【试卷】四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)

【试卷】2017年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)【试卷】2017年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)21/21【试卷】2017年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)2017年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．（5分）若全集U=R，会合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则?UA=（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．[﹣1，2]D．[﹣2，1]2．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是（）A．若a≤b，则a+c≤b+cB．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞bD．若a＞b，则a+c≤b+c3（．5分）履行以下列图的程序框图，假如输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1C．﹣lD．l4．（5分）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P知足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．35．（5分）已知α为第二象限角．且sin2α=﹣，则cosα﹣sinα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）（x+1）5（x﹣2）的张开式中x2的系数为（）第1页（共20页）A．25B．5C．﹣15D．﹣207．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．136πB．34πC．25πD．18π8．（5分）将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位长度，获取函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴方程是（）A．x=一B．x=C．x=D．x=9．（5分）在直三棱柱﹣中，平面α与棱AB，AC，A，A1B1分别交ABCA1BlC11C1于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有以下三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命1B1题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③2+y2上的两个动点，|，=﹣，10．（5分）已知A，B是圆O：x=4|=2若M是线段AB的中点，则?的值为（）A．3B．2C．2D．﹣311．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x3，则对于x的方程f（x）=|cosπx|在[﹣，]上的所有实数解之和为（）A．﹣7B．﹣6C．﹣3D．﹣1．（分）已知曲线1：y2（＞，＞）在点M（，）处的切线与曲线125C=txy0t02第2页（共20页）C2：y=ex+1﹣1也相切，则tln的值为（）A．4e2B．8eC．2D．8二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．（5分）若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为﹣1，则a=．14．（5分）我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：假如两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，以下列图，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的关闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的随意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长素来相等，则图l的面积为．15．（5分）若实数x，y知足拘束条件，则的最小值为．16．（5分）已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延伸线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{an}知足al=﹣2，an+1=2an+4．I）证明数列{an+4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|an|}的前n项和Sn．18．（12分）云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各等级区分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，第3页（共20页）85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均散布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，依据[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率散布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．1）求图中x的值，并依仍旧本数据比较甲乙两校的合格率；2）在采用的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的散布列和数学希望．19．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）能否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明原由．第4页（共20页）20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．（I）若直线l1的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．21．（12分）已知函数f（x）=xln（x+1）+（﹣a）x+2﹣a，a∈R．I）当x＞0时，求函数g（x）=f（x）+ln（x+1）+x的单一区间；（Ⅱ）当a∈Z时，若存在x≥0，使不等式f（x）＜0成立，求a的最小值．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线2θ．C的极坐标方程是ρcosθ﹣4sin=0（I）写出直线l的一般方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C订交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b知足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．