节器，式（2-4）可看作计算传递函数的一般公式，对于图2-8所示PI调节器，有Zj(s)=R、Zf(s)=R2+白G(s)=-R2cs+1Z,(s)R、CS例2-7求下列微分方程的时域解x（f）。已知G(s)=-R2cs+1Z,(s)R、CS例2-7求下列微分方程的时域解x（f）。已知x（0）=0,*0）=3。d~x入dx,八——+3—+6x=0dt2dt解：对方程两端取拉氏变换为：S2X(5)-Sx(O)-i(0)+3sx(s)-3x(0)+6X(s)=0代入初始条件得到(s2+3S+6)X(s)=3解出X（6）为:X(s)=273V152S'3S+6一石(s+]»+(用2反变换得时域解为:,、2a/315,.ZV15、x(t)=—j^e]-sm(——Z)V52例28已知系统结构图如图2-9所示，试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。图2-9系统结构图nI图2/0系统结构图的简化解：(1)首先例28已知系统结构图如图2-9所示，试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。图2-9系统结构图nI图2/0系统结构图的简化(2)将反馈环和并连部分用代数方法化简，得图2-10(6)。(3)最后将两个方框串联相乘得图2-10(c)。例2-9已知系统结构图如图2-11所示，试用化简法求传递函数C(s)/夫⑻。解：(1)将两条前馈通路分开，改画成图2-12(°)的形式。(2)将小前馈并联支路相加，得图2-12(6)。覆s) O*).G|G]♦彷覆s) O*).G|G]♦彷♦]图2-12 系统结构图将支路化简为图2-12(c)。例2-10已知机械系统如图2-13(a)所示，电气系统如图2-13(b)所示，试画出两系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。图2-13系统结构图 解：(1)若图2-13(a)所示机械系统的运动方程，遵循以下原则并联元件的合力等于两元件上的力相加，平行移动，位移相同,串联元件各元件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。微分方程组为：F=FX+F2=/|(x,.-x0)+K](x,-x0)/=人(丸-力F=K2y取拉氏变换，并整理成因果关系有:尸(s)=(/s+K|)[(x,G)—Xo(S)]K?Xo(s)=-F(s)+y(s)fzs画结构图如图2-14：图2-14 机械系统结构图求传递函数为:

ff（占+加）（厂++） （仆+1）（番s+1）Xo（s） k2j2s 勺k2X，⑸1+g+小）（：+-L） （（s+1）（As+1）+冬K2J?S rCj K? K]（2）写图2-13（b）所示电气系统的运动方程，按电路理论，遵循的定律与机械系统相似，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和，可见，电压与位移互为相似量电流与力互为相似量。运动方程可直接用复阻抗写出：/⑸=7,5+/2(5)=《[得⑸-瓦⑸]+Gs[(E,(s)-E0(s)]

火1[Eo[Eo（5）-E,2（5）]I\S)—C2s+Ec2(s)整理成因果关系:/(s)=(；+Gs)[(g(s)-Eo(s)]为纥2⑸」/G)Eo(s)=IR2+EC1(5)画结构图如图2-15所示:E。图2E。图2・15 电气系统结构图求传递函数为:4G)(，+C]S)(&2%1+(4G)(，+C]S)(&2%1+( 1 )(凡居GS-(??,C,5+1)(/?2C2S+1)(R\C[S+1)(&C2s+1)+R&S对上述两个系统传递函数，结构图进行比较后可以看出。两个系统是相似的。机一电系统之间相似量的对应关系见表2-1«表2-1相似量

机械系统XiXoyF行f2K[\/k2fxfz电气系统%eo%2iiil/RRGc2例2・11HC网络如图2・16所示，其中〃।为网络输入量,(1)画出网络结构图；(2)求传递函数SG)/56)。输入回路1/]=&4+(/|+，2)方一C2s输出回路U?输入回路1/]=&4+(/|+，2)方一C2s输出回路U?=R212+(，i中间回路/]7?|=(Z?2+ ),12CiS(3)整理成因果关系式。A=，q-(，iCj5

夫2。1$+1U2=R2l2+(Il+I2)-^-C2s即可画出结构图如图2-17所示。(4)用梅逊 图2-"网络结构图 公式求出:U[ G[A]+G2%+G3小~U\~ A-1I 11G$p_R[C2s&C]S+1C2Sr2c}s+1" 1 i~Ii1+ + , R\C2sR2C1s4-1C2sR、R2cle2s〜+(7?j+/?2)Gs+1R\R2cle2s2+(R'C2+R)C]+R]G)s+1例2-12上知系统的信号流图如图2-18所示，试求传递函数C(s)/R(s)。

图2-18信号流图解：单独回路4个，即=-G1~G2-G3~GlG2两个互不接触的回路有4组，即EL&=GlG2+G1G3+G2G3+G|G2G3三个互不接触的回路有1组，即=-G|G2G3于是，得特征式为=1+G[4-G2+G3+2G|G2+GQ3+G2G3+2G]G2G3从源点R从源点R到阱节点C的前向通路共有4条,勺=G、G2G3KP?=G2G3KP3-G1G3KP4--G]G2G3K因此，传递函数为其前向通路总增益以及余因子式分别为A1=1A2=1+G]△3=1+G?△4=1C(s)=6A1+BA2+舄%+&A4R(s)~ AG2G3K(1+G])+G|G3K(1+G2)1+G[+G?+G3+2G]G2+GQ3+G2G3+2GQ2G3

第三章例3-1系统的结构图如图3-1所示。已知传递函数(7(5)=10/(0.25+l)o今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间ts减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。试确定参数心和的数值。解首先求出系统的传递函数。(s),并整理为标准式，然后与指标、参数的条件对照。一阶系统的过渡过程时间《与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为10

(0.25/10+1)C(s)K°G(s)_lOK。瓦l+K〃G(s)-0.2s+l+10K“1+10K” 人、F 阿)5+1)1+10K”比较系数得-^-=101+10K”1+10%=10解之得Kh=0.9、Ko=10解毕。例3-10某系统在输入信号中)=(1+/)1⑺作用下，测得输出响应为:c(/)=(r+0.9)-0.9e-l(),(rNO)一知初始条件为零，试求系统的传递函数。(s)。解因为Rs)Rs)="=0.950.95+1010(5+1)52(5+10)1 09C(5)=A[c(Z)]=-+-故系统传递函数为

