轴向拉伸和压缩解析课件

轴向拉伸和压缩第二章课件制作:黄孟生轴向拉伸和压缩第二章课件制作:黄孟生外力特点：变形特点：§2－1

概述外力合力的作用线与杆轴线重合。杆件沿轴向伸长或缩短，沿横向缩小或增大。工程实例：桁架中各杆;机器中的连杆等.FFFF外力特点：变形特点：§2－1概述外力合力的作用线与杆轴一、轴力的计算FFmmFNF------轴力§2－2

轴力及轴力图（回顾）由平衡，FN=F------轴力方程规定：轴力FN以拉为正，以压为负。FFN一、轴力的计算FFmmFNF------轴力§2－2轴FN:(单位)F------轴力图FFmm二、轴力图四要素：大小、符号、图名、单位。——轴力沿杆长变化规律的图形基线：与基线垂直的坐标；正的画上方，负的画在下方。与轴线平行；表示截面位置。轴力：FN:(单位)F------轴力图FFmm二、轴力图四要素ABCD10kN20kN10kN332211解：（1）求轴力(分段求出各控制截面的轴力）1110kN220kN10kN23310kN20kN10kN例1：求出图示杆件的轴力，并画出轴力图。ABCD10kN20kN10kN332211解：（1）求轴力（2）画轴力图(3)最大轴力----危险截面(位于AB

段）ABCD10kN20kN10kNFA33FAFN333201010（2）画轴力图(3)最大轴力----危险截面(位于AB

规律：任一横截面上的轴力在数值上等于该截面一侧杆上所有外力的代数和。FNi=±∑Fi外（左或右）1、对于单根杆件：符号规定：轴力FN以拉为正，以压为负。规律：任一横截面上的轴力在数值上等于该截面一侧ABCD10kN20kN10kN112233FA或ABCD10kN20kN10kN112233FA或例2：画出图示杆的轴力图。ABCD3kN2kN/m1kN2m2m2m解：（1）求AB、

CD

段内力(2)求BC

段内力3kN2mxFN(x)xFN(x)=3-2x,(3)画轴力图31(4)最大内力(0≤x≤2m)例2：画出图示杆的轴力图。ABCD3kN2kN/m1kN2m§2-3

拉伸和压缩杆件横截面上的正应力一、正应力公式FFmmσFFNdAAσ如何的分布？§2-3拉伸和压缩杆件横截面上的正应力一、正应力公式FFm平面假设：1、几何关系横截面变形后仍为平面实验：纵线、横线仍为直线，均作平行移动FF

纵线横线ε=C（常数）平面假设：1、几何关系横截面变形后仍为平面实验：纵线、横线仍2、物理关系ε=C线弹性σ=C（常数）2、物理关系ε=C线弹性σ=C（常数）3、静力学关系——拉压杆横截面上的正应力公式说明：适用于等直杆，变截面杆近似计算。正应力大小仅与截面大小有关，与截面形状无关；正应力的符号与轴力的符号一致；3、静力学关系——拉压杆横截面上的正应力公式说明：适用于等直思考题:

由两种材料组成的杆拉伸时,应力如何分布?(平面假设仍成立)1.FFE1E22.3.FFE1E2E1FFE1E2思考题:

由两种材料组成的杆拉伸时,应力如何分布?(平面假设二、Saint-Venant原理bFFbFFbFσ=F/Aσmax=1.027FAb/2Fσ=F/Aσ

max=FA1.387b/4Fσ=F/Aσ

max=FA2.575杆端外力的作用方式不同（静力等效）。仅仅在杆端附近的局部范围内对应力、应变有影响，远处的影响可以忽略不计。二、Saint-Venant原理bFFbFFbFσ=F/Aσ例3：图示一吊车架，受小车重力P=18.4kN作用。拉杆AB的横截面为圆形，直径d=15mm。试求当吊车在图示位置时，AB杆横截面上的应力。P30°AC0.6m0.6mB例3：图示一吊车架，受小车重力P=18.4kNP30°AC0解：1、求AB杆的内力：2、求应力：BP30°AC0.6m0.6mFNBP30°CFCxFCy组合结构中拉压杆件的内力解：1、求AB杆的内力：2、求应力：BP30°AC0.6m0bhmFFmF例4

