中考导练讲义第16讲等腰、等边及直角三角形

第【节识单知点：腰等三形（1）质

等腰、等边及角三角形关点与应例

等腰

∠①等边对等角：两腰相等，底角相等，即A＝＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高

如：（1三角形垂线角分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个余均成立如左图，已知AD⊥为的中点，则三角形的形状是等腰三角形

互相重合③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是称.（）定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；等角对等边：即若∠＝∠C，则是等腰三角形

三角形.失点示当等腰三角的腰和底不明确时分类讨论如若等腰三角ABC一个内角为30，则另外两个角的度数为30°、°或75°、75（1）质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°即AB＝AC，∠＝∠B∠C60°；②对称性等三角形是轴对称形条高线(角等边平线或中线)所在的直线是对称轴三角形（）定定义：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；任一内角为°的等腰三角形是等边三角.即若AB＝∠B°，则ABC是边三角形知点：角分和直分

等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.等边三角形有一个特殊的角60°所以当等边三角形出现高时结合直角三角形30°角的性质，即例eq\o\ac(△,：)中B=60°AB=AC，则△ABC的周长为（1）质角平分线上的点到角的两的距离相等．即若

例：角平分线

∠1＝，PA⊥，⊥OB，则＝（2）定：的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平

如图，垂直

分线上．（1）质线段的垂直平分上的点到这条线段的两端点距

△中，∠C=90°∠A=30°AB的垂直平分线交AC于D交平分线图

离相等．即若OP垂直且平分AB，则＝（2）定到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂

AB于，CD=2，则AC=6.形

直平分线上．

知点：角角的定性直角三角形的性质

(1)两锐角互余.即AB90°；1(2)角所对的直角边等于斜边的一即若∠＝°AC＝AB21(3)斜边上的中线长等于斜边长的半．即若CD是线，则CD＝2

（1）积S=1/2ch=1/2ab(中为直角边，为斜边，是斜边上的高，可以利用这一公式借助面积这个22222(4)勾定：直角边、的平方和等于斜边

c的平

中间量解决与高相关的求长度问方．即a＋b＝.

题.有个角是直角的三角形是直角三角即∠＝°

（2）已知两边，利勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨直角三角

△ABC是eq\o\ac(△,Rt)；如三角形一条边的中线等于这条边的一半这三角

论.（3）在折叠问题中求长度，往形的判定

形是直角三角形．即若＝BD＝，则△是eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)勾定的定理若a＋b＝，ABC是eq\o\ac(△,Rt)

往需要结合勾股定理来列方程解决.【章节典解析】【例题2017宁德）如图，在ABC中AB=AC，DE分别在边BC则下列结论错误的是（）

和AC上，，A．∠∠ACB∠B∠ADE=AEDC．∠∠D．∠AED=2∠ECD【考点】：等腰三角形的性质．【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、正确，选项错误，即可得出答案．【解答】解：∵∠是△ACD的外角，∴∠∠ACB∠CAD，选项A正确；∵，∴∠ADE=∠，选项B确；∵，∴∠∠，∵∠∠ADE+CDE=∠B∠，∠AED=∠+∠，∴∠CDE+∠C+∠CDE=∠+∠，∴∠CDE=∠BAD选项正确；∵∠AED=∠+∠CDE，∠ECD≠∠CDE，∴选项D错误；故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．【例题2017山聊城图是由8全等的矩形组成的大正方形，线段AB端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接、，那么使△ABP等腰直角三角形的点个数是（）A．2个．3C．4D．5个【考点】：等腰直角三角形．【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点个数是3，故选B．【例题2017浙江义乌）如图，，点MN在边OA，OM=x，ON=x，点P是边．OB上的点，若使点M，N构成等腰三角形的点恰好有三个，则的值是＜x＜4

或

﹣4或4【考点】：等腰三角形的判定．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的，如图1，当M与O重时，即x=0时，点好有三个；如图2，构建腰长4的等腰直角△OMC，和半径4的⊙M，现M在点D的置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以、为心，以MN为半径画弧，与的交点就是满足条件的点P再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无x何值，MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重时，即x=0时，点好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙与OB相切时，设切点为⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠，∴△MCO

是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4

，当M与重合时，即x=OMDM=4

﹣4，同理可知：点P恰好有三个；③如图3取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠为顶角，为腰，符合条件的点P有一个，以圆心，以为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以为，符合条件的点P不存，还有一个是以NM为底边的符合条件的点点M沿OA运动，到M时，发现⊙M与直线OB有一个交点；11∴当4＜＜4

时，圆M在移动过程中，则会与OB除了外有两个交点，满足点P好有三个；综上所述，若使点PM，构成等腰三角形的点恰好有三个，则x的值是：或x=4

﹣4或．4故答案为：x=0或x=4

﹣44

．【例题2017尔滨）已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，与AC交于点N．如图1，证：AE=BD如图2，若在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2四对全等的直角三角形．【考点】：全等三角形的判定与性质；KW等腰直角三角形．【分析1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；【解答】解1）△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠，∴∠∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△（SAS∴AE=BD，（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB△ACB≌△（SAS由（1）可：∠AEC=BDC，∠∠∴∠DOM=90°，∵∠∠CAE=∠∴△EMC≌BCN（ASA∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌DOM（∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB△（HL）【章节典习题】