网产=1R(s)0.15+1解毕。例3-3设控制系统如图3-2所示。试分析参数h的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。解由图得闭环传递函数为(T+bK)s+l系统是一阶的。动态性能指标为td=0.69(7+bK)tr=2.2(T+bK)ts=3(T+bK)因此，b的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。例3-12设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。图3-34图3-34二阶控制系统的单位阶跃解首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3,故此系统的增益不是1,而是3。系统模型为3比s2+2》“s+欣然后由响应的A/。％、％及相应公式，即可换算出自、co,,.K史上空竺上2史上空竺上2=33%c(oo)=如1(s)由公式得Mp%=e-""同=33%换算求解得： 4=0.33、a)n=33.2解毕。例3-13设系统如图3-35所示。如果要求系统的超调量等于15%,峰值时间等于0.8s,试确定增益&和速度反馈系数储。同时，确定在此K和茁数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。I+Kq图3-35解由图示得闭环特征方程为$2+(1+K|K,)s+K1=0即r_..2卢一1+K]-吗，9/--2%由已知条件Mp%=e-呜户=0.15解得看,=0.517,%=4.588st于是K.=21.05K,=^^2-=0.1781+0.65+0常td= ' 工=0.297s0538s叫八一片①小-痹35

t=^-=1.4765解毕。例3-14设控制系统如图3-36所示。试设计反馈通道传递函数”(s),使系统阻尼比提高到希望的。值，但保持增益K及自然频率必不变。解由图得闭环传递函数 H(s)“、 图瓦遍例3-14控制系统结构图52+2^a)ns+a)^+Kco^H(s)在题意要求下，应取H(s)=K,s此时，闭环特征方程为：$2+(24+KK,(on)%s+或=0令:2J+KK,%=2。，解出，K,=2(。-J)/K%故反馈通道传递函数为：K%解毕。例3-15系统特征方程为56+3055+2054+1053+552+20=0试判断系统的稳定性。解特征式各项系数均大于零，是保证系统稳定的必要条件。上述方程中S•次项的系数为零，故系统肯定不稳定。解毕。例3-16己知系统特征方程式为

54+853+1852+165+5=0试用劳斯判据判断系统的稳定情况。解 劳斯表为S*1 18 5§38 16 08x18-1x16 8x5-lxO「 =16 =58 816x16-8x5 ,__ =13.5 0165。13.5x5-16x0「13.5由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号,满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。解毕。例3-17已知系统特征方程为55+54+253+252+35+5=0试判断系统稳定性。解本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数£来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。劳斯行列式为s5123S4125S3£a0-2S22e+25। —4f—4—5f-s2e+2由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数£来代替；第四行第一列系数为（2e+2/&当e趋于零时为正数：第五行第一列系数为（—4£—4—5J）/（2计2）,当£趋于零时为-2。由于第一列变号两次，故有两个根在右半s平面，所以系统是不稳定的。例3-18Li知系统特征方程为S6+2s5+8s4+12s3+20s2+165+16=0试求：（1）在s右半平面的根的个数；（2）虚根。解如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的实根，共甄虚根或（和）共甄复数根。此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续计算劳斯行列表。对原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。劳斯行列表为I82016s521216s421216s300由于$3行中各项系数全为零，于是可利用54行中的系数构成辅助多项式，即P（5）=254+1252+16求辅助多项式对S的导数，得dPG）c3——=8s3+24ss原劳斯行列表中J行各项，用上述方程式的系数，即8和24代替。此时，劳斯行列表变为TOC\o"1-5"\h\z8 2012 162 12 168 246 162.6716新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。对原点对称的根可解辅助方程求得。令254+1252+16=0得到S=±jy[2和S=±J-2解毕。例3-19单位反馈控制系统的开环传递函数为r、 KG(s)= "~zs(as+l)(bs+cs+1)试求：(1)位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；(2)当参考输入为rx1(7),“xl⑺和"2x1⑺时系统的稳态误差.解根据误差系数公式，有位置误差系数为KTOC\o"1-5"\h\zK=limG(s)=lim =8pST°ST°s(as+1)(/)5+cs+1)速度误差系数为KK.=limsG(s)=lim5 ； =Ksto stos(as+1)(加-+C5+1)加速度误差系数为K=lims2G(s)=lim- 2 =0' ios(as+1)(65+cs+1)对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。参考输入为rx1(/),即阶跃函数输入时系统的稳态误差为r 〃八ess= = =0贤1+Kp1+8参考输入为rtx1(/),即斜坡函数输入时系统的稳态误差为rre————

"KvK参考输入为rt2x1(7),即抛物线函数输入时系统的稳态误差为

例3-20单位反馈控制系统的开环传递函数为5(1+4)(1+4)输入信号为r⑺=A+(ot,/为常量，＜o=0.5弧度/秒。试求系统的稳态误差。解实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。此时，输入信号的一般形式可表示为r(t)=rQ+rit+-r2t2系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。所以，系统的稳态误差可按下式计算：e=-^+J殳

"1+勺KvKa对于本例，系统的稳态误差为ACD

1= 1 1+K.Kv本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为1型系统，所以Kp=8K=limsG(s)=lims =10v…。 …。s(l+qs)(l+4s)系统的稳态误差为0)+——0)+——& 1 1+0010解毕。例3-21控制系统的结构图如图3-37所示。假设输入信号为叩)=小(。为任意常数)。证明：通过适当地调节K,的值，该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。图3-37图3-37例3-21控制系统的结构图解系统的闭环传递函数为C(s)_K(K,s+l)

~R(s)~s(Ts+\)+K即C（5C（5）=K(K,s+l)

Ts2+s+K•RG)因此R(s)-C(s)=Ts?+s-KKR(s)-C(s)=Ts?+s-KK：s

Ts2+s+KRG)当输入信号为时，系统的稳态误差为Ts2Ts2+s-KKs=hms -…。 Ts2-vs+Ka..u(Ts+1—KK-)——=lim sst。Ts-+s+K=1加吗生=1加吗生3st。Ts+s+KaQ-KK)K耍使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零，即e,尸0,必须满足1-KK,=0所以&=1/K解毕。K.例3-22设单位负反馈系统开环传递函数为G（s）=K〃一二。如果要求系统的位置稳Ts+1态误差4,=0,单位阶跃响应的超调量/%=4.3%,试问勺、七、T,各参数之间应保持什么关系？解开环传递函数KKeKK/Tco2G（s）=pg—pg_w”s（八+1）s（s+J_）s（s+2弧）显然25 10〃=-y- 2弛=-解得：KpKgT=l/4铲

