概率论与数理统计各章知识点复习

第一章随机试验 果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果样本点 随机试验E的每一个可能出现的结果样本空间随机试验E样本点的全 事件的并A∪B事件的差A- 注意：A-B=B=A-AB=(A∪B)-nA1,A2,…,An构成的一个完备事件组(或分斥)指A1,A2,…,An两两互不相容，且例1设事件A、B满足A∩B¯=，由此推导不出(D) B、A¯B¯C、A∪B=B 例2若事件B与A满足B–A=B，则一定有(B) C、AB¯= 交换律 结合律 分配律 随机事 必然事件随机事 必然事件---每次试验中必定发生的事件。 1A，B对立事件等价于（DA、A，B不相容B、A，B互独立C、A∪B＝ΩD、A，B构成对样本空间的一个剖分2P(A)=0，B为任一事件，则（CA、 B、ABC、A与B相互独立D、A与B互不相3.设甲乙两人朝同一目标射击，设A＝“甲命中目标且乙未命中目标”，则A=（D

=A∪B记全空元A事AB相A-古典概型的前提是={1,2,3,…,n,},n有限正整数，且每个样本点i出现的可能性相等A包含样本总个[解]：每个球4入法，343种放入法，所以||=43=643当杯中球的个数最多为1个时，相当于四个杯中取3 恰有一个球，所以|A1|==24；则P(A1)=24/64 (2)当杯中球的个数最多为2个时，相当于四个杯中有1 恰有21 1 121球(C4C3)，另有一个恰有1个球(C3C1)，所以|A2|=C4C3C3C1=36；则P(A2)=36/6421,2,…,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为10的概p1；(2)三数21的倍数的p2。11 C 3C9

C C9(1)非负性，对于任一个事件A，P(A)0;规范性:P()=1件要求函数P(A)满足以下公理A1,A2,…,AnP(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+PA)=1加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)求差公式：P(A-B)=P(A)- 当AB时，有P(A-B)=P(A)-A-B=AB=A-AB=(A∪B)-条件概率公式：P(A|B)=P(AB)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|AP(B)P(A|B其中P(A)>0全概率公式：P(A)=错误(其中其中B1,B2,…,Bn构成的一k贝叶斯公式：P(A|B)=P(B|Ak)P(Ak) k 错误 中吸烟的占45%。据以往记录，吸烟的 中有90%确患有肺癌，在不吸烟的可疑 中仅有5%确患有肺癌 解：设A={患有肺癌},B={可疑 吸烟},则由条件得：P(B)=0.45,P（B）=0.55,P(AB)0.9,P(AB)0.05P(A)P(AB)P(B)P(AB)P(B)

P(AB)P(

P(B)81 在一个每题有5个答案可供选择的测验题中，假80%的学生知道指定问题的正确 任意指定的一个学生能正确回答率;（5分解设A={正确回答},B={随机猜测},则由条件得：P(B)=0.2,P（B）=0.8,P(AB)1/5,P(AB)P(A)P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(BA)P(AB)P(AB)P(B)1 从甲地到乙地，乘火车、轮船和飞机来的概率分别为0.2、0.4、0.4，乘火车来 的概率为0.5，乘轮船来的概率为0.2，乘飞机来不会 .试求：他来的概率是多少？(5分 解:设A={},B1={乘火车},B2={乘轮船},B3={乘飞机},则由条件得 PAB10.5,PAB2)0.2 PAB3)0 （3分P(A)P(AB1)P(B1)P(AB2)P(B2)P(A （7分

A)P(AB2)P(

4

（10分 将两种信息分别编码为A和B传递出去，由于信道存在干扰可能导致收到的信息与发送的不一致。设接收站收到信息时，信息A被误收B的概率是0.02,B被误收为A0.01。整个传送过程中，信息AB2:1，(1)求收到信息是A的概率;(8分)A时，问信息也是A的概率.(7分P(A|B1)=0.98,P(A|B2)=0.01,P（B1）=2/3，P（B2）=1/3（3分）P（A）=0.982/3+0.011/3 （8分0.982/ （3分=

