信号与系统教案第2章课件2

第二章连续时间系统的时域分析第二章连续时间系统的时域分析1§2.2微分方程的建立§2.2微分方程的建立2微分方程的建立微分方程的建立3微分方程的求解对于连续LTI系统，可以用常系数线性微分方程描述微分方程的求解对于连续LTI系统，可以用常系数线性微分方程描4一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为时的方程的解，初始条件:齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式注意：重根情况处理方法特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式

代入原方程，比较系数定出特解。经典法完全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数微分方程的求解齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应。特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为5齐次微分方程特征方程特征根齐次解形式：（和特征根有关）齐次解微分方程的求解齐次微分方程特征方程特征根齐次解形式：（和特征根有关）齐次解6特征根齐次解的形式单根k重实根k重复根微分方程的求解特征根齐次解的形式单根k重实根k重复根微分方程的求解7激励函数e(t)响应函数r(t)的特解或当a是k重特征根时当a＋jb不是特征根当a＋jb是特征根微分方程的求解激励函数e(t)响应函数r(t)的特解或当a是k8例：求微分方程的完全解解:齐次方程为

特征方程：特征根：该方程的齐次解为：激励函数中a=-1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：微分方程的经典求解例：求微分方程的完全解解:齐次方程为激励函数中a=9代入原微分方程得求得所以特解为完全解为微分方程的经典求解代入原微分方程得求得所以特解为完全解为微分方程的10§2.3起始点的跳变—从0-到0+状态的转换§2.3起始点的跳变—从0-到0+状态的转换111、微分方程的初始条件在系统分析中，认为激励e(t)在t=0时刻加入，则其响应区间为[0+,+∞],0+时刻的状态r(0+),r’(0+)…称为系统的初始条件。1、微分方程的初始条件在系统分析中，认为激励e(t)在123、冲激函数匹配法确定初始条件当系统用微分方程表示时，系统状态0-到0+有无跳变，取决于方程右端是否包含(t)及各阶函数。当t=0时，微分方程左右两端的(t)及其各阶导数的系数应该平衡相等.2、从0-到0+状态的转换系统在e(t)加入之前瞬间的一组状态r(0-),r’(0-)…既系统的起始状态。加入e(t)之后由于受其影响，这组状态从t=0-到t=0+可能发生变化，0+时刻的这组状态r(0+),r’(0+)…称为系统的初始条件。3、冲激函数匹配法确定初始条件当系统用微分方程表示时，系统状13u(t)

表示0-到0+的相对跳变函数例：已知r(0-),求r(0+)分析：

u(t)表示0-到0+例：已知r(0-),求14设则代入方程得出所以得即即数学描述或设则代入方程得出所以得即即数学描述或15例：(1)将e(t)代入微分方程，t≥0得用冲激函数匹配法求输入e(t)如图，已知描述LTI系统的微分方程为

tO()te2[解]例：(1)将e(t)代入微分方程，t≥0得用冲激函数匹配16方程右端的冲激函数项最高阶次是(t)，因而有(2))00(+-<<t代入方程方程右端的冲激函数项最高阶次是(t)，因而有(2)17求得因而有欲求解的0+状态为求得因而有欲求解的0+状态为18§2.4零输入响应和零状态响应§2.4零输入响应和零状态响应19零输入响应izi(t)零状态响应izs(t)完全响应=零输入响应+零状态响应i(t)=izi(t)+izs(t)零输入响应izi(t)零状态响应izs(t)完全响应=零20

系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值决定的初始值求出待定系数。零输入响应系统方程：解的形式：由起始条件[r(0-),r’(0-)…

]求待定系数。零输入响应只是齐次解的一部分，即rzi(t)只是自由响应中初始条件产生的部分。系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系21例：

求系统的零输入响应解：特征方程特征根零输入响应由起始条件得零输入响应为零输入响应例：求系统的零输入响应解：特征方程特征根零输入响应由起始条22

系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值决定的初始值求出待定系数。零状态响应系统方程：解的形式：齐次解+特解由初始条件[r(0+),r’(0+)…]求待定系数。系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，23(1)求rzi(t)(2)求rzs(t)例：[解]由初始条件求待定系数求由求出(1)求rzi(t)(2)求rzs(t)例：[解]由初始条24系统响应划分自由响应＋强迫响应

(Natural+forced)零输入响应＋零状态响应

(Zero-input+Zero-state)暂态响应+稳态响应

(Transient+Steady-state)系统响应划分自由响应＋强迫响应零输入响应＋零状态响应暂态响应25

也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。

形式取决于外加激励。对应于特解。是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。自由响应：暂态响应：稳态响应：强迫响应：零输入响应：零状态响应：各种系统响应定义也称固有响应，由系统本身特性决定，与26对系统线性的进一步认识零输入分量的存在，导致系统不是线性系统，不是时不变系统，也不是因果系统。对于由常系数微分方程描述的系统对系统线性的进一步认识零输入分量的存在，导致系统不是线性系统27RCu(t)+-+-uc举例说明1.