由于要求Mp%=产后x100%<4.3%故应有。20.707。于是，各参数之间应有如下关系KpKgT<0.5本例为I型系统，位置稳态误差ess=0的要求自然满足。解毕。例3-23设复合控制系统如图3-38所示。其中&=2鸟=1,T2=0.25s,K2K3=1试求r(7)=(l+/+»/2)l(/)时，系统的稳态误差。图3-38图3-38复合控制系统0(s)=T0(s)=T2s2+s+KtK24(s+0.5)52+4s+2等效单位反馈开环传递函数微)2(25+1)(j(s)= -= ： 1-0(S)S'表明系统为II型系统，且&=K=2当")=(1+f+7/2)1。)时,稳态误差为%=1/熊=0.5解毕。例3.24已知单位反馈系统的开环传递函数G(s)=K/s(A+l)。试选择参数K及T的值以满足下列指标:

(1)当中)=/时，系统的稳态误差『W0.02；(2)当中)=1⑺时，系统的动态性能指标监％<30%,fs〈0.3s(△=§%)解 eK=l<0.02开环增益应取K250o现取K=60。因〜、KIT就

——s(s+l/7)s(s+2M)故有7=1/2弧，a)^=K!T于是*=2K4取A/p%=0.2%,计算得(In/%)?12(In/%)?12+(mMp%)2=0.456con=54.72此时ts=3.5/弧=0.14<0.3(5)满足指标要求。最后得所选参数为：K=60 7=0.02(s)解毕。例3-25一复合控制系统如图3-39所示。图3-39图3-39复合控制图中：G(s)=&Gz(s)=£ Gas-+bs1 2s(l+7>) 'l+%sKi、K?、Ti、“均为已知正值。当输入量%)=//2时，要求系统的稳态误差为零，试确定参数。和6。解系统闭环传递函数为CG)=G&伍G,]=G2(G+G,)R(s)~\+GtG2[第-1+G0

误差为C(s)=G2(G1+G,)误差为C(s)=G2(G1+G,)i+g,g2R(s)E(s)=R(s)—C(s)=C；黑R(s)代入火(s)=l/s3及GrG]、Gr,得C(s) K2[as2+(b+ +Ki]R(s)—7；7^?+(7；+T2)s2+(l+KtK2T2)s+KxK2闭环特征方程为TtT2s3+^+72)32+(1+KtK2T2)s+KlK2=0易知，在题设条件下，不等式(4+4)(1+KiKA)〉成立。由劳斯稳定判据，闭环系统稳定，且与待求参数a、b无关。此时，讨论稳态误差是有意义的。而□、T^s3+(7；+7^-K2a)s2+(1-K2b)s1£(s)= r 、 = r(4s+3+T2)S2+(l+K,K2T2)s+KlK2s3若Tl+T2-K2a=0l-K2b=0则有TTE(s)= £112 TtT2s3+(T]+T2)s2+(\+K]K2T2)s+K}K2系统的稳态误差为=lims£(s)=0ssstO因此可求出待定参数为K,解毕。

例3-26控制系统结构如图3-40所示。误差E(s)在输入端定义。扰动输入是幅值为2的阶跃函数。Ms)R(s)C(s)E(s)图案40 控制系统结构图KR(s)C(s)0.05s+1 s+52.5(1)试求K=40时，系统在扰动作用下的稳态输出和稳态误差。(2)若K=20,其结果如何？(3)在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节1/5,对结果有何影响？在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节1/s,结果又如何？解在图中，令Gj=KGj=K

0.05s+1G,=-^―,H=2.5

s+5C(s)=G2N(s)+GiG2E(s)代入E(s)=H(s)-”C(s),得C(s)= - N(s)+—G。_r(s)\+G,G2H\+g}g2h令R(s)=0,得扰动作用下的输出表达式G(s)=[之口Ms)1+55〃此时，误差表达式为EnG)=&G)-HC，s)=一力口N(s)1+essn=limsE“(s)=-lim——sN(s)ssn2°" ^\+GxG2H而扰动作用下的稳态输出为代入Ms)、G|、G2和，的表达式，可得c„(oo)=---,<,=——-—

" 1+2.5Kssn1+2.5K(1)当K=40时，c“(oo)=2/101,essn=-5/101(2)当K=20时，c.(oo)=2/51,ejvn=-5/51可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大，且稳态误差的绝对值也增大。若1/s加在扰动作用点之前，则K 1G.=——-——，G2=—^―,H=2.55(0.055+1) 5+5不难算得C“(oo)=0,essn=0若1/S加在扰动作用点之后，则G.= ，G,= ，H=2.50.05s+1 5(5+5)容易求出_2_[2/100,K=40时Cn(0°)~2.5/C-[2/50,K=2附5_J-5/100,K=40时%"一~2.5K—[-5/50,K=20口寸可见，在扰动作用点之前的前向通道中加入积分环节，才可消除阶跃扰动产生的稳态误差。解毕。例3-27设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=-—s(s+2g,)已知系统的误差响应为e(Z)=1.4e-l07z-0.4173， (r^o)试求系统的阻尼比々自然振荡频率必和稳态误差e„.解闭环特征方程为由己知误差响应表达式，易知,故e(7)=1.4e-'"即，系统时间常数为令 52+241-得 &=一2.代入求出的时间常数，得稳态误差为:2+2，(o"S+ =0输入必为单位阶跃函1(/),且系统为过阻尼二阶系统。-Q.4e~"Ti=1.4e-,07/-0.4e-373/0.93 T2=0.272fiy nm 2_i, co-JrjTz TKg=1.2,<y„=2ess=lime(7)=0实际上，I型系统在单位阶跃函数作用卜，其稳态误差必为零。解毕。第四章例4-1设系统的开环传递函数为G(s)〃G(s)〃(s)=2KS(S+1)(5+2)试绘制系统的根轨迹。解根据绘制根轨迹的法则，先确定根轨迹上的一些特殊点，然后绘制其根轨迹图。（1）系统的开环极点为0,-1,-2是根轨迹各分支的起点。由于系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。（2）系统的根轨迹有〃-胆=3条渐进线渐进线的倾斜角为（2K+l）;r（2A：+1）x180°（P= = °n-m 3-0取式中的K=0,1,2,得。产万/3,",5"/3。渐进线与实轴的交点为(0-1-2)3三条渐近线如图4-13中的虚线所示。（3）实轴上的根轨迹位于原点与一1点之间以及一2点的左边，如图4-13中的粗实线所示。（4）确定分离点系统的特征方程式为s3+3s2K+2s+2K=02KK=-g(s3+3s2+2s)利用dK/杰=0,则有—=--(?+652+2)=0

ds2解得5,=-0.423和52=-1.577由于在一1到一2之间的实轴上没有根轨迹，故S2=-1.577显然不是所要求的分离点。因此，两个极点之间的分离点应为si=-0.423。（5）确定根轨迹与虚轴的交点方法一利用劳斯判据确定劳斯行列表为6-2K