（7分若事件A、B相互独立，且P(A)0.5，P(B)0.25，则P(AB) 例1设两两相互独立的三个事件A,B和C满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)<1/2,且已知P(A∪B∪C)=9/16，则P(A)= [解]:P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(CP(A)=x,则3x–3x2=9/1616x2-16x+3=0x=1/43/4(舍去)则四级射手能够进入正式比赛的概率分别是0.9、0.7、0.50.2，求任选一名选手能进入正式比赛的概率。Akk选手,k=1,2,3,4，B=进入正式比赛。由已知P(A1)=1/5,P(A2)=2/5,P(A3)=7/20,P(A4)=1/20;P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.7,P(B|A3)=0.5,P(B|A4)=0.2.P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+3某物品成箱出20各箱0、1件次品的概率分别为0.80.2，一顾客在时，他下该箱的概率；（2）顾客买下该箱物品，问该箱确无次品的概率[解]:设事件A0—箱中0品,A1—箱中1件次品，事B—买下该箱。由已知P(A0)=0.8,P(A1)=0.2,P(B|A0)=1,P(B|A1)=19/2018/1917/18=17/20,=P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)=0.81+0.27/20=0.97=P(A0|B)=P(A0B)/P(B)=P(A0)P(B|A0)/P(B)=0.8/0.97=4A、B、C为三个事件，AB互不相容CA,则必有（BA)P(A B)P(BC)=C) D).A例5.设一批产品共有1000个，其中50个次品，从中随机地不放回地选取500个产品，X表示抽到次品的个数，则P(X=3)=（ ACCCA（）50CA3

AB（ 50AB3（C）C500 （D） D(A 35 433 (B (

(C C8(8

(D C8C结论：1.如果P(A)>0，则事件AB独立分布函数(x)实质上P{≤x}发生的概率。分布函F(x)的性质x-x-

单调非减，当x1<x2时xx右连续

0BAABA1,A2,…,An相互kAi1,Ai2,…,Aik满足=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)，其k=2,3,…,n例1设P(A)＝1/2，P(B)＝1/3，P(A|B)＝1/4，则P( 例2已知P(A)0.5,P(B)0.4,P(AB)0.6,则P(AB)= D (B)(C)(D)贝努里概型：指在相同条件下进行n验；每次试验的结果有且仅有两种AA‾；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=pP(A)=1-p。kb(k;n,p)=Cnp(1- 例1.设随量的分布函数为F(x)=P{≤/4}=F(/4)=sin/4)A、 B、

C、2C、2

P{≤/4}=()(选C例2.设随量1和2的分布函数分别为F1(x)和F2(x)，为使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某随量的分布函数，则在下列给定的各组数值中应取() 例3.连续型随量的分布函数为F(x)=A+Barctanx,-∞<x<∞求：(1)常数A,B；(2)落入（-1，1）的概率。解得A=1/2,B=1/F(x)=1+1arctanx. arctan1–(落入（-1，1）arctan1–(=1

1arctan(-1))=1+1= 例4.设X是续型随量，其概率密度为f(x)，分布函数为F(x)，则对于任意x值有( (A)P(X=x)=0 (B) F(x)f(x)(C)P(X=x)=f(x (D)P(X=x)=F(x 1x 设

1 其解由题意得：

1 )2

dx1 dx1 A=1 1 1 x 1(arcsinx 1x （2）F(x)

x1（3）P(X)1 0x 2f(x)2 3x2 其它离散型随量 x3…..xn概

…..pn

其中每一pi≥0且错误离散型随量的分布函数是非降的阶梯函数。离散型随量常见分布：两点分布X~(0,1)；X的取值只有0或1，其概率为 k为)=)其中泊松分X~P()；分布律为

ke-

(k=0,1,2,3几何分布：X~Ge(p)；分布列P{X=k1-p)k-1pk=0,1,2,3在伯努利试验序列中，记每次试验中事件ApX事件A次出X1,2,…,称Xk)超几何分布：X~h(n,N,M)；分布列为

-(k=0,1,2,3,…,r,r=min{M,n})CC设有N品，其中有M个不合格品，若从中不放回n则其中含有的不合格品个数X

，k=1,2,…，则常C=(A、 B、 C、 D、(因为错误!P{=k}=1, =1,所以c=11-例2某射手有5发 ，射一次命中的概率为0.9，如果命中了就停止射击，否则一直射到用仅。求耗 概率 0.0090.0009例3设离散型随量的概率分布 p0.3 其分布函数F(xF(3)=()A、 B、 C、 D、连续性随量 如果对于随量的分布函数F(x)，存在非负可积 数p(x)，使得对于任意实数x， p(u)du，则称为连续型 量，其中p(x)为的概-p(x)0,-