图2-9a所示一矩形截面杆，b=20mm，h=40mm。杆中有一直径d=10mm的圆孔。已知F=30kN，求杆的最大正应力σmax。实际上该最大应力仅仅是该截面的平均应力。解由于杆各截面轴力相同，而过圆孔直径的横截面m-m(图b)上面积最小，所以该截面正应力最大。杆的最大正应力为bhmFFmF例4图2-9a所示一矩形截面杆，b=20m§2－4应力集中的概念

在截面突变处的局部范围内，应力数值急剧增大，这种现象称为应力集中。

有时杆件需有：台阶、孔洞、沟槽、螺纹等Fσ22FF1221FσmaxF11§2－4应力集中的概念在截面突变处的局部范围内，应力集中因数：式中：A0为1－1截面的有效面积。减小应力集中的措施：孔洞尽可能采用圆形；台阶（或轴肩）处采用圆弧过渡等。应力集中因数：式中：A0为1－1截面的有效面积。减小应力集FFll'aaa'a'§2－5拉伸和压缩杆件的变形一、轴向变形、胡克定律∝E——弹性模量（杨氏模量）;单位:N/m2,Pa,MPaEA——拉（压）刚度——胡克定律FFll'aaa'a'§2－5拉伸和压缩杆件的变形一、轴向——单向应力状态的胡克定律——胡克定律另一形式或σ=Eε——单向应力状态的胡克定律——胡克定律另一形式二、横向应变、泊松比v——泊松比。各向同性材料

0<v<0.5。或aaa'a'二、横向应变、泊松比v——泊松比。各向同性材料0<例5：矩形截面杆。已知:l=1.5m，截面尺寸为50×

100mm2。受拉力F

=100kN作用，试验测得杆伸长0.15mm，截面长边缩短0.003mm.求：杆的弹性模量E和泊松比ν。解:由(2-3)式由(2-5)式例5：矩形截面杆。已知:l=1.5m，截面尺寸为50×1思考题:FFCDa/2a/2aδ1、图示受轴向力F作用的正方形箱形薄壁截面杆，已知该材料的弹性常数为E,ν.试求截面上C与D两点间的距离改变量△CD。思考题:FFCDa/2a/2aδ1、图示受轴向力F作用的解:A截面的位移等于杆的总变形例6：图示木柱,截面为边长200mm正方形。设材料服从胡克定律,弹性模量E=10GPa。如不计柱的自重，试求木柱顶端A截面的位移。A截面位移方向向下ABC1.5m1.5m100kN160kN解:A截面的位移等于杆的总变形例6：图示木柱,截面为边长解:1、求σmax∵q=ρgA例7：试求等截面直杆由自重引起的最大正应力和轴向总变形。A、ρ（密度）、E已知。lq(a)FN(x)(b)ρgAl(c)—ρgl(d)—FN(x)=-ρgAxx11│

FN

max

│Aσmax==ρglσ(x)==-ρgx,FN(x)A取截面1-1上侧解:1、求σmax例7：试求等截面直杆由自重引起的最大正2、求ΔlP=ρgAl——杆的重量FN(x)FN(x)+dFN(x)dxqdxFN(x)FN(x)dx2、求ΔlP=ρgAl——杆的重量FN(x)FN(x)+d例8：图示三角架，AB和AC杆均为钢杆，弹性模量E=200GPa，A1=100mm2，l1=1m,A2=400mm2，F=40kN。试求A点的位移。45°FAB12C例8：图示三角架，AB和AC杆均为钢杆，弹性模量E=20由ΣFy=0，FN2

=－F/sin45°=－56.6kN2、求变形：ΣFx=0，FN1=－FN2cos45°=40kN

FFN1FN2A45°解：45°FAB12C1、求各杆的内力由ΣFy=0，FN2=－F/sin45°=－56.6kN45°FAB12CA1A2A'A3A4A''3、计算位移：45°FAB12CA1A2A'A3A4A''3、计算位移：Fl123ABCl/2l/2图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，1、2、3杆的材料相同，弹性模量E=210GPa.。已知：F=20kN，A1=A2=100mm2，A3=150mm2，l=1m。试求C点的水平位移和铅直位移。思考题Fl123ABCl/2l/2图示结构中，AB为水平放置的刚性§2－5