35° 2K由劳斯判据，系统稳定时K的极限值为3。相应于K=3的频率可由辅助方程3s2+2K=3s2+6=0确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为5=土人回。根轨迹与虚轴交点处的频率为CD=±5/2=±1.41方法二令S=0y代入特征方程式，可得(J0)3+3(769)2+2(j。)+2K=0即(2K-3/)+/(20-02)=0令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即2K-3/=o,-to1=0所以co=±5/2K=3(6)确定根轨迹各分支上每一点的K值根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点0与一1出发的两条根轨迹分支向右运动时,从另一极点一2出发的根轨迹分支一定向左移动。当前两条根轨迹分支和虚轴在K=3处相交时，可按式%+(0+jl,41)+(0-yl.41)=-3求出后一条根轨迹分支上K=3的点为。、=-3。由(4)知，前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为-0.423±川。因此，后一条根轨迹分支的相应点为ax+(-0,423)+(-0,423)=-3所以，%=—2.154o因本系统特征方程式的三个根之和为一次，利用这一关系，可确定根轨迹各分支上每一点的K值。现在已知根轨迹的分离点分别为-0.423±/0和-2.154,该点的K值为-2^=(-0,423)2(-2.154)即,K=0.195。系统的根轨迹如图4-1所示。

图4-1图4-1例4-1系统的根轨迹例4-2设控制系统的开环传递函数为G(s)〃(s)=G(s)〃(s)=S(6+3)(52+25+2)试绘制系统的根轨迹。解(1)系统的开环极点为0,—3,(—1+力和(一1一力,它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点一2,其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。(2)确定根轨迹的渐近线渐近线的倾斜角为(2K+1)乃 (2K+1)x180°(P= = n-m 3-0取式中的K=0,1,2,得。产万/3,"，5"/3,或±60°及一180°»三条渐近线如图4-14中的虚线所示。%渐近线与实轴的交点为%4-1(0-3-1+j-1-y)-(-2) =—14-1(3)实轴上的根轨迹位于原点与零点一2之间以及极点-3的左边，如图4-14中的粗线所示。从复数极点(一1士力出发的两条根轨迹分支沿±60°渐近线趋向无穷远处。(4)在实轴上无根轨迹的分离点。(5)确定根轨迹与虚轴的交点

系统的特征方程式为s(s+3)(52+2s+2)+3K(s+2)=0即s4+5s3+8/+(6+3K)s+6K=0劳斯行列表s'8 6Ks'40-(6+3K)6+40-(6+3K)6+6+3K-^_34-3K0若阵列中的J行等于零，即(6+3K)-150K/(34-3/C)=0,系统临界稳定。解之可得K=2.34。相应于K=2.34的频率山辅助方程[40-(6+3x2.34)卜+30x2.34=0确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为5=±/1.614。根轨迹与虚轴交点处的频率为。=1.614。(6)确定根轨迹的出射角根据绘制根轨迹的基本法则，自复数极点“=(-1+))出发的根轨迹的出射角为e=18072左+1)+/仇+2)—夕「/仙+3)—/仙+\-j)将由图4-14中测得的各向量相角的数值代入并取A=0,贝IJ得至一26.6°系统的根轨迹如图4-14所示。

图4-2图4-2例4-2系统的根轨迹例4-3已知控制系统的开环传递函数为G(s)"(s)=K(s+0.125)

52(5+5)(5+20)(5+G(s)"(s)=试绘制系统的根轨迹。解(1)系统的开环极点为0,0,-5,-20和-50,它们是根轨迹各分支的起点。共有五条根轨迹分支。开环零点为-0.125,有一条根轨迹分支终止于此，其它四条根轨迹分支将趋向于无穷远处。(2)确定根轨迹的渐近线渐进线的倾斜角为(2K+1)乃(2K+l)xl80°%= =—r-;—n—m 5-1取式中的K=0,1,2,3得。产±45°和。产±135°。渐近线与实轴的交点为=-18.8(0+0=-18.84(3)实轴上的根轨迹位于-0.125和-5之间以及一20,与一50之间。(4)确定根轨迹的分离点和会合点本例中，系统各零点、极点之间相差很大。例如，零点一0.125与极点0之间仅相距0.125,而零点一0.125与极点一50之间却相差49.875。因此，可作如下简化：在绘制原点附近的轨迹曲线时，略去远离原点的极点的影响；在绘制远离原点的轨迹曲线时，略去零点和一个极点的影响。(A)求原点附近的根轨迹和会合点略去远离原点的极点，传递的函数可简化为K(s+0.125)/S2。零点一0.125左边实轴是根轨迹，并且一定有会合点。原点处有二重极点，其分离角为±90°。确定会合点的位置。此时，系统的特征方程式为s'+Ks+0.125K=0