零状态响应，uC(0)=02.零输入响应，e(t)=03.全响应RCu(t)+-+-uc举例说明1.零状态响应，uC(0)28零输入响应与初始状态呈线性零状态响应与激励呈线性由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的:有时只关心零状态响应，可用卷积法求解。LTI系统h(t)(t)h(t)LTI系统h(t)e(t)rzs(t)响应的可分解性零输入响应与初始状态呈线性零状态响应与激励呈线性由常系数微分29[例2-4]已知一LTI系统,在相同初始条件下,当激励为e(t)时，其全响应为r1(t)=[2e-3t+sin2t]u(t)；当激励为2e(t)时，其全响应为r2(t)=[e-3t+2sin2t]u(t)；t0>0，为实数。(2)初始条件增大1倍，当激励为0.5e(t)时的全响应r4(t)(1)初始条件不变，当激励为e(t-t0)时的全响应r3(t)；求：[例2-4]已知一LTI系统,在相同初始条件下,当激励为e(30[解](1)设零输入响应为rzi(t)，e(t)作用下零状态响应为rzs(t)由已知求出因此[解](1)设零输入响应为rzi(t)，e(t)作用下零状态31§2.6冲激响应和阶跃响应§2.6冲激响应和阶跃响应32一．冲激响应1．定义

系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。h(t)实际反映了系统的固有特性，与外界因素无关；h(t)称为系统的单位冲激响应。对于LTI系统，只要h(t)确定，系统特性随之确定。一．冲激响应1．定义系统在单位冲激信号332.冲激响应的数学模型对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示令

e(t)=(t)

则

r(t)=h(t)

一．冲激响应2.冲激响应的数学模型对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方34

由于δ(t)及其导数在t>0+时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。3.h(t)解的形式一．冲激响应由于δ(t)及其导数在t>0+时都35例解：求特征根冲激响应求系统的冲激响应。确定系数A1、A2——求0+法设代入原方程求出

a=1，b=-2例解：求特征根冲激响应求系统36代入h(t),得冲激响应代入h(t),得冲激响应37二．阶跃响应系统方程的右端包含阶跃函数，所以除了齐次解外，还有特解项。我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。1．定义二．阶跃响应系统方程的右端包含阶跃函数，所以除了齐次解外，382．阶跃响应与冲激响应的关系线性时不变系统满足微、积分特性阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限对因果系统：二．阶跃响应2．阶跃响应与冲激响应的关系线性时不变系统满足微、积分特性39第二章连续时间系统的时域分析第二章连续时间系统的时域分析40§2.2微分方程的建立§2.2微分方程的建立41微分方程的建立微分方程的建立42微分方程的求解对于连续LTI系统，可以用常系数线性微分方程描述微分方程的求解对于连续LTI系统，可以用常系数线性微分方程描43一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为时的方程的解，初始条件:齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式注意：重根情况处理方法特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式

代入原方程，比较系数定出特解。经典法完全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数微分方程的求解齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应。特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为44齐次微分方程特征方程特征根齐次解形式：（和特征根有关）齐次解微分方程的求解齐次微分方程特征方程特征根齐次解形式：（和特征根有关）齐次解45特征根齐次解的形式单根k重实根k重复根微分方程的求解特征根齐次解的形式单根k重实根k重复根微分方程的求解46激励函数e(t)响应函数r(t)的特解或当a是k重特征根时当a＋jb不是特征根当a＋jb是特征根微分方程的求解激励函数e(t)响应函数r(t)的特解或当a是k47例：求微分方程的完全解解:齐次方程为