-连续型随量的性质23P{=a}=0,所以P{a<b}=P{ab}=P{a<bP{a<<b

4P{x<x+x}常见连续型型随量的分布均匀分布~U[a,b]；密度函数

b- 其

分布函

指数分布~exp()；密度函数

e- x<0

1-e- 正态分布~N(,2)；密度函数

1

(t-

(-分布函

-

x-标准正态分标准正态分布N(0,1)，它的分布函数(x)可查表得到，一般) C 例：已知～N（22P2<40.3P｛<0｝=（B））X~N（50，100每天7时出门，试求：）解：P（ ）p(x1p(x)1p(x5060)

1(1)例1设随量X服从参数为1的泊松分布，则P{X=EX2}= 122设一设备开机后无故障工作的X指数分布，平均无故障工作的EX5定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障的时间Y的分布函数F(y)。[解X~E(为EX=1/=5=1/5次开机无故障的时易见y<0，F(y)=0y2当0y<2时，F(y)=P{Yy}=P{min{X,2}y}=P{Xy}=1-e-y/5Y分布F(y)=1-e-y/5若随量的函数的概率分布设离散型随量X的分布律为 g(x1)g(x2)…g(xk)

x1x2…xk p1p2…pk

X的函数Y=g(X)的分布律为： p2…pk

,g(xj)有相同情况时，概率为相应之和 x=h(yy=g(x)的反函数Y=g(X)的密度函数为

其FY(y)=P{Yy}=P{g(x)y}=P{XS}，其中S={x|g(x)y}，然后再把FY(y)对y求导，即得fY(y) 当FY(y)在y处可导时Y Y -

0.20.30.1 -1

，求Y=(X-1)2的分布律1 P0.20.70.1

101，将YXY例2设 量Y=3X+2的分布函数[解]：FY(y)=P{Yy}=P{3X+2y}=

y-

}=33332

y-)3x例3设

-

,求随量Y=3X+2的密度函数 其[解]：用公式y=g(x)=3x+2,y=g(x)的反函数x=h(yy-21<y-2<1-1<y<5,|h(y)| Y=g(X)的密度函数

y-22 32f(y)= <y< (3) -1<y<5=18(y- -32 其 其 其4X在区间[0,2]上服从均匀分布，试求Y=X3的概率密度[解X~U[0,2]，所以

其它。用分布函数法分 3 F(y)=P{Yy}=P{Xy}=0，当0<y<8时,F(y)=P{Yy}=P{Xy}= 1dx，f(y)=F 0 1 -

,当y8时,F(y)=P{Yy}=P{X3y}=P{X dx=1，f(y)=F(y)=0.f2 36

6

其

2 2(1x2设X~U(0,2)，则 量YX2在（０，４）内的概率密度函数 (0y4)f(y)2 (其他 量X在(0,1)服从均匀分布,则f(y)1,1ye.的概率密度 二维随机向量(,)的联合分布函数指0F(x,y)1;F(-∞,+∞)=F(x,-∞)=F(-∞,y)=0;F(x)=P{x}=F(x,+∞), P{=xi,=yj}=pij,其中错误!错误!pij=1且pij0可用一个分布列表或分布列矩阵(pij)来表示的边缘分布列为P{=xi}=错误!pij=的边缘分布列为P{=yj}=错误!pij例1设二维随机向量（,）的联合分布律1212 B、C、D、[答案]：错误!错误!pij=1所以=1/4

+∞

p(x,y)称为随机向量(,)的联合密度函数

利用密度函数求概率D

二维连续型随机向量(,)的边缘分布,p(x)，p(y)称为边缘密度函 p(x)=- p(y)=-离散型：在条件Y=yj下 量X的条件概率分布P{X=x|Y=y

, 连续型：在条件Y=y下随量X的条件分布函数FX|Y(x|y)与条件概率密度函数fX|Y(x|y)分别为：F(x|y)=错误! f(x|y)= 例1：设随量X在区间(0,1)上服从均匀分布，在X=x(0<x<1)的条件下，随 量Y在区间(0,x)上服从均匀分布，求：随量X和Y的联合概率密度；1[解]：X的概率密度为Y的条件概率密度为