K=-s+0.1K=-利用dK//=O,则有dK_25(5+0.125)-52_0~ds~(s+0.125)2解之可得51=0.25,即会合点；S2=0,即重极点的分离点。(B)求远离原点的根轨迹和分离角略去原点附近的开环偶极子(零点一0.125和极点0),传递函数可简化为GH(s)=K/s(s+5)(5+20)(5+50)此时，系统的特征方程式为s(s+5)(5+20)(5+50)+K=0或表示为K= 5(54-5)(54-20)(5+50)利用=则有dK_4s3+225s2+2700s+5000_0ds~[s(s+5)(s+20)(s+50)y解之可得Si=-2.26和S2=—40.3o分离点的分离角为±90。。注意，在零点一0.125和极点-5之间的根轨迹上有一对分离点(一2.26,川)和(一2.5,j0))«(5)确定根轨迹与虚轴的交点令s=_/7y代入特征方程式，可得+5)(/0+20)0a+50)4-K(j(o+0.125)=0整理后有 一75。2+50000=04y4-1350«w2+^=0解之得 。=±8.16,K=8.65x104系统的根轨迹如图4-3所示图4-3例4-3系统的根轨迹例4-4,设控制系统的结构图如图4-所示-si's+21图4-4控制系统的结构图试证明系统根轨迹的一部分是圆；解系统的开环极点为0和一2,开环零点为一3。由根轨迹的幅角条件Z/(s+Zj)-n£/(s+Pj)=(2K+l)产

i=l j=l得Z(s+3)—Ns-Z(s+2)=(2k+1)万s为复数。将s=b+j3代入上式，则有Z(<t+jco+3)-Z(cr+ja>)-Z((t+jco+2)=(2K+1)万CO CD .so，_|CDtan tan—=180°+tan1 tancr+3 cr a+2取上述方程两端的正切,并利用下列关系取上述方程两端的正切,并利用下列关系tanx±tanytan(x±y)=- 1+tanxtanycocoTOC\o"1-5"\h\zcr+3b= -3a)GCD<T(<T4-3)+6921H (74-3(TCOcr+2/ \COcr+2tan180°+tan-1① = a+2I b+2)i_ox上-3。 _CD(7(cr+3)+4y2cr+29+3)2+加=(扬2这是一个圆的方程，圆心位于（一3,川）处，而半径等于Q（注意，圆心位于开环传递函数的零点上）。证毕。例4-15已知控制系统的开环传递函数为G(s)〃(s)=K(s+1)

s(s-1)(52G(s)〃(s)=试绘制系统的根轨迹,并确定系统稳定时K值的范围.解（1）系统的开环极点为0,1和一2±/3.46,开环零点为一1。（2）确定根轨迹的渐近线渐渐线的倾斜角为

(2K+1)乃(2K+l)xl80。(o= = TOC\o"1-5"\h\zn-m 4-1取式中的K=0,1,2,得6ybB,n,5万/3。渐进线与实轴的交点为1隆e](0+1-2+/3.46-2-/3.46)-(-1) 2%= 工P「工Z,= =-T7iJ 3 3(3)实轴上的根轨迹位于1和。之间以及一1与一8之间。(4)确定根轨迹的分离点系统的特征方程式为5(5-1)(52+4s+16)+K(s+1)=0即5(5-1)(52+45+16)K= 5+1利用派74=0,则有dK_3s4+10s、2卜2+24s-16ds （5+1）2解之可得，分离点4=0.46和心=-2.22。(5)确定根轨迹与虚轴的交点系统的特征方程式为54+3s3+12s2+(K-16)s+K=01 1 12 K3 K-1652-Ks3K?+59K-832150K

52-K若阵列中的J行全等于零，即一片+59K-832150Kn

=()52-K系统临界稳定。解之可得K=35.7和K=23.3。对应于K值的频率由辅助方程确定。当K=35.7时，s=±/2.56；当K=23.3时，s=±/1.56.根轨迹与虚轴的交点处的频率为。=±2.56和w=±1.56o(6)确定根轨迹的出射角(自复数极点一2±/3.46出发的出射角)根据绘制根轨迹基本法则，有106°-120°-130.5°一90°-6=±(2K+1)x180°因此，开环极点一2±/3.46的出射角为％.2=±54.5°。系统的根轨迹如图4-17所示。由图4-17可见，当23.3<K<35.7时，系统稳定，否则，系统不稳定。例4-6已知控制系统如图4-18所示（0.5s+1）(1)试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性。(2)估算％=16.3%时的K值。(1)系统有四个开环重极点：pi=p2=P3=P4=。。没有零点。实轴上除一2一点外，没有根轨迹段。根轨迹有四条渐进线，与实轴的交点及夹角分别为下面证明根轨迹和渐近线是完全重合的。将根轨迹上任一点msi代入幅角方程，有4Z（5,+2）=（2K+1）万N（S+2）=二（2K+1）乃和渐近线方位角仁的表达式比较，两者相等，于是有NG+2）=心由于打的任意性，因此根轨迹和渐近线完全重合。系统的根轨迹如图4-7所示。图4-7图4-7例4-6系统的根轨迹图知，随着Kg的增加，有两条根轨迹将与虚轴分别交于_/2和一/2处。将sm2代入幅值方程有l(s+2)41解得开环根增益：标=64,开环增益：K『=KJ16=4.即当K=4时，闭环系统有一对虚根土/2,系统处于临界稳定的状态。当K>4时，闭环系统将出现一对实部为正的复数根，系统不稳定。所以，使系统稳定的开环增益范围为0<K<4。(2)由超调量的计算公式及指标要求，有Mp%=e^=16.3%解得,4=0.5即，系统闭环极点的阻尼角为P=cos-1J=cos-10.5=60°。在s平面上做等阻尼线的,使之与负实轴夹角为£=±60°。刃与根轨迹相交于打点，容易求得，S|=-0.73t/1.27,代入幅值方程，有K*=1(-0.73+jl.27+2)41=10.41K=10.41/16=0.65注意：本题应用二阶欠阻尼系统的超调量和阻尼比关系式估算四阶系统的性能指标，实际上是利用了闭环主导极点的概念。不难验证，本系统的闭环极点的分布满足主导极点的分布要求。可以认为SI、S2是主导极点，忽略S3、S4的作用，从而将一个复杂的四阶系统近似为二阶系统，大大简化了问题的处理过程。例4-7试用根轨迹法确定下列代数方程的根£>(5)=54+453+452+65+8=0解当代数方程的次数较高时，求根比较困难，即使利用试探法，也存在一个选择初始试探点的问题。用根轨迹法可确定根的分布情况，从而对初始试探点作出合理的选择。把待求代数方程视为某系统的闭环特征多项式，作等效变换得K(s2+6s+8)H————^=0S+45+35K/1时，即为原代数方程式。等效开环传递函数为

G(s)〃(s)=Kg(s+2)(s+4)

