指数函数与对数函数的关系教案

3.2.3指数函数与对数函数的关系自主学习□学习目标.理解反函数的定义..知道指数函数)=〃为与对数函数y=logflx互为反函数(〃>0,.通过描点法作出指数函数、对数函数的图象，掌握它们的性质.自学导引.反函数(1)互为反函数的概念当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的，而把这个函数的自变量作为新的函数的.称这两个函数互为反函数.TOC\o"1-5"\h\z一(2)反函数的记法：函数y=f(x)的反函数通常用表示..指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y=ax与对数函数y=logx.(2)指数函数y=ax与对数函数y=lo£x的图象关于对称.a对点讲练知识点一求函数的反函数问题例1求下列函数的反函数.⑴y=4x；kv(2)y=log2x,x£(1,8)；(3)y=x2+1,x£(0,+8).规律方法求函数y=f(x)的反函数的步骤为：(1)由y=fx)解出x=f-1(y)；(2)由函数y=f(x)求y的范围；⑶x、y互换得y=f-1(x)，注明定义域，即函数y=f(x)的值域.变式迁移1求下列函数的反函数．⑴y=log2x；(2)y=(3)x；(3)y=5x+1.知识点二互为反函数的图象间的关系例2设方程2x+x-3=0的根为〃，方程log2x+x-3=0的根为b，求a+b的值.规律方法根据指数函数与对数函数的图象的关系，利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程的问题．变式迁移2本例中若将题干中的两个方程分别改为x+lgx=3和x+10%=3,结果怎样？知识点三指数函数与对数函数图象及性质的综合应用例3设〃，R。均为正数，且例3设〃，R。均为正数，且2a=log；〃,D.b<a<c贝U()a<b<cc<b<a规律方法比较数的大小问题，方法灵活，就本题而言，把方程的解看作两函数图象交点的横坐标，从而利用数形结合比较简单，若几个数在不同的范围内，亦可通过求这些数的范围来比较大小.变式迁移3三个数60.7,0.76,log0.76的大小关系为()0.76<log076V60.70.76<60.7<log076log076<60.7<0.76log076<0.76<60.7■课堂小结学习本节内容要发现指数函数与对数函数的对立统一关系，能正确比较指数函数和对数函数的性质，能以它们为例对反函数进行解释和直观理解，掌握互为反函数的两个函数图象关于y=x对称.在解题中反函数的某个函数值，常转化为求原函数的x值，注意转化思想和数形结合、分类讨论思想的应用.求反函数的一般步骤：(1)将y=fx)看作方程，解出x=f-i(y)；(2)将x、y对称，得y=f」(x)；(3)写出反函数的定义域(即原函数的值域).课时作业一、选择题.函数fx)=3x(0<xW2)的反函数的定义域为()A.(0,+8)B.(1,9]C.(0,1)D.[9,+8).下列函数中，反函数是其自身的函数为()fx)=x2,x£[0,+8)f(X)=X3,XE(—oo,+8)f(x)=ex,%E(—oo,+8)f,=l,x£(0,+8).若函数y=f(x)的反函数图象过点(1,5),则函数y=f(x)的图象必过点()A.(1,1)B.(1,5)C.(5,1)D.(5,5).已知f(x)=ax(a>0,且a#1),g(x)=logax(a>0,且aW1),若f(3)g(3)<0,则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图象可能是().设函数f(x)=logx(a>0且a#1)满足f(27)=3,则户(1吗2)的值是()aA.log4B.gC.0D.2二、填空题.函数y1=log3x与函数y2=3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是y1与y2,则ijy1y2(填,，"=”或＜).函数y=3+log1x(x三1)的反函数的定义域为..已知函数f(x)=(2)x的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称，令h(x)=g(1-|xl),则关于h(x)有下列命题：①h(x)的图象关于原点对称；②h(x)为偶函数；③h(x)的最小值为0.其中正确命题的序号为.(将你认为正确的命题的序号都填上)三、解答题.已知y=1x+a与函数y=3—bx互为反函数，求a,b的值.【探究驿站】.已知f(x)=lg(ax—bx)(a>1>b>0).(1)求y=f(x)的定义域；⑵在函数图象上是否存在不同的两点，使过两点的直线平行于x轴．3.2.3指数函数与对数函数的关系答案自学导引.(1)自变量因变量(2)y=f—1(x)2.(1)互为反函数(2)y=x对点讲练例1解(1)由y=4x,得x=log；y，且y>0,：f-1(x)=log1x,x《0,+8).(2)由y=log2x，得x=2y，又x41,8),,-.0<y<3,i(x)=2x,xe(0,3).(3)由y=x2+1,x>0，得x=・、Jy-1,又xe(0,+8),.•.y>1,"f-1(x尸、，x-1,xe(1,+8).变式迁移1解(1)由y=log2x,得yeR,x=2y,:f-1(x)=2x,xeR.(^2)由y=(3)x，得x=10g3y且y>0.:f-1(x)=10g3x(x>0).y-1⑶由y=5x+1,得x=亍且yeR,x-1:f-1(x)=5,xeR.例2解将方程整理得2x=-x+3,1og2x=-x+3.如图可知，a是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3交点A的横坐标，b是对数函数y=1og2x的图象与直线y=-x+3交点B的横坐标.由于函数y=2x与y=1og2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y=x对称，由题意可得出A、B两点也关于直线y=x对称，于是A、B两点的坐标为A(a,b),B(b,a).而A、B都在直线y=-x+3上，：.b=-a+3（A点坐标代入），或〃=-0+3（6点坐标代入）,故〃+〃=3.变式迁移2解将两方程化为：lgx=3-x与10x=3-x,在同一坐标系中分别作出函数lgx,y=10%,y=3-x的图象，结合例题解法易知4+0=3.例3A[方法一由函数y=2x,y=（|>,y=log2x,y=logix的图象知：0<a<b<l<c,故选A.方法二'：a>0,.'.2a>l，.=log?1〉],111：.0<log^b<l,：.^<b<l.「1又,.,（2）c>0,/.log2c>0,：.c>l,.*.0<a<^</?<l<c.]变式迁移3D[log076<0,0<0.76<1,6o.7>1,.•.选D.]课时作业B加）的值域即为其反函数定义域.]DC［互为反函数图象关于y=x对称，（1,5）点关于直线y=x对称点为(5,1)，，选C.]C[vf(3)=a3>0,由f(3>g(3)<0，得g(3)<0,.•.0<a<1,.•式x)与g(x)均为单调递减函数，选C.]C[由八27)=3，得a=3,•-1(log92)=310g92=310g3AZ2=选C.]<(—8,3]解析求函数y=3+log1x(x三1)的反函数的定义域，即求原函数的值域.二x三1,：.log；xW0.：.3+log2x《3.②③解析根据题意，得g(x)=log1x,：h(x)=g(1-|x|)=log；(1-|x|)(1<x<1).：h(x)是偶函数，h(x)不关于原点对称.:①不正确；②正确.vh(x)=10g2(1-|x|)三10g21=0.:③正确.解vy=2x+a的反函数为y=2x-2a应与函数y=3-bx为同一函数，：.-2a=3,且2=-b,：.a=-2,b=-2.解(1)由ax-bx>0，得(b))x>1=(a)0.a<vb>1，二x>0..•.函数的定义域为(0,+8).(2)先证明f(x)是增函数.对于任意x1>x2>0,va>1>b>0,•ax1>ax2,bx1<bx2.ax1-