拉伸和压缩时材料的力学性质（能）一、拉伸时材料的力学性质塑性材料脆性材料材料受外力作用后,在强度和变形方面表现出来的特性——材料的力学性质(机械性质)——破坏时产生显著变形的材料.——破坏时变形很小的材料.与材料的内部成分﹑组织结构有关,还受加载速度,温度,受力状态等因素的影响.§2－5拉伸和压缩时材料的一、拉伸时材料的力学性质塑性材料圆截面试件矩形截面试件l=10dl=5dl=11.3l=5.65A——截面面积。l——标距，圆：d——试件的直径；矩形：面积A。标准试件：哑铃形ABld圆截面试件矩形截面试件l=10dl=5dl=Oεσacdbσeσpσsσbσ-ε图O△lF△lp△leABCDEFⅠⅡⅢⅣ卸载重新加载拉伸图1、低碳钢的拉伸实验Oεσacdbσeσpσsσbσ-ε图O△lF△lp（1）拉伸过程中各阶段及特性点1)、弹性阶段（I）σp——比例极限∵ε=σ/E

σe——弹性极限∴E=σ/ε=tanα

α——直线的倾角Oεσacdbσeσpσsσbσ-ε图O△lF△lp△leBCDAGⅠⅡⅢⅣ卸载重新加载拉伸图α（1）拉伸过程中各阶段及特性点1)、弹性阶段（I）σp——比①应力不增加，而变形却急剧增长。——屈服或流动。σs——屈服极限②与杆轴线成45°的暗条纹——滑移线。Oεσacdbσeσpσsσbσ-ε图O△lF△lp△leBCDAGⅠⅡⅢⅣ卸载重新加载拉伸图2)、屈服阶段（II）（流动阶段）①应力不增加，而变形却急剧增长。——屈服或流动。σs——屈3)、强化阶段（III）

σb——强度（破坏）极限。Oεσacdbσeσpσsσbσ-ε图O△lF△lp△leBCDAGⅠⅡⅢⅣ卸载重新加载拉伸图3)、强化阶段（III）σb——强度（破坏）极4)、破坏阶段（IV）“颈缩”Oεσacdbσeσpσsσbσ-ε图O△lF△lp△leBCDAGⅠⅡⅢⅣ卸载重新加载拉伸图4)、破坏阶段（IV）“颈缩”Oεσacdbσeσpσ（2）材料的塑性指标工程上δ≥5%——塑性材料

δ＜5%——脆性材料l——l1，截面A——A1Oεσacdbσeσpσsσbσ-ε图O△lF△lp△leBCDAGⅠⅡⅢⅣ卸载重新加载拉伸图延伸率（伸长率）δ=l1-l×100%l截面收缩率ψ=A-A1A×100%（2）材料的塑性指标工程上δ≥5%——塑性材料δ（3）应变硬化现象1)、强化后材料的比例极限σp提高；2)、强化后材料被拉断后的塑性变形减小了——冷作硬化。O△lF△lp△leBCDAGⅠⅡⅢⅣ卸载重新加载拉伸图Oεσacdbσeσpσsσbσ-ε图（3）应变硬化现象1)、强化后材料的2)、强化后材料被O△lOεσ50015001000σ0.235CrMnSi钢45#钢Q235钢合金铝黄铜0.2%2、其它塑性材料拉伸时的力学性质①有各自的σp和σb，断裂后有较大的塑性变形，同属于塑性材料；②没有明显的屈服阶段。以产生0.2%的塑性应变时的应力作为屈服极限——条件屈服极限（规定非比例伸长应力）σ

0.2。Oεσ50015001000σ0.235CrMnSi钢43、铸铁的拉伸实验①σ—ε是一条微弯的曲线。近似服从胡克定律。②没有屈服极限σs；③可得到强度极限σb，但没有“颈缩”现象