1/x 其当0<y<x<1时，随量X和Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)fY|X(y|x)=1/x在其它点(x,y)处，有f(x,y)=0，即X和Y的联合概率密度为f(x,y) 其例2：设随量X与Y相互独立，X概率分布为P{X=i}=1/3(i=-1,0 概率密度为fY(y)= 其它，记Z=X+Y，求P{Z1/2|X=0} [解]：(1)P{Z|X=0P{X+Y|X=0}P{Y}=01dy= 12 二元正态分N(,,2,2,12 (x- 2(x-)(y- (y-p(x,y)=

2 2

2221-

2(1-

1 1 12 1 2二元正态分布N(,,2,2,)的边缘密度分布仍是正态分布~N(,2)12 1 2(x- (y-1 1 边缘概率密度为f ,f(y)= YXY

1

2

2

11(X,Y)在区域D上服从均匀分布设D是xOy面上的有界区域，其面积为A。如果二维随量(X,Y)具概率密度

1(x,y)D 其

，则称(X,Y)在区域D上服从均匀分布1:设(X,Y)D：｛(x,y)：a≤x≤b,c≤y≤d｝上的均匀分布，（1）(X,Y)合概率密p(x,y（2）X,Y边际概率密pX(xpY(y[解]：(1)

axb;其pX(x)= p(x,y)dy-

1

,pY(y)= 其 -x

1y

其 的概率密度。[解]：由分布函数性质，得F(+∞,+∞)=A(B+)(C+),F(x,-∞)=A(B+arctan)(C-

1

x F(-∞,y)=A(B-)(C+arctan)=0,解得A=,B=C=.即 (+arctan)(+arctan) (2)f(x,y)= =

2 2 例2:设随量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P{max{X,Y}1}。.[解]：P{max{X,Y}1}=P{X1Y1}，因为XY相互独立，所以111 P{X1且Y1}=P{X1}P{Y1}= （这里P{X1}=0dx=33 例3:设二维随量(X,Y)的概率密度为f(x,y)

求：(1)(X,Y)的边缘概fX(x),fY(y)；(2)Z=2X-Y的概率密fZ(z) 0<x<1[解]：(1)fX(x-∞f(x,y)dy====11dy=2x,所以边缘概率密度

其f(y)=

1- f(x,y)dx==== 1dx=1y,所以边缘概率密度-

其FZ(z)=P{2x-yz}= f(x,y)dxdy2x-

1-1dxdy=1-z/2dx0

1dy=1-z/2(2x-z)dx=z- 得到F(z)=z-z2/40z<2，所以Z的概率密度f(z)=F 1- 0Z

其4.设 f(x,y)

x2y其它

；求边缘概率密度fx(x),fy(y)及fY yx例4设二维 求(1)常C;(2)P{X+Y1};(3)联合分布函F(x,y). +∞ 1 f(x,y)dxdy=(x+cxy)dxdy=+cc= 0 P{X+Y1}=f(x,y)dxdy=f(x,y)dxdy 1 = (x2+xy)dy=(x3+x2+x)dx 1- 0 F(x,y)=-∞-0x1,0y<2 x

2)dudv= F(x,y)= p(u,v)dudv=(u2+ x)dudv= 0x1,y2时

0 3 x 2x32F(x,y)= p(u,v)dudv=(u+)dudv=+2

0 3 1

y2F(x,y)= p(u,v)dudv=(u+)dudv=+2 F(x,y)=-∞-

0 3

0x10y<20x3y0x3y+32x3+3y+31x1若F(x,y)=F(x)F(y)，则称随 连续型 量与相互独立离散型 量与相互独立1 2 1 2XY互独立f(Xg(Y)例：袋中有2只白球，3现进行无放回地摸球，定义 ，的边际分布，是否相互独立\01011若A出 1若B出 量X=-1若A不出 Y=-1若B不出8xy0x1例3设(X,Y)的概率密度为，f(x,y)= 其 ,求：关于X及关于Y的边缘概率密度，并 [解X边缘概率密度f(x)=

8xydy=4x3,x<0x>1 - fx)=0f(x)=4x3

8xydx=4y(1-yf(y)=0, 其 XY独立

4y(1-y2) 其 .因为当0x1,0y1时，f(x,y)fX(x)fY(y)，设二维随量(X,Y)的概率密度函数为关 0x1,0y2.f(x,y) 其(1)YX的边缘分布密度函fYX

XY是否独立？(6分EXY (4分

当0x1时，则fx(x)f(xy)dy02dy2x，从 0xfx(x) 其 0y1时，则fYy)f(xy)dxy2dx2(1y),从2(1 0yfy(y) 其1 0xx)fYX(