$2(s+G(s)〃(s)=因为勺＞0,先做出常规根轨迹。系统开环有限零点Zi=-2,Z2=-4;开环有限极点为Pl=P2=0,P3=—1，P3=-3。实轴上的根轨迹区间为［-4,-3］,［-2,T］。根轨迹有两条渐近线，且。产1,0产±90°。作等效系统的根轨迹如图4-8所示。图知，待求代数方程根的初始试探点可在实轴区间［-4,一3］和［—2,—I］内选择。确定了实根以后，运用长除法可确定其余根。初选si=-1.45,检查模值K」邑3+3)区+1)1=］0461(5,+2)(5,+4)1由于勺＞1故应增大S”选SI=-1.442,得灯1.003。初选$2=—3.08,检查模值得勺=1.589,由于勺＞1,故应增大S2，选$2=—3.06,得X＞1.162。经几次试探后，得K10.991时52=-3.052o图4-8例4-7系统的根轨迹设 O(s)=(s+1.442)(s+图4-8例4-7系统的根轨迹运用多项式的长除法得B(s)=s2-0.494+1.819解得S3.4=0257±/l.326。解毕。G(s)〃(s)=s(sG(s)〃(s)=s(s+4)(52+4s+20)试概略绘制闭环系统的根轨迹。解按照基本法则依次确定根轨迹的参数：(1)系统无开环有限零点，开环极点有四个，分别为0,-4,和一2±/4。(2)轴上的根轨迹区间为［-4,0］o(3)根轨迹的渐近线有四条，与实轴的交点及夹角分别为oa=-2；九=士45°,±135°(4)复数开环极点03.4=-2±/4处，根轨迹的起始角为％3.4=±90°1111(5)确定根轨迹的分离点。山分离点方程1111二0 1 1 1二0dd+4d+2+j4d+2—y4解得d]=—2,*3=—2±j-Jb因为4=—2时，Kg=64>0d2i=-2±7V6时，Kg=100>0所以，八4、质皆为闭环系统根轨迹的分离点。(6)确定根轨迹与虚轴的交点。系统闭环特征方程为D(s)=s4+853+3652+80s+Kg=0列写劳斯表如下TOC\o"1-5"\h\zs4 1 36 "s3 8 8052 26 K,, 80x26-8K。s -26s0/当K/260时，劳斯表出现全零行。求解辅助方程F(s)=26s2+K=0得根轨迹与虚轴的交点为s=±；V10。概略绘制系统根轨迹如图4-21所示。

图4-9例4-8系统的根轨迹第五章例5-1已知一控制系统结构图如图5-61所示,当输入O=2sinf时,测得输出c(0=4sin(Z-45°),试确定系统的参数J，金。图灿系统结构图解系统闭环传递函数为20G)=———丁 5s+2Ms+con系统幅频特性为2M(/⑼1/.J(叱--2-+4/.2相频特性为.、 2Mg(p{co)=-arctan -0；一0一由题设条件知c(t)=4sin(t-45°)=241)sin(，+dl))即

4D=4D=八、 2。①9⑴=-arctan- 769=1G)n-G)69=12勒”=一arctan=〃=—45。

%T整理得=4[(叱-I)2+4十冠]2M=叱T解得 ①n=1.244 4=0.22例5-21系统的传递函数为s2(T1S+1)(As+1)试绘制系统概略幅相特性曲线。解(1)组成系统的环节为两个积分环节、两个惯性环节和比例环节。(2)确定起点和终点c.、-k(l-T}T2a)~)+jk(Tt+T2)a)G{j(d)= ।「， -g)2{\+T^g)2)(\+T^cd2)limRJG(Jty)]=-oo

>0lim/m[G(y«y)]=cootO由于凡［G(/3)］趋于—的速度快，故初始相角为T80。。终点为lim|G(y7w)|=03foelimNG(jco)=-360°口一>8

(3)求幅相曲线与负实轴的交点由G(%>)的表达式知，。为有限值时，44G(/a)]>0,故幅相曲线与负实轴无交点。(4)组成系统的环节都为最小相位环节，并且无零点，故0(。)单调地从-180。递减至-360%作系统的概略幅相特性曲线如图5-62所示。例5-22已知系统传递函数为G(s)=10(52-25+5)(5+2)(5-0.5)G(s)=试绘制系统的概略幅相特性曲线。解(D传递函数按典型环节分解G(s)=50(；G(s)=50(；s?-2卡(宝)+1)(-+1)(--+1)2 0.5(2)计算起点和终点=-50>0

lim|G(y7y)|=10相角变化范围不稳定比例环节-50：-180°〜-180°惯性环节l/(0.2s+l)：0。〜-90。不稳定惯性环节l/(-2s+l)：0°~+90°不稳定二阶微分环节0.2s2-0.4s+1：0。〜-180。(3)计算与实轴的交点G()。)=10(5_6)2_2/0G()。)=(<y2+1)2+(1.5(y)210[—(5—co~)((y~+1)+ +j6o(—5.5+3.5ty-)](co2+1)2+(1.5tw)2令//G(/砌=0,得0r=J5.5/3.5=1.254RelGfjcn,)]=-4.037(4)确定变化趋势根据G(/<y)的表达式，当<y<tWv时，Im[G(ja))]<0：当>(ox时,lm[G(J(o)]>0。作系统概略幅相曲线如图5-63所示。图5-63系统概略幅相曲线图5-63系统概略幅相曲线例5.23系统的开环传递函数为s(T]S+l)("s+l)试用奈氏判据判断系统的稳定性。解(1)绘制系统的开环概略幅相曲线①组成系统的环节为一个积分环节、两个惯性环节和比例环节。②确定起点和终点=-ND+J?)①-jNQ_①JC0~ 0(1+片02)(1+万02)- =—N(7]+5)co->0lim =-coCD—>0limG()⑼=0(OSlim/G(jco)=-270°CO—>CO③求幅相曲线与负实轴的交点