特征方程：特征根：该方程的齐次解为：激励函数中a=-1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：微分方程的经典求解例：求微分方程的完全解解:齐次方程为激励函数中a=48代入原微分方程得求得所以特解为完全解为微分方程的经典求解代入原微分方程得求得所以特解为完全解为微分方程的49§2.3起始点的跳变—从0-到0+状态的转换§2.3起始点的跳变—从0-到0+状态的转换501、微分方程的初始条件在系统分析中，认为激励e(t)在t=0时刻加入，则其响应区间为[0+,+∞],0+时刻的状态r(0+),r’(0+)…称为系统的初始条件。1、微分方程的初始条件在系统分析中，认为激励e(t)在513、冲激函数匹配法确定初始条件当系统用微分方程表示时，系统状态0-到0+有无跳变，取决于方程右端是否包含(t)及各阶函数。当t=0时，微分方程左右两端的(t)及其各阶导数的系数应该平衡相等.2、从0-到0+状态的转换系统在e(t)加入之前瞬间的一组状态r(0-),r’(0-)…既系统的起始状态。加入e(t)之后由于受其影响，这组状态从t=0-到t=0+可能发生变化，0+时刻的这组状态r(0+),r’(0+)…称为系统的初始条件。3、冲激函数匹配法确定初始条件当系统用微分方程表示时，系统状52u(t)

表示0-到0+的相对跳变函数例：已知r(0-),求r(0+)分析：

u(t)表示0-到0+例：已知r(0-),求53设则代入方程得出所以得即即数学描述或设则代入方程得出所以得即即数学描述或54例：(1)将e(t)代入微分方程，t≥0得用冲激函数匹配法求输入e(t)如图，已知描述LTI系统的微分方程为

tO()te2[解]例：(1)将e(t)代入微分方程，t≥0得用冲激函数匹配55方程右端的冲激函数项最高阶次是(t)，因而有(2))00(+-<<t代入方程方程右端的冲激函数项最高阶次是(t)，因而有(2)56求得因而有欲求解的0+状态为求得因而有欲求解的0+状态为57§2.4零输入响应和零状态响应§2.4零输入响应和零状态响应58零输入响应izi(t)零状态响应izs(t)完全响应=零输入响应+零状态响应i(t)=izi(t)+izs(t)零输入响应izi(t)零状态响应izs(t)完全响应=零59

系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值决定的初始值求出待定系数。零输入响应系统方程：解的形式：由起始条件[r(0-),r’(0-)…

]求待定系数。零输入响应只是齐次解的一部分，即rzi(t)只是自由响应中初始条件产生的部分。系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系60例：

求系统的零输入响应解：特征方程特征根零输入响应由起始条件得零输入响应为零输入响应例：求系统的零输入响应解：特征方程特征根零输入响应由起始条61

系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值决定的初始值求出待定系数。零状态响应系统方程：解的形式：齐次解+特解由初始条件[r(0+),r’(0+)…]求待定系数。系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，62(1)求rzi(t)(2)求rzs(t)例：[解]由初始条件求待定系数求由求出(1)求rzi(t)(2)求rzs(t)例：[解]由初始条63系统响应划分自由响应＋强迫响应

(Natural+forced)零输入响应＋零状态响应

(Zero-input+Zero-state)暂态响应+稳态响应

(Transient+Steady-state)系统响应划分自由响应＋强迫响应零输入响应＋零状态响应暂态响应64

也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。

形式取决于外加激励。对应于特解。是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。自由响应：暂态响应：稳态响应：强迫响应：零输入响应：零状态响应：各种系统响应定义也称固有响应，由系统本身特性决定，与65对系统线性的进一步认识零输入分量的存在，导致系统不是线性系统，不是时不变系统，也不是因果系统。对于由常系数微分方程描述的系统对系统线性的进一步认识零输入分量的存在，导致系统不是线性系统66RCu(t)+-+-uc举例说明1.

零状态响应，uC(0)=02.零输入响应，e(t)=03.全响应RCu(t)+-+-uc举例说明1.零状态响应，uC(0)67零输入响应与初始状态呈线性零状态响应与激励呈线性由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的:有时只关心零状态响应，可用卷积法求解。LTI系统h(t)(t)h(t)LTI系统h(t)e(t)rzs(t)响应的可分解性零输入响应与初始状态呈线性零状态响应与激励呈线性由常系数微分68[例2-4]已知一LTI系统,在相同初始条件下,当激励为e(t)时，其全响应为r1(t)=[2e-3t+sin2t]u(t)；当激励为2e(t)时，其全响应为r2(t)=[e-3t+2sin2t]u(t)；t0>0，为实数。(2)初始条件增大1倍，当激励为0.5e(t)时的全响应r4(t)(1)初始条件不变，当激励为e(t-t0)时的全响应r3(t)；求：[例2-4]已知一LTI系统,在相同初始条件下,当激励为e(69[解](1)设零输入响应为rzi(t)，e(t)作用下零状态响应为rzs(t)由已知求出因此