其因为f(xyfx(xfyy,0x1,0yxXY不独立1 1 E(XY)00xyf(x,y)dxdyE(XY)0x2xydydxx(xx)dxX~P(1Y~P(2),XY1 2 12 X~N(,2Y~N(,2XY互独立X+Y~N(1 2 12 3.(卷积公式)设(X,Y)是二维连续型随量，其概率密度为f(x,y)，关于X,Y的边缘概率密度分别为 fY(yXY相互独立Z=X+Y的概率密度为fZ(z-∞fX(x)fY(z-x)dx=-∞f(xz-x)dx --

f(z-y,例1:已知的联合概率分布

X|Y 01/41/1013/203/20X+Y01

,求(1)X+Y的概率分布；(2)XY的概率分布XY01[解]：令Z1=X+Y，则Z1的加法表

012Z2=XYZ2的乘法表12

000 01Z1

Z1 Z1的分布律P1/43/20+1/103/20+3/101/20P1/45/20

Z1 Z2的分布律P1/4+3/20+1/10+3/103/201/20P4/53/20[解]：X~U[0,1],Y~U[0,1],Z=X+Y有效区间[0,2]上取值。利用卷积公式得fZ(z-∞fX(x)fY(z-x)dx有效0x1,0z-x10xz,z- 0z1fZ(z)=011dx=z;1<z2fZ(z)=z-111dx=2-z;当的其余取值时，fZ(z)=0

2- 其 量n维 量(X1,X2,…,Xn)的分布函数F(x1,x2,…,xn)=P{X1x1,1 112 n 1 112 nX1,X2,…,Xn相互独立，Xj的分布函数为M=max{X1,X2,…,Xn}的分布函数为Fmax(z)=FX1(x1)FX2(x2m=min{X1,X2,…,Xn分布函数为Fmin(z)=11-FX1(x1))(1-FX2(x2(1-第四章随 E(g())=错误

-

+∞E(X)=-∞xfX(x)dx=-∞ +∞E(Y)=-∞yfY(y)dy=-∞-二维随量X的函数Y=g(X)的数学期望：E[g(X,Y)]=错误!错误!g(xi,yj)pij

+∞

-∞-E(c)=c E(a)=a 若与D(X)=E[X-E(X)]2EX2EX)2D(X)=

[x-E(X)]2-D(c)=0 D(a)=a2 D(a+b)=a2D 若与与的协方差cov(,)=E[(-E)(-E)](或为cov(,)= cov(a,b)=abcov(,),设n维随 量X1,X2,…,Xn,记cij=cov(Xi,Xj)，则称阶矩阵C=(cij)nn为X1,X2,…,Xn的协方差矩阵例1：设的密度函数c/x2p(x)= 其 求 p(x)dx-+∞xp(x)dx=33 E=- 2 x1

1

2 x1+x2 221- 2

+∞xf(x)dx=

+∞xe-|x|-∞ 2-E(X2)=+∞x2f(x)dx=1x2e-

dx- 2-1=2

x2e--0

dxD(XEX2

4-D(Y)=cov(Y,Y)=9,Cov(X,Y3=cov(X,Y)=-3=-DX

1例5.设 量X与Y相互独立，且D(X2Y1)

~

Y服从于9的泊松分A. B. C. D.6.设

的定义

DD相关系数反映了随量与之间的线性相关的程度。注意||1。几个结论=0D(-注意随量与相互独立，则与不相关；5设XY互独立且N(0,2)，若=aX+bY=aX-bY,明：与的相关系数，==(a2–b2)2。又因为

a2-。

D

a2-=（A） （C） 111

2

7.设 量

Y～（216

，2( - (C) -6 )，则12Bk阶原点矩：E(Xk)k=1,2,… k+s6 )，则12Bk中心矩：E[(X-EX)kk=1,2k+s混合阶中心矩：E[(X-EX)k(E-EY)s]k,s=1,2,…协方差矩阵：C=(cij)nx其中cij=E[(Xi-EXi)(Xj-EXj))]分方分布P{=0}=p,P{=1}=1-pp(1-二项分b(k；n,p)=P{=k}=kk(1-p)n-kp泊松分P{=k}=ke-k=0,1,2…,>0均匀分 p(x)=b- 其分布列P{X=k(1-p)k-1p(1pX~MN- k=0,1,2,3,…,指数分e- 11 (x- (- N(,2,,) (x- 1-21-2 21 2(x-)(y- (y- 2 1 D=12第五章大数定律及中心极限定理切比雪夫不等式：P{|-E|}