第5页（共20页）2017年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）参照答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．（5分）若全集U=R，会合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则?UA=（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．[﹣1，2]D．[﹣2，1]【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＞2或x＜﹣1}，则?U﹣≤≤2}，A={x|1x应选：C．2．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是（）A．若a≤b，则a+c≤b+cB．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞bD．若a＞b，则a+c≤b+c【解答】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是“若a≤b，则a+c≤b+c”．应选：A．3．（5分）履行以下列图的程序框图，假如输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1C．﹣lD．l第6页（共20页）【解答】解：依据题意，模拟程序框图的运行过程，x≤0，y=﹣x2+1=0，∴x=﹣1，x＞0，y=3x+2=0，无解，应选：C．4．（5分）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P知足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【解答】解：∵双曲线上一点P知足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，|PF1|=13，2a=|PF1|﹣|PF2|=8，∴a=4，∵c=6，∴e==，应选：C．5．（5分）已知α为第二象限角．且sin2α=﹣，则cosα﹣sinα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵α为第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，sin2α=﹣，∴cosα﹣sinα=﹣===，应选：B．6．（5分）（x+1）5（x﹣2）的张开式中x2的系数为（）A．25B．5C．﹣15D．﹣20【解答】解：（x+1）5（x﹣2）=（x﹣2）的张开式中x2的系数=﹣2=﹣15．应选：C．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三第7页（共20页）视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．136πB．34πC．25πD．18π【解答】解：由四棱锥的三视图知该四棱锥是以下列图的四棱锥P﹣ABCD，其中ABCD是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，且PA=4，∴该四棱锥的外接球就是以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，∴该四棱锥的外接球的半径R==，∴该四棱锥的外接球的表面积2π．S=4πRπ×=4=34应选：B．8．（5分）将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位长度，获取函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴方程是（）A．x=一B．x=C．x=D．x=【解答】解：将函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）的图象上第8页（共20页）所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x+）的图象；再将图象上所有点向右平移个单位长度，获取函数g（x）=2sin（x﹣+）=2sin（x+）的图象的图象的图象，令x+=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z．令k=0，可得g（x）图象的一条对称轴方程是x=，应选：D．9．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有以下三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【解答】解：如图，∵在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．∴AA1EHGF，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；EF与BC不用然平行，∴平面α与平面BCC1B1平行或订交，故②错误；AA1EHGF，且AA1⊥平面BCEF，∴EH⊥平面BCEF，EH?平面α，∴平面α⊥平面BCFE，故③正确．应选：C．．（分）已知2+y2上的两个动点，，=﹣，105A，B是圆O：x=4||=2若M是线段AB的中点，则?的值为（）第9页（共20页）A．3B．2C．2D．﹣3【解答】解：A，B是圆O：x2+y2上的两个动点，|，=4|=2∴与的夹角为，∴?=||?||?cos=2×2×=2，M是线段AB的中点，∴=（+），∵=﹣，∴?=（+）?（﹣）=（5||2+3??﹣2||2）=（20+6﹣8）=3，应选：A．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x3，则对于x的方程f（x）=|cosπx|在[﹣，]上的所有实数解之和为（）A．﹣7B．﹣6C．﹣3D．﹣1【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），∴x=﹣1是函数的对称轴，分别画出y=f（x）与y=|cosπx|在[﹣，]上图象，交点依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x1+x7=﹣2，x2+x6=﹣2，x3+x5=﹣2，x4=﹣1，x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=﹣2×3﹣1=﹣7，应选：A．第10页（共20页）12．（5分）已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=ex+1﹣1也相切，则tln的值为（）A．4e2B．8eC．2D．8【解答】解：曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0），y′=?t，x=，y′=，∴切线方程为y﹣2=（x﹣）x+1x+1m+1=，∴m=ln﹣1，n=﹣设切点为（m，n），则曲线C2：y=e﹣1，y′=e，e1，代入﹣1﹣2=（ln﹣1﹣），解得t=4，∴tln=4lne2=8．应选：D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．（5分）若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为﹣1，则a=﹣．