中学数学-初高中数学衔接教材 §3.1 相似形(含答案)

3.1

相似形3.1.1．平行线分线成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题。在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比。在一张方格纸上，我们作平行线

l,l,l1

3

（如图3.1-1）直线a交l,ll1

于点

，AB

，另作直线

交

l,l,l13

于点',B'，不难发现

''2''BC

图3.1-1我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图，

l//l//l1

，有

DE=。当然，也可以得出。在运用该定理EFACDF解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，“对应线成比例。例

如图3.1-2，

l//l//l1

，且

AB=B==求解:

EF。l//l//l1

DE2EF

DE

23,EFDF225

图3.1-2例2在中，D,为ABAC上点，DE//BC，求证：

ADAC

。证）

//,ADE,,ADE

∽

，

AD.BC证明（2）如图3.1-3过

A

作直线

lBC

，-1-

图ADAEl//BC,

。过

作

//

交

于

D

，得

因

DE.EF//,

BF.ACBCAC从上例可以得出如下结论行三角形的一边的直线截其它两或边的延长线所得的对应线段成比例平于角形的一边并且和其它两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。例3已，在AC上，AD:DC2:1段的点在BD上

，能否在AB找到一点，得线解设能找到，如图3.1-4设

交

BD

于

F

，则

F

为

的中点，作

EGAC

交

BD于

。,FC，CDF，EG，EG

1EGADADBEG~BAD且,2BA2

为

的中点。可见，当

为

的中点时，

的中点在

BD

上。

图3.1-4我们在探索一些存在性问题时常先假设其存在，再解之解存在，无解或矛盾则不存在。例ABC，ADBAC的分线，求证：证明过C作CE//AD交延线于E，

=ACDC

。ADCE,

DC

AD平BACCAD由

AD

知,

,DACACE

图3.1-5ACE

AE

D=DC例4的论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比-2-练1．如图3.1-6，

l//l//l1

，下列比例式正确的是（）AC．

ADDF

==

CEB=BCBEAFADAF=BCDFCE

图3.1-6．如图3.1-7，

//EF5,=,FC=cm,

求

BF

。如在

图3.1-7中AD是BAC的分线=5cm,=4cm,求BD的。图3.1-8．如图，在中，BAC的外角平分线AD交的延长线于点D，求证：

=ACDC

。-3-．如图，在

ABC

的边、AC上别取D、两点，使BD，延长线交的延长线于F求证：

DF=EF

。3.12．相似形我们学过三角形相似的判定方法一想哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例5如图，边形的角线相交于点，

。求证：

DAC

。证明在

与

中BAOAOB

∽

ODC

，

OAOA，=。OD又与OBC中，AOD，AOD∽BOC，DAC

。

图3.1-11例图3.1-12,在

RABC中，BAC为角，于

。求证）

2，2

；（2

2CD证明（1）

在R和tBDA中，ADBCAB90

,

,BAC

∽

BDA

图

BC即ABBDBA

。

同理可证得

AC

CD

。（

）R和tADBCDA90

,BAD90

CAD

-4-tABD∽t

ADDC,BDAD

DC

。我们把这个例题的结论称射影定理该定理对直角三角形的运算很有用。例在

中，

BCDDE于EDFAC于,

求证：AFAC

。证明:ADBC于D,

为直角三角形，又

E,由射影定理，知

AD

。

图同理可得

AD

AFAC。

AF例图在

中D为的点，为AC上任意一点，BE交AD于。学在研究这一问题时，发现了如下的事实：当当当

图AE1AO2=时，有==图3.1-14a）AC32+1AEAO2=时有==图）AC342+AEAO22=时有==图）AC1+AD2在图3.1-14d中当

AEAC1+n

AO时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一AD般结论，并给出证明（其中n为整数解：依题意可以猜想：当

AE时有AC1+nAD2+n

成立。证明过D作DF/BE交于，是的点F是EC的点，-5-由

AEAC1+n

22AOAE2可知=，，。nEFnAF2AD2

。想一想，图3.1-14d中若

AO1=，=?（考答案：ADAC

本题中采用了从特殊到一般的思维方法们从一些具体的问题中发现一些规律而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定。数学的发展史就是不断探索的历史。练21.D是ABC边AB上一点，过D点作//BC交AC。已知ADDB=2，则

:

四边形CED

等于（）A

:3

B．

:9

．

:5

D．

:213:

若一个形的中位线长为一条对角把中位线分成两条线段两条线段的比是，则梯形的上、下底长分别是_________已知：

的三边长分别是，4，，与其相似的

,,

的最大边长是15求:

。．已知：如图3.1-16在四边形ABCD中、、、H分别是、BC、、DA的中点。(1).请断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由若边形是平行四边形，对角线、BD满什么条件时，EFGH是形？是方形？图-6-．如图点CD在线段AB上，PCD是边三角形当、CD、DB满足怎样的关系时，ACP∽PDB？(2).∽PDB时求APB的度数。图习3.1A组如图，中，DF，AEEG=，FG=4，则（）ADE=1，BDE=2，BC=6C．DE=3BC=5D．DE=2，图

图

图如图，BDCEABC的线P、Q别是BD、的点，则:等（）A1B：4C．1．1：6如图3.1-20中E是A延线一点DE交于，知BE=2，

BEF

4，

。-7-如图3.1-21，在矩ABCD中是CD的点，BEAC交F，过FFG//交于，求证：

AFFC

。图B组如图

中=1DCAD与相于F

F+的值为（）A

1BC2

D．图

图

图

图如图，知ABC周为1，连结三的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第个角形周长为（）A

11BCD．2002200322002

12003如图，知的AB的点交BD于E，则图中阴影部分的积面的比是（）

A

115B．D36如图，形ABCD，//BC，过梯形对角线的交点O且//AD求证：OE；求

OE12+的值；(3)求证：+=ADBCADBCEF-8-

。C组如图，中，是边上点，连结CP。①要使

ACP

∽

ABC

，还要补充的一个条件是___________。②若

∽

，且

AP:PB=2:1

，则

:PC

。图

图

图如图，E是边形的角线BD上点，且

BDC

。①求证:

BE

；②根据图形的特点，猜想

BCDE

可能等于那两条线段的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想。如图，

RtV

中ABAC，

，点D为上一点，

DF

于F，AC于，M为BC的点，试判断是么形状的三角形，并证明你的结论。-9-如图，

CDBD

垂足分别为、D，相于E，EF于F，我们可以证明

11+=CDEF

成立。若将a中的垂直改为斜交，如图，//,AD、

相交于E，EF//AB交BD于F，则：①

11+=CDEF

还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；②请找

,

BCD

和

之间的关系，并给出证明。C

D-10A''C'A''C'答：练习1．2．设

BF

DEADx51010x，即BF。BCAB3．

BD35,cmAC．作

//

交

AD

于

F

，则

D，又FD

AFCF

BDAC

。

．

作

AB

交

BC

于

，

CEG

EGAC

即ACCEDBDFEGEFAB练习2．D．12，18

。．

S

ABC

115)2

2

为

EH//

BD//

所以EFGH是平行四边形

时，为菱形；当

,AC

时，

EFGH

为正方形。）

CD

2

时∽PDB2）

APB120

o

。习题3.1A组

．

S

。．BF为角三角斜边上的高，

2

，又可证BF2B组．2.C

。

AD

EODEOFOEOEBCABDCAD-11（3由（）知C

1.ADOEEF1.(1)

或