生物数学模型生物系统论生物种群模型

2022/11/22生物种群模型2022/11/22简介种群(Population)：是指在特定时间里占据一定空间的同一物种的有机体集合。种群生态学：主要研究种群的时间动态及调节机理。种群分为单种群和多种群。生物种群模型西北大学数学系2022/11/222)罗杰斯特(Logistic)模型

表示该种群的最大容纳量。1单种群的数学模型：1)马尔萨斯(Malthus)模型

表示时刻的种群数量，称为内禀增长率。2022/11/224)开发了的单种群模型具有常数收获率具有时变收获率3）一般的种群模型2022/11/22

2两种群的一般模型

两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。设甲、乙两种群在时刻的数量为，则线性化，得西北大学数学系2022/11/22

表示甲（乙）种群的自然生长率；表示甲（乙）种群为非密度制约，表示甲（乙）种群为密度制约；表示甲、乙种群相互竞争；4)表示甲、乙种群相互依存；5)表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。2022/11/223三种群的一般模型三种群相互之间的作用要比两种群更复杂，但建立模型的思想和方法是相同的。在三种群中每两个种群之间的关系仍可归结为：相互竞争、相互依存、弱肉强食。三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的数学模型。这些模型用方程组表示，或用图形表示。西北大学数学系2022/11/22记三个种群分别为123并约定1）种群供食于种群表示为12122）种群为密度制约可表示为113）种群不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组成的系统）为生，114）种群与种群相互竞争：12125）种群与种群互惠共存：1212）2022/11/22如，设A，B，C三种群为捕食与被捕食关系，则三者关系有三种：两个食饵种群，一个捕食者种群。一个食饵种群，两个捕食者种群。捕食链。CBACBACBA西北大学数学系2022/11/22下面对于食饵种群增长是线性密度制约，两种群间的影响都是线性的，建立其相互作用的数学模型（Volterra模型）（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C。设A，B，Ct时刻的密度分别为假设：C种群主要以A，B种群为食饵，A，B不存在时，C要逐渐绝灭，C不是密度制约的；A，B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互竞争。图示如下：2022/11/22CBA（）西北大学数学系2022/11/22（2）一个食饵种群A，两个捕食者种群B，C。ACB（）2022/11/22ACB）西北大学数学系2022/11/22ACB）））（3）捕食链：A是B的食饵，B是C的食饵。2022/11/22ACB）））说明下列微分方程组的生态意义2022/11/22ACB）））2022/11/22ACB）））2022/11/22种群模型的求解方法：微分方程定性与稳定性理论数值方法2022/11/22平面自治系统微分方程定性与稳定性理论2022/11/22

假定方程组(1)的右端函数，在平面区域满足解的存在唯一的条件，则过相平面中任一点有唯一的轨线。相平面：所在的平面。轨线：2022/11/22平衡点（Equilibrium）：使得的点为组(1)的平衡点，否则称为常点。即平衡点满足记为2022/11/22称平衡点是稳定的（stable）；否则是不稳定（unstable）的。稳定与不稳定：如果存在某个邻域，使系统（1）的解从这个邻域内的某一初值出发，满足2022/11/22其中是常数。平面线性微分方程组的平衡点分类系统（2）有唯一的平衡点（0，0）。记系数矩阵2022/11/22记组(2)的系数矩阵构成的特征方程为：其中唯一的平衡点（0，0）的稳定性由特征根确定。方程组（2）解的一般形式为2022/11/22方程组（2）解的一般形式为2022/11/22平衡点类型稳定性稳定结点(node)stable不稳定结点unstable鞍点(saddle)unstable稳定退化结点stable不稳定退化结点unstable稳定焦点(focus)stable不稳定焦点unstable中心(center)unstable2022/11/22pq鞍点区稳定结点区不稳定结点区稳定焦点区不稳定焦点区奇点的性态与的关系2022/11/22简单非线性微分方程的奇点2022/11/22称下列方程组为组(1)的一次（线性）近似方程组：2022/11/22结论1

如果则(4)的一次近似方程组的奇点在五种一般情形与组（4）的奇点的性态相同。2022/11/22结论2

设系统O(0,0)为其对应线性系统的中心点，若在O的邻域内存在此系统的一个连续的首次积分，则O必为中心。在O(0,0)点的邻域内解析。2022/11/22

捕食与被捕食模型问题的提出20世纪20年代，意大利生物学家U.D’Ancona在研究鱼类变化规律时，无意中发现了第一次世界大战期间，意大利Finme港收购站的软骨掠肉鱼（鲨鱼等以其他鱼为食的鱼）在鱼类收购量中的所占比例的资料：191419151916191719181919192019211922192311.99%21.4%22.1%21.2%36.4%27.3%16.0%15.0%14.8%10.7%1914,7----1918,112022/11/22战争期间鲨鱼比例明显增加！

显然，捕获的各种鱼的比例基本上代表了地中海渔场中各种鱼的比例。战争中捕获量大幅下降，应该使渔场中食用鱼和以此为生的鲨鱼数量同时增加。然而，捕获量的下降为什么会使鲨鱼的比例增加？发现D’Ancona的迷惑：2022/11/22请教著名的意大利数学家Volterra。

将鱼分为两类，一类为捕食(predator)种群，另一类为被捕食(prey)种群。设

t

时刻两种群的数量（或密度）为y(t)，x(t)。在无捕捞和忽略了密度制约的情形下，有：2022/11/22平衡点为一次近似系统2022/11/22一次近似系统系统的鞍点。一次近似系统系统的？。的鞍点。的中心。2022/11/22定理：设系统O(0,0)为其对应线性系统的中心点，若在O的邻域内存在此系统的一个连续的首次积分，则O必为中心。在O(0,0)点的邻域内解析。2022/11/22为了研究平衡点M，作平移变换首次积分2022/11/22由定理，得平衡点M的外围邻近被一闭轨线族所环绕。说明：在M附近，食饵种群与捕食种群的个体总量呈周期性变化。OxyM尽管沿不同的闭轨线的周期可能不同，但两种群个体数量在一个周期内的平均值却分别保持为常数。2022/11/22两种群个体数量在一个周期内的平均值却分别保持为常数：两种群个体数量在一个周期内的平均值恰好是平衡点的坐标。事实上，而2022/11/22同理，可证2022/11/22现考虑捕捞的影响平衡点的坐标为解释：捕捞能力减少，食饵种群数量减少，而捕食种群数量增加。2022/11/22应用农药的使用策略。害虫—食饵，害虫的天敌—捕食者。因此，应该适量地使用农药，更应发展以虫治虫的策略。平衡点的坐标为根据Volterra

原理：杀虫能力过量，害虫种群数量增加，而天敌种群数量减少，对天敌更为不利。2022/11/22

天然草原的生息繁衍，已形成自身特有的生物链，且对人类生存起着重要作用。长期以来，人为破坏（如过度放牧、猎杀动物及采挖草药等）使草原生态每况愈下，日渐衰竭。据2000年8月6日《北京晚报》载：“……受利益驱使，有些人不顾国家法律和当地政府禁令，在呼伦贝尔草原大肆采挖中草药，致使草原严重受损。据此，有关专家推断，10年之内，该草原将变成荒漠。”草原命运思考2022/11/22为了天然草原生息繁衍和可持续发展，完成以下工作：（1）建立草原自然生长规律模型，描述人为破坏对草原生长的影响过程;（2）论证或驳斥报载消息中专家的推断，如果立即停止对草原的一切破坏，10年后的情形如何？（3）寻找导致草原消失的临界条件，给出草原生长的挽救方案，并对挽救效果进行预测。2022/11/222007年6月