【解答】解：复数z===+i的虚部为﹣1，则=﹣1，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：假如两等高的几第11页（共20页）何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，以下列图，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的关闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的随意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长素来相等，则图l的面积为．【解答】解：依据祖暅原理，可得图1的面积=梯形的面积==．故答案为．15．（5分）若实数x，y知足拘束条件，则的最小值为．【解答】解：由拘束条件，作出可行域如图，的几何意义是（x，y）与（0，1）连线的斜率联立，解得A（1，），∴的最小值为=﹣．故答案为：﹣．第12页（共20页）16．（5分）已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延伸线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．【解答】解：∵AC=，BC=，△ABC的面积为=AC?BC?sin∠ACB=sin∠ACB，sin∠ACB=，∴∠ACB=，或，∵若∠ACB=，∠BDC=＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π，与三角形内角和定理矛盾，∴∠ACB=，∴在△ABC中，由余弦定理可得：AB===，∴∠B=，∴在△BCD中，由正弦定理可得：CD===．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{an}知足al=﹣2，an+1=2an+4．I）证明数列{an+4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|an|}的前n项和Sn．第13页（共20页）【解答】（I）证明：∵数列{an}知足al=﹣2，an+1=2an+4，∴an+1+4=2（an+4），∴数列{an+4}是等比数列，公比与首项为2．（II）解：由（I）可得：an+4=2n，∴an=2n﹣4，∴当n=1时，a1=﹣2；n≥2时，an≥0，n≥2时，Sn=﹣a1+a2+a3++an=2+（22﹣4）+（23﹣4）++（2n﹣4）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．n=1时也成立．∴Sn=2n+1﹣4n+2．n∈N*．18．（12分）云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各等级区分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均散布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，依据[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率散布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．1）求图中x的值，并依仍旧本数据比较甲乙两校的合格率；2）在采用的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的散布列和数学希望．【解答】解：（1）由频次散布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，第14页（共20页）乙校的合格率P=．2=96%可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的散布列为：X0123PE（X）=0+1×+2×+3×=．19．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）能否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明原由．【解答】（I）证明：由题意，PE，PF，PD三条直线两两垂直，∴PD⊥平面PEF，图1中，EF∥AC，∴GB=2GH，∵G为BD中点，∴DG=2GH．第15页（共20页）图2中，∵=2，∴△PDH中，GR∥PD，GR⊥平面PEF；（Ⅱ）解：由题意，成立以下列图的坐标系，设PD=4，则P（0，0，0），F（2，0，0），E（0，2，0），D（0，0，4），∴H（1，1，0），∵=λ，∴R（，，0），∴=（，﹣，0），=（2，﹣2，0），=（0，2，﹣4），设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则，取=（2，2，1），∵直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，∴=，∴λ=，∴存在正实数λ=，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．（I）若直线l1的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．【解答】解：（I）由题意可知：右焦点F（1，0），E（5，0），M（3，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），第16页（共20页）由直线l1的倾斜角为，则k=1，直线l1的方程y=x﹣1，即x=y+1，则，整理得：9y2+8y﹣16=0．则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，△ABM的面积S，S=?丨FM丨?丨y1﹣y2丨=丨y1﹣y2丨==，∴△ABM的面积S的值；（Ⅱ）证明：设直线l1的方程为y=k（x﹣1），则，整理得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0．则x1+x2=，12，xx=直线BN⊥l于点N，则N（5，y2），由kAM=，kMN=，而y2（3﹣x1）﹣2（﹣y1）=k（x2﹣1）（3﹣x1）+2k（x1﹣1）=﹣k[x1x2﹣3（x1+x2）+5]，=﹣k（﹣3×+5），=0，kAM=kMN，A，M，N三点共线．21．（12分）已知函数f（x）=xln（x+1）+（﹣a）x+2﹣a，a∈R．I）当x＞0时，求函数g（x）=f（x）+ln（x+1）+x的单一区间；（Ⅱ）当a∈Z时，若存在x≥0，使不等式f（x）＜0成立，求a的最小值．第17页（共20页）【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=（x+1）ln（x+1）+（1﹣a）x+2﹣a，（x＞0），g′（x）=ln（x+1）+2﹣a，当2﹣a≥0即a≤2时，g′（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，此时，g（x）在（0，+∞）递加，无递减区间，当2﹣a＜0即a＞2时，由g′（x）＞0，得x＞ea﹣2﹣1，由g′（x）＜0，得0＜x＜ea﹣2﹣1，此时，g（x）在（0，ea﹣2﹣1）递减，在（ea﹣2﹣1，+∞）递加，综上，a≤2时，g（x）在（0，+∞）递加，无递减区间；﹣﹣a＞2时，g（x）在（0，ea2﹣1）递减，在（ea2﹣1，+∞）递加，当x≥0时，上式等价于a＞，令h（x）=，x≥0，由题意，存在x≥0，使得f（x）＜0成立，则只要a＞h（x）min，∵h′（x）=，令u（x）=ln（x+1）+x﹣，显然u（x）在[0，+∞）递加，而u（0）=﹣＜0，u（1）=ln2﹣＞0，故存在x0∈（0，1