（

浙湖

）图，已知在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠C=90°，，，点PRt△的重心，则点P到所在直线的距离等于（）A．1B．

C．

D．

（2017北荆州）如图，在ABC中AB=AC，A=30°AB的垂直平分线l

交AC于点D，则∠CBD度数为（）A．．．50°D．75°

（2017东滨州）如图，点P定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠∠AOB互补，若∠MPN在绕P旋转的过程中，其两边分别OA、OB相交于MN两点，则以下结论）PM=PN恒成立OM+ON值不变）四边的面积不变）的长不变，其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1

（2017绥）在等腰ABC中，AD⊥BC交直线于点D，若AD=BC则△ABC的顶角的度数为

或或90°

．

（2017•乐山）在四边形ABCD中，∠+∠D=180°，对角线平分∠．（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠，试探究边AD、AB与对角线的数量关系并说明理由．（2）如图2，若将（1）中的条件∠B=90°”去掉1）中的结论是否立？请说明理由．（3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、与对角线AC的数量关系并说明理由．

（2017江义乌）已知△，，为直线上一点为直线AC上一点，，设∠BAD=α，∠CDE=β．（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段上．①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=

20

°，β=

10

°，②求α，之间的关系式．（2）是否存在不同于以上②中的，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可不存在，说明理由．【章节典习题】参考案

（

浙湖

）图，已知在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠C=90°，，，点PRt△的重心，则点P到所在直线的距离等于（）A．1B．

C．

D．【考点】K5：三角形的重心；KW等腰直角三角形．【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△中线，，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，∵Rt△ABC的重心，∴是△ABC的中线，CD，∵∠C=90°，∴AB=3∵AC=BC，CD是△ABC中线，∴⊥AB∴，即点PAB在直线的距离等于，故选：A．

（2017北荆州）如图，在ABC中AB=AC，A=30°AB的垂直平分线l

交AC于点D，则∠CBD度数为（）A．．．50°D．75°【考点】：等腰三角形的性质；：线段垂直平分线的性质．【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC度数，从而得出∠CBD=45°．【解答】解：∵∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB垂直平分线交于D，∴，∴∠∠ABD=30°，∴∠，∴∠CBD=180°﹣﹣=45°．故选B．

（2017东滨州）如图，点P定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠∠AOB互补，若∠MPN在绕P旋转的过程中，其两边分别OA、OB相交于MN两点，则以下结论）PM=PN恒成立OM+ON值不变）四边的面积不变）的长不变，其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1【考点】：全等三角形的判定与性质；：角平分线的性质．【分析】如图作OA于E⊥OB于F．只要证明△≌△POF，PEM≌△PFN即可一一判断．【解答】解：如图作OA于E⊥OB于F∵∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF∠AOB=180°，∵∠MPN∠AOB=180°∴∠∠MPN，∴∠EPM=，∵OP平分∠，⊥OA于E，PF⊥于，∴，在△△中，∴△△，∴OE=OF，在△△PFN中，，∴△△，∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，∴

△

PEM

，PNF∴

四边形

=SPMON

四边形

=值，故（3）确，PEOF∵OM+ON=OE+ME+OF﹣定值，故（）正确，MN的长度是变化的，故（）错误，故选B．

（2017绥）在等腰ABC中，AD⊥BC交直线于点D，若AD=BC则△ABC的顶角的度数为

或或90°

．【考点】KO：含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．【分析】分两种情况；①BC为腰，②为底，根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分在△ABC部和外部两种情况求解即可．【解答】解：①BC为腰，∵⊥于D，AD=，∴∠ACD=30°，如图1，在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣，②为底，如图，∵⊥于D，AD=，∴AD=BD=CD，∴∠∠BAD，∠C=CAD，∴∠BAD+∠CAD=×，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角数为或150°．故答案为：30°或90°．

（2017•乐山）在四边形ABCD中，∠+∠D=180°，对角线平分∠．（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠，试探究边AD、AB与对角线的数量关系并说明理由．（2）如图2，若将（1）中的条件∠B=90°”去掉1）中的结论是否立？请说明理由．（3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、与对角线AC的数量关系并说明理由．【考点】LO：四边形综合题．【分析1）结论AC=AD+，只要证明，即可解决问题；（1中结论成立以为顶点AC为一边作∠ACE=60°∠ACE的另一边交AB延长线于点，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；结论：．过点作CEAC交AB的延长线于点，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；【解答】解1）AC=AD+AB．理由如下：如图1，在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠∵∠，AC平分∠，∴∠∠BAC=60°，∵∠，∴，同理．∴+AB．（2）中的结论成立，理由如下：以为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠的另一边交延长线于点E∵∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=120°，∴∠，∴∠∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠+∠，∴∠∠，∵，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴+AB．（3）结论：．理由如下：过点C作⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠，∠DAB=90°，∴，∵∠ACE=90°，∴∠∠BCE，又∵AC分∠，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°．∴．又∵∠D+∠B=180°，∠D=∠，∴△CDA≌△CBE，∴AD=BE，∴+AB=AE．在Rt△ACE中，∠CAB=45°，∴，∴．【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常