P{|-E|<}1-例1：设随量1,2,3，独立同分布，且i服从参数为的指数分布，i=1,2,3，试根据切比雪夫不等式证明：P{0<1+2+3<6/}≥2/3. 12 12 12 12[证]：~exp(E=1/;令X=++EX=E(++)=3/，DX=D(++)=3/2.P{0< 12 12 12 121-

=

=

3= 例2：已知 量X的期望E(X)=100，方差D(X)=10，估计X落在(80,120)内的概率[解]：P{80<X<120P{-20<X-100<20P{|X-E(X)|<20}1

=1-

=3.若DX0.04,利用切比雪夫不等式知P(X-

0.2)=—————例4.设X1，X2，……，Xn是来自总体N（μ,σ2）的样本，对任意的ε>0，样本均值 夫不等式为（BXA．P nX

≥n

B．PX

≥1－nXC．PX

n

Xn

≤n例5.设

1| 31231 X1,X2,…,Xn相互独立，分别具有数学期望与方差，且方差一致有上界，对任意给定正数，恒有limP{| ! !|<}=1

错 错 伯努利大数定理：设nA是在n次独立重复试验中事件A，pA每次试验中发生的概率 则对任意给定正数，

P{|-p|<}= ( -p|}= nP{| 量X1,X2,…,Xn,…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望EXk=，则对任意定正数

P{|n

!–|<}=棣莫弗(Demoiver)-拉斯(Laplace)定理：设随量Yn(n=1,2,3,…)服从参数为n,p的二项分布

x1-

-Y~B(n,p)，则对任意实x

P{

x}=(x)=

dt 1 -∞

a 这一定理说明服从二项分布B(n,p)的随量Yn作标准化后的随

Yn-N(0,1) EX=，和方差D(X)=20，随量Y=(错误!-n)/n的分布函数为F(x)，则对任意实数 limF(x)=limP{Yx}=(x)=

x1e-t2n -∞ 这一定理说明，错误!的标准化随量Yn=(错误!-n)/n的极限分布是标准正态分布将一枚均匀硬币连掷100则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为 设随量X~B(100,0.2),应用中心极限定理可得 .(已知例1：某计算机系统由120个终端，每个终端在1小时内平均有3分钟使用 机与否是相互独立的，求至少由10个终端同时使用 D(X)=npq=60.95=5.7P{X10}=1P{X<10}=1P{X<10}=1PX-610-6用中心极限定5.7理上式近似等于=1-(1.6754)=1-0.9621=0.0379.即至少10同时使用的概率为例2：在抛硬币的试验中，至少抛多少次,才能使正面出现的频率落在(0.4,0.6)区间的概率不小于0.9？[解]：设共进行次试验，X为出现正面的次数，则X~B(N,pp=1/2=0.5E(X)=np=0.5N,D(X)=npq=0.25N。所求的为P{0.4<X/N<0.6}0.9X标准化P{0.4<X/N<0.6}=P{0.4N<X<0.6N}=0.4N-EXX-EX0.6N- X- }=P{-0.2N< <0.2N}2(0.2N)–10.9 (0.2N)0.95,(1.645)=0.950.2N1.645N67.6568才能满足要求例3：设随量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式P{|X+Y|6} [解]:E(X+Y)=EX+EY=-2+2=0,D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)=1+4+2DXDY=!+4+2(-0.5)12=则根据切比雪夫不等P{|X+Y|6}=P{|X+YE(X+Y)|6}D(X+Y3= 例4：生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5用最大载重量为5的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率0.977（(2)=0.977，其中(x)是标准正态分布函数）[解]:Xii量(千克)，i=1,2,…,n。EXi=EX=50，DXi=50Z=错误!,则EZ=50n,DZ=25nZ-EZ5000- 5利用中心极限定理P{Z5000}= 5 5因为 225n-5 例4：设随 量X1,X2,…,Xn相互独立，Sn=X1+X2+…+Xn,则根据列维-林德伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1,X2,…,Xn [解X1,X2,…,Xn必须独立同分布，所以不能A,B。又必须具有有限的数学期望和方差，故D不一定能保证此条件，应选C。11 n 【分析 1X1,X2,…,Xn，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：n