；④拉断后的残余变形很小，故为脆性材料。σbOεσ⑤断口与轴线垂直——拉应力引起。3、铸铁的拉伸实验①σ—ε是一条微弯的曲线。近似服从胡克定二、压缩时材料的力学性质圆（棱）柱体：l=（1.0~3.0）d1、低碳钢的压缩实验E、σp、σs均与拉伸时取相同的值。得不到强度极限。Oεσ压缩拉伸σpσsOεσ压缩拉伸σpσsF二、压缩时材料的力学性质圆（棱）柱体：l=（1.02、铸铁的压缩实验①σ—ε无线性关系。近似服从虎克定律。②没有屈服阶段，σs不存在。③有强度极限σbc，比拉伸的σbt大4~5倍。④破坏时，断口与轴线成50°~55°。发生错动。εOσ压缩σbcσbt拉伸2、铸铁的压缩实验①σ—ε无线性关系。近似服从虎克定律。②3、混凝土的压缩实验加减摩剂(无摩擦）不加减摩剂（有摩擦）截顶角锥体3、混凝土的压缩实验加减摩剂(无摩擦）不加减摩剂（有摩擦）截有摩擦时，OA段荷载较小时，σ∝ε。增大荷载，σ—ε为一曲线，可得到σb。OεσσbAC有摩擦时，OA段荷载较小时，σ∝ε。增大荷载，σ—ε为一4、木材③顺纹方向的压缩强度比横纹方向的大10倍左右；④同载同截面条件下，顺纹方向压缩时的变形比横纹方向小得多。——各向异性Oεσ顺纹拉伸横纹压缩顺纹压缩①顺纹方向的拉伸强度很高，横纹方向拉伸强度很低；②顺纹方向的压缩强度略低于顺纹方向拉伸强度；4、木材③顺纹方向的压缩强度比横纹方向的大10倍左右；④同三、塑性材料和脆性材料的比较1、强度方面：塑性材料拉伸强度

比脆性材料大；脆性材料压缩强度比拉伸强度要大。2、对应力集中的反映不同：应力集中时对塑性材料影响不大，对脆性材料影响较大。3、抵抗冲击的能力不同：塑性材料变形大吸收的能量多，抗冲击能力好。脆性材料变形小吸收的能量少，抗冲击能力不好。三、塑性材料和脆性材料的比较1、强度方面：塑性材料拉伸强度§2－7

几种新材料的力学性质简介一、复合材料

由两种或两种以上的材料复合成一种新的材料。

长、短纤维复合材料，颗粒复合材料等。

玻璃纤维复合材料、碳纤维复合材料、钢纤维复合材料等。§2－7几种新材料的力学性质简介一、复合材料由两种或两单层玻璃钢的拉伸实验

拉断前，应力、应变基本上是线弹性关系。Oεσ沿纤维方向弹性模量:E=Ef+Em（1–Vf）。Ef——纤维材料的弹性模量模；Em——基体材料的弹性模量模；Vf——纤维材料的体积与总体积之比;具有各向异性性质横向弹性模量:单层玻璃钢的拉伸实验

拉断前，应力、应变基本上是线弹性关系。Oεσ松弛蠕变t1t1t2t2线性粘弹性非线性粘弹性t2＞t1二、粘弹性材料σ=f（ε，t）——非线性粘弹性σ=ε

f（t）——线性粘弹性应力不变时，应变随时间的增加而增加——

蠕变

应变不变时，应力随时间的增加而减少——

松弛Oεσ松弛蠕变t1t1t2t2线性粘弹性非线性粘弹性t2§2-8拉伸和压缩杆件的强度计算一、容许应力和安全因数脆性材料——材料发生断裂即为破坏。塑性材料——材料发生屈服即认为不能再继续承载（破坏)。极限应力——材料破坏时的应力σu

。σu=σs（塑性材料）σb（脆性材料）§2-8拉伸和压缩杆件的强度计算一、容许应力和安全因数脆σu=σs（塑性材料）σb（脆性材料）n——安全因数（＞1）[σ]---容许应力n=1.20~2.0n=2.0~5.0选取安全因素需考虑的主观与客观的不利因素:强度储备荷载估计不足;简化与实际不完全相符;材料之间的差异;其他因素:构件尺寸制造的误差,加工损伤,材料的老化,腐蚀等.塑性材料：脆性材料：σu=σs（塑性材料）σb（脆性材料）n——安全因数（1、强度校核：2、设计截面：3、求容许荷载：二、强度条件和强度计算

危险截面：轴力最大截面(等直杆).强度条件：使危险点处的应力满足一定的条件。三个方面计算：等截面拉压直杆的强度条件:

危险点：危险截面上应力最大的点.1、强度校核：2、设计截面：3、求容许荷载：二、强度条件和强例9:图示两根钢索吊起一扇平板闸门,已知:闸门的启门力为60kN,钢索的容许应力［σ］=170MPa。试求钢索的直径d。FNFN解:FN=30kN由(2-7)式d≥15.0mmA=FN[σ]=30×103170×106≥πd24例9:图示两根钢索吊起一扇平板闸门,已知:闸门的启门力为6例10:一墙体的剖面如图所示。已知墙体材料的容许压应力［σc］墙=1.2MPa，重度ρg=16kN/m3；地基的容许压应力［σc］地=0.5MPa。试求墙上段每米长度上的容许荷载q及下段墙的厚度。0.38mq2m2m解:取1m长的墙体进行计算。对于上段墙：墙例10:一墙体的剖面如图所示。已知墙体材料的容许压应力［σ得容许荷载为又由[σ]墙>[σ]地，所以下段墙的横截面宽度必须增大。