令//G0,劭］=0,得%=1/J——凡如—江«x（+心④组成系统的环节都为最小相位环节，并且无零点，故在0）单调地从-90。递减至-270°o作系统的概略幅相特性曲线如图5-64所示。（2）用奈氏判据判断系统的稳定性由于组成系统的环节为最小相位环节，q=0；且为1型系统，故从0处补作辅助线,如图5-64虚线所示。当一然一时，即心等，幅相特性曲线+12/4不包围（-1,加）点，n=0=q/2,所以闭环系统是稳定的。当一等一时，即心等，幅相特性曲线顺/]+12 ]也时针包围（—1，川）点1圈，〃=1wq/2=0,所以系统是不稳定的。例5-24单位反馈控制系统开环传递函数G(s)=asG(s)=as+1试确定使相位裕度7=45。的。值。» J(a(or)2+1解 L(a))=201g^―——=0仁4 2 2 «(dc—aa)c+1/=180°+arctan(-180°=45°aa)c=1联立求解得coc=y/2 a—\!\[2=0.84例5・25最小相位系统对数幅频渐近特性如图5-65所示，请确定系统的传递函数。图灿 例525图解 由图知在低频段渐近线斜率为o,故系统为o型系统。渐近特性为分段线性函数,在各交接频率处，渐近特性斜率发生变化。在0=0.1处，斜率从0dB/dec变为20dB/dec,属于一阶微分环节。在。=a>\处，斜率从20dB/dec变为0dB/dec,属于惯性环节。在0=社处，斜率仄。dB/dec变为-20dB/dec,属于惯性环节。在0=例处，斜率以-20dB/dec变为TOdB/dec,属于惯性环节。在0=他处，斜率仄-40dB/dec变为-6。dB/dec,属于惯性环节。因此系统的传递函数具有下述形式r、 K(s/0.1+l)G(s)= (s/tVf+l)(s/(»2+l)(s/<»3+l)(s/%+1)式中K,a)\,g,g，Q待定。由201gA：=30得K=31.62。40-30确定助： 20= 一所以劭=0.316Ig^-lgO.l-5+0一确定念：-60= 所以帆=82.541g100-lg5-20确定g：-40= 所以g=34.81]g%Tg03

70-40确定q4：-20= 所以694=3.481lg®3-lg<w2于是，所求的传递函数为〜、 31.62(5/0.1+1)(j(s)= (5/0.316+l)(s/3.481+l)(s/34.81+l)(s/82.54+1)例5-26某最小相位系统的开环对数幅频特性如图5-66所示。要求：(1)写出系统开环传递函数；(2)利用相位裕度判断系统稳定性；(3)将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。上⑷)J上⑷)J-20解(1)由系统开环对数幅频特性曲线可知，系统存在两个交接频率0.1和20,故G(s)= s(5/0.I+1)(s/20+1)且 201g—=010得 k=10所以 G(s)= 5(5/0.14-1)(5/20+1)(2)系统开环对数幅频特性为L(co)=<10-L(co)=<10-012%菽

怆他g

2020120120<<-20>-从而解得 (oc-1系统开环对数相频特性为/、ccc ① (0叭s)--90-arctan arctan—0.1 20吹")=-177.15。

片180。+ar)=2.85。故系统稳定。(3)将系统开环对数幅频特性向右平移十倍频程，可得系统新的开环传递函数c/、 1000Cj|(s)=S(5+l)(—+1)200其截止频率coc\=10fyc=10而6(0”)=-90-arctancdcX-arctan—=-177.15

1cl cl200力=180。+(p\(a)c\)=2.85°Xi=r系统的稳定性不变。由时域估计指标公式4=k7vlcoc得 ts\=0.1/5即调节时间缩短，系统动态响应加快。由Mp=0.16+0.4(-^—-1)

sin/得 Mpi=Mp即系统超调量不变。例5-27单位反馈系统的闭环对数幅频特性分段直线如图5-67所示。若要求系统具有30。的相位裕度，试计算开环放大倍数应增大的倍数。解由闭环对数幅频特性曲线可得系统闭环传递函数为因此系统等效开环传递函数G(s)= 6.25 6.25s(s+2.825)(s+4.425)0.52.825+1)(0.52.825+1)(4.425其对数相频特性为夕(。)=-90°-夕(。)=-90°-arctanCD CO arctan 2.8254.425若要求。助）=-150。,可得劭=2.015系统对数幅频特性曲线为L((d)=<201g—CD1.4125,201g———kco”》6.25z20co'L((d)=<201g—CD1.4125,201g———kco”》6.25z20co'co<2.8252.825<co<4.425co>4.425要使系统具有30。相角稳定裕度，幼应为截止频率,则故系统开环放大倍数应增大4.03倍。例5・28系统开环传递函数为ka—4.03G(s)=1()s(-0.2s~—0.8s+1)试用奈氏判据判断系统的稳定性。解将传递函数按典型环节分解G(s)=-10s(0.2s+1)(—5+1)_. -10[0.86?—/(I+0.269")]G(jty)= r —0(1+.2)(1+0.04^2)幅相曲线的起点和终点limG(/«y)=ooZ-270°<w->0limG(y7y)=0Z-270°tw—>oolim/?JG(jTy)]=-8ft>—>o当。为有限值时，*0,幅相曲线与负实轴无交点。由于惯性环节的时间常数r=0.2,小于不稳定性环节的时间常数72=1，故9（。）呈现先增大后减小的变化。作系统开环幅相曲线如图5-68所示。由于丫=1,故需从幅相曲线上。=0的对应点起，逆时针补画半径为无穷大的力2圆弧。由系统开环传递函数知，s右半平面系统的开环极点数p=l,而幅相曲线起于负实轴，且当。增大时间上离开负实轴，故为半次负穿越，N=-1/2。于是s右半平面的闭环极点数

z=p-2N=2表明系统闭环不稳定。例5-29系统开环频率特性分别为如图5-69的(。)和S)所示,试判断闭环系统的稳定性。图5-69图5-69解 (a)图给出的是oe(-8,0)的幅相曲线，而+8)的幅相曲线与题给曲线称于实轴，如图5-70所示。因为〃=1,故从©=0的对应点起逆时针补作力2,半径为无穷图5-70图5-690)系统开环幅相曲线大的圆弧。在(-1,川)点左侧，幅相曲线逆时图5-70图5-690)系统开环幅相曲线N=N+-N_=0因此，s右半平面的闭环极点数z-p-2N=0闭环系统稳定。(6)因为丫=2,故如图彷)中虚线所示在对数相频特性的低频段曲线上补作2.90。的垂线。当。时，有£(<y)>0，且在此频率范围内，以劭穿越-180。线一次，且为由上向下穿越,因此N+=0，N-=lN=N+-N_=-1于是算得右半平面的闭环极点数为z=p-2N=2系统闭环不稳定。例5-30已知单位反馈系统的开环传递函数100(5+1)G(s)= 2 价+喘+D脸+D试求系统的相角裕度和幅值裕度。解由题给传递函数知，系统的交接频率依次为1,2,10,20。低频段渐近线斜率为-20,且过(1,404)点。系统相频特性按下式计算,、a 3 Ct) CO(p(co)=-90°+arctan arctan。-arctan arctan—2 10 20作系统开环对数频率特性于图5-71。图5-71 系统开环对数频率特性由对数幅频渐近特性40)=1求得r的近似值为100.丝A(a)c)=- %_=1"1CD-CO---\

cC100=21.5再用试探法求久%)=-180。时的相角穿越频率外，得a)g=13.1系统的相角裕度和幅值裕度分别为/z=201g--^-=-9.3(^)