这里X,X,…,X，满足大数定律的条件，且

=DX+(EX)=1/4+(1/2)=i 因此根据大数定律有Y=错误!依概率收敛 第六章总体：在数理统计中，常把被对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或 看成一个具有分布的随量（或随机向量。 样本：把从总体中抽取的部分样品x1x2,,xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，n示。在一般情况下，总是把样本看成是n的随量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果x1x2,,xnn个随量（样本）；在具体的一次抽取之后x1x2xn表示n具体的数值（样本值。称之为样本的两重性。x1x2,xn为总体的一个样本 （x1,x2,,xn 续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（x1,x2,,xn）为一个x)2nMk xi,knikiM1nki

x)k,kx1x1nnxi (21nn1innS(xx)2ii1nkE(X)

D(X)，n，E(S2)2，E(S*2)n12nn 1n其中S* (XiXi

xx u

~N 12

N

1

NnNn2t

N t

x~t(ns 2分 w

(n1)S2~2(n 度为n-1的2分例:例:已知F01(7,20)=2.04,则F0.例对于给定的正数01u2(n，t(n)F(nnN(0,1)，2(n ）（A）（B） （C）t(n)（D）F1(n1,n2)1(n,n XY服分布(同时要写 布的参数)3设和相互独立且都服从N(0,4)，而1,4和1,4分别是来自总体和则统计量U1... 。 2... XS2独立。第七章参数估计阶原点矩vE(Xk)(k1,2,,m)中也包含了未知参数, ， 1inii

xk(k1,2,, 1 xi i 1v(,,,)

x 1

nin 1v(,,,)

ixmim m

ni ˆˆ若为的矩估计g(x)为连续函数g(g(的矩估计当总体X为连续型随 量时，设其分布密度为f(x;1,2,,m)，其中1,2,,m为未知参数。又设x1,x2,,xn为总体的一个样本，称ni为样本的似然函数，简记为 量时，设其分布律为P{Xx}p(x;1,2,,m)，则nL(x1,x2,,xn;1,2,,m)p(xi;1,2,,m 若似然函数L(x1,x2,,xn;1,2,,m)在1,2 处取到最大值，则 ln

0,i1,2,,ˆ,（1）1EX，故的矩估计

nn xie)eL

xi

nxi 从 lnLn(xi)lnlnxi 令dlnL0，则得到的极大似然估计为

1ini

x

取值-01概率1-其中为待估参数 现在观察到一个容量为3的样本 x11,x20,x31，试求的矩估计值；(4分)（2）的极大似然估计值．(6分解1EX1 1

7 从而的矩估计值为

0.238（2）数为L(

0)

令

0

,0x

，其中未知X1,X2,,X0, 其是从该总体中抽取的一个样本，试求：（1）的矩估计；(4分)（2）的极大似然估计．(6分（1）令

0

（3分

1

（4分L()f(x1)f(x2)f(xnn(xxx)1 其中0x,x

11 lnL(nln1lnx1x2xn （7分令dlnL()0，则得到的极大似然估计值为 lnxx

,x

1 4X的密度函数

f(x)0, 其

，其中未知，x1x2,xn是该总体一组样本观察值，试求：（1）的矩估计；(7分1（2）的最大似然估计．(8分1

EXX，故的矩

（7分XL()f(x1)f(x2)f(xnn nlnL()nln令dlnL()0，则得到的极大似然估计值为

无偏性：设(x1x2,xn)为未知参数的估计量。E（）=，则称为的无偏估计 有效性：设11(x1x2,,xn和22(x1x2,xn是未知参数的两个无偏估计量 D(1)D(2，则称1比2有limP(|n|)则称n为的一致估计量（或相合估计量ˆ ˆE(XD(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。1.X1、X2、X3X中抽取的容量为3的样本，总体均值为，总体方差为2.ˆ1X1

1 ˆ1

1

1

3,

3,分别为未知参数的估计， 为的无偏估计，且此两个估计 较有效 2.总体X具有均值，方差2.从总体中取得容量为n的样本，X为样本均值，S2为样本方差，为使ˆX2cS2是总体均值的平方2的无偏估计量，则c n设总体X含有一个待估的未知参数。如 从样本x1,x,2,,xn出发，找出两个统计11(x1,x,2,,xn 与22(x1,x,2,,xn ，使得区间[1,2]那么称区间[1,2为的置信区间，1为该