=0.38×1×(1.2×106-16×103×2）/1=443.8kN/m由墙墙地得容许荷载为又由[σ]墙>[σ]地，所以下段墙的横截面代入已知数据后,得到容许荷载为因为取1m长的墙计算,所以下段墙的宽度为0.97m。=0.97m2443.8×103+16×103×0.38×1×20.5×106-16×103×2=

A2≥(q+ρgA1l1)(［σ］地-ρgl2

)代入已知数据后,得到容许荷载为因为取1m长的墙计算,所以例11：如图所示的结构由两根杆组成。AC杆的截面面积为450mm2，BC杆的截面面积为250mm2。设两杆材料相同，容许拉应力均为[σ]=100MPa，试求容许荷载[F]。解:

①

确定各杆的轴力和F的关系。∑Fx=0，FNBCsin45°-FNACsin30°=0∑Fy=0，FNBCcos45°+FNACcos30°-F=0C45°30°FAB由C点的平衡条件联立求解得：FNAC=0.732F，FNBC=0.517FFNACFNBCFC例11：如图所示的结构由两根杆组成。AC杆的截面面积为450

②求容许荷载由强度条件FNAC=0.732F≤AAC[σ]=450×10-6×100×106故F≤61.48kNFNBC=0.517F≤ABC[σ]=250×10-6×100×106故F≤48.36kN

在所得的两个F值中，应取最小者。故结构的容许荷载为[F]=48.36kN②求容许荷载由强度条件FNAC=0.73一、超静定问题的解法静定问题：约束力或构件的内力都能通过静力学平衡方程求解。超静定问题：约束力或构件的内力仅由静力学平衡方程不能求解。§2-9

拉伸和压缩超静定问题一、超静定问题的解法静定问题：约束力或构件的内力都能通超静

未知力的个数超过独立平衡方程的个数，称为超静定次数超静定次数＝多余未知力的数目相对于静力学平衡条件有多余约束；与多余约束相对应的约束力或构件的内力为多余约束力，也称为多余未知力＝未知力个数－独立平衡方程的个数。未知力的个数超过独立平衡方程的个数，超静定次数＝由变形协调的几何关系和力与变形之间的物理关系，得到补充方程；超静定问题的解法:与静力学平衡方程求解超静定问题。由变形协调的几何关系和力与变形之间的物例12:两端固定等直杆AB,在C处受轴向力F作用，已知拉压刚度EA。求杆的支反力。解：1.超静定次数2.变形协调的几何关系：C→C'3.物理关系可得补充方程：4.由平衡方程FA+FB-F=0CFABFBC'——几何法FACFABabl例12:两端固定等直杆AB,在C处受轴向力F作用，已知拉压解法2：1.解除多余约束，用多余约力FB代替——基本系2.变形协调的几何关系：3.物理关系可得补充方程：4.由平衡方程FA+FB-F=0CFABFB——力法CFABabl解法2：1.解除多余约束，用多余约力FB代替——基本系2.例13:三杆组成的桁架，受集中力F作用，已知：1、2两杆：l1=l2=l,A1=A2=A,E1=E2=E；3杆：E3,A3l3=lcosα。求各杆的轴力。132BCDAFlcosa例13:三杆组成的桁架，受集中力F作用，已知：1、2两解：几何法：确定平衡位置1.变形协调的几何关系：找各杆变形之间关系2.物理关系可得补充方程：A2A1Δl1Δl3132BCDAFlcosaA'解：几何法：确定平衡位置1.变形协调的几何关系：找各杆变形在超静定问题中，各杆的内力与该杆本身的刚度和其他杆的刚度比有关；刚度越大内力越大。FN1cosa+FN2cosa+FN3-F=03.平衡方程FN1-FN2=0FN3FN1FFN2A在超静定问题中，各杆的内力与该杆本身的刚度和其他杆的刚度比有例14:图示结构，已知：F=300kN,A1=5×10