G。?)y=18O°+e(0g)=—24.8。例5-31对于高阶系统，若要求时域指标为Mp%=18%,4=0.05⑸，试将其转换成频域指标。解根据经验公式=0.16+0.4(——―1)TOC\o"1-5"\h\z〃 sin/k兀4=一411 9Jl=2+1.5(- 1)+2.5(- 1)2sin/ siny代入题给的时域指标得--=工(％-0/6)+1=1.5sin/0.47=41.8O

)1=3.375a)c=--=2\2.\[radIs)所求频域指标为7=41.8。，恁=212.1(“心)。例5-32已知单位反馈系统的开环传递函数s(s+1)(1+1)4试判断系统的闭环稳定性。解开环系统有虚极点s=坟。limG(jco)=ooZ-90°ro->0limG(y7y)=0Z-360°limG(y«y)=ooZ-153.4°®-»2*limG(y<y)=ooZ-333.4°。一>2+系统开环幅相曲线如图5-72所示。由于丫=1,从幅相曲线上对应。=0的点起逆时针补作90。且半径为无穷大的虚圆弧。因为存在一对虚极点s=±J2,故从。=2一的对应点起，顺时针补作180。且半径为无穷大的虚圆弧。作虚圆弧如图5-72所示。因为p=0,由开环幅相曲线知N=-l,s右半平面闭环极点的个数z-p-2N=2闭环系统不稳定。第六章例6-1设火炮指挥系统如图6-1所示，其开环传递函数G(s)= 5(0.25+1)(0.55+1)系统最大输出速度为2•比,输出位置的容许误差小于2。。(1)确定满足上述指标的最小左值，计算该左值下的相位裕度和幅值裕度。(1)可.二查野输性度4$ 容许的位置误差2-3600/60N(1)可.二查野输性度4$ 容许的位置误差2-3600/60N =62°图6.26例6-8系统结构图G(s)=5(0.25+1)(0.55+1)201gCD<2L(a))=<20IgCD201gCD<2L(a))=<20IgCD62<69<5201gco-0.569-0.269a)>5令£(o)=0,可得@=3.57=180°-90°-arctan(0.2fyr)-arctan(0.5^c)=-4.9°<0°所以系统不稳定。(2)串联超前校正网络G°(s)=(l+0.45)/(l+0.08.v)G(s)=1+0.45G(s)=co<3s(0.2s+l)(0.5s+l)1+0.085co<3201g—

co201g£(◎)=<201gCD♦0.5696-0.4o>2<a)<2.520Ig201g£(◎)=<201gCD♦0.5696-0.4o>2<a)<2.520Igco•0.5/6•0.4692.5<(o<5201gCO-0.569•0.2696-0.4695<co<12.5o0.2e0.530.08。co>12.5令乙(④)=0,可得喙=4.8/=180°-90°-arctan(0.4tyt.)-arctan(0.26yc)-arctan(0.5tyc)一arctanCO.0869^)=20.2°>0°可见串入超前校正网络后，/增大，系统变为稳定。例6・9设开环传递函数G(s)=G(s)=s(s+l)(0.01s+l)单位斜坡输入输入产生稳态误差eV0.0625。若使校正后相位裕度产不低于45。，截止频率R*>2(rad/s),试设计校正系统。c=—W0.0625

kk>\6201gc=—W0.0625

kk>\6201g—COA(«)=j201g—CD<1l<6y<10020Igco-co6COCO-0.0269co>100令L(@)=0,可得coc=4y=180°-90°-arctano)c-arctan(0.0l<yf)=12°<45°不满足性能要求，需加以校正。系统中频段以斜率-4(WB/yec穿越QdB线，故选用超前网络校正。设超前网络相角为仙，则<Pm+/-(5~12°)>/*(pm>/*-/+(5~12°)>450-120+10°=4301+sin外(X— —-J1-sin/,中频段 +lOlga=0所以 <=5.9验算 y"=180°+^m+<p((o")=180。+43°-90°-arctan式-arctan(0.01ty；)=48°>45°=1/(7石) 7=1/("而)=0.076所以超前校正网络后开环传递函数为〜、 16 1+0.38sG(s)= 5(5+1)(0.015+1)1+0.0765例6/0为满足要求的稳态性能指标，一单位反馈伺服系统的开环传递函数为〜、 200G(5)= 5(0.15+1)试设计一个无源校正网络，使已校正系统的相位裕度不小于45。，截止频率不低于50。解201g—co2201g—co2。怆3_ty-0.1(o69>10(dc=44.7/=180°-90°-arctan(0.1<yf)=12.6°</*不满足性能指标要求，需串联一超前校正网络。(1)求夕懈：(pm>/*-/+(5-12°)>45°-12.6°+10°=42.4°(2)求a： a=3必=5£«)=£(<»；)+101ga=0(oj=67验算 y"=180。+夕脚+(PM)=180°+42.4°-90°-arctan(O.l^)=50.8°>45°>/* a)：>S*=1/(7而)T=1/(0；石)=0.067故校正网络_/、 1+0.03sGc(s)=——--1+0.0675G”⑶- 40(1+0.03s)5(0.k+1)(1+0.067s)例6-11设单位反馈系统的开环传递函数G(s)= 5(5+1)(0.25+1)试设计串联校正装置，满足臃=8(3的)，相位裕度尸=40。。解 &,=8 v=lk=8“I8 CD<1201g—coQ£(o)=<201g \<co<5coco201g——-——coco-0.2co co>5令L(o)=0，可得(oc=2.8/=180°-90°-arctan@-arctan(0.2eyc)=-9.5°<40°不满足性能要求，需加以校正。选用迟后网络校正。令 =/*+6°=46°得 一90°-arctanco：-arctan(0.24)=46°arctanco[+arctan(0.2/1)=44°所以 @“=0.72根据 201g/>+£«)=0得b=0.09再由-^―=0.10；bT c得r=154.3故选用的串联迟后校正网络为

G0(s)=\+bTsG0(s)=\+bTs