数值积分的牛顿

数值积分的牛顿一一科茨求积［摘要］:在实际生活中我们常遇到数值积分的求积问题，虽然我们也学过求数值积分的一些方法，但是由于用插值多项式Ln(x)近似表达函数f(x)时存在截断误差，即有插值余项，因此插值型求积公式也有相应的余项。存在求函数f(x)在区间［a,b］上的定积分jbf(x)dx以及f。)在给定点上的值的数值方法，为了克a服求f(x)的原函数可能遇到的困难和便于计算，我们利用牛顿一一科茨来计算。其中还推导它的两种特殊形式一一梯形求积公式和辛普森求积公式，并对这三种求积公式(梯形公式、辛普森公式和柯茨公式)进行了分析和比较。现在要对数值积分进行求积需要运用matlab对梯形求积公式、辛普森求积公式和牛顿一柯茨公式进行编程实现，程序简洁、直观、求解速度快并且方法实用性强。［关键字］:插值积分、梯形求积公式、辛普森求积公式、牛顿一一科茨公式1、梯形求积公式梯形求积公式即使当n=1时，过a,b两点，做直线：x-ax-bL1(x)=b—af(b)+a—bf(a)用L］(x)代替f(x)，得jbf(x)dx^\bL(x)dxaa1=jbx~~f(b)+~~^f(a)dxab-aa-bb_a=峭(f(a)+f(b))……⑴用梯形面积近似替代曲面梯形的面积，所以(1)式叫做梯形求积公式。2、辛普森求积公式辛普森求积公式即是当n=2时，把区间2等分即是过a、b和四三点，做抛物线:L2(x)=(a+b)xI2J(a+b)

a-——I2J(x一b)(x一a)(x一b)f(a)+(a一b)fa+b丫^^一aI2JI(a+bL2(x)=(a+b)xI2J(a+b)

a-——I2J(x一b)(x一a)(x一b)f(a)+(a一b)fa+b丫^^一aI2JI(a+b)xI2J

fb一哗]I2J(x一a)f(b)(b一a)aa式(2)就叫做辛普森(Simpson)公式。从几何意义上来看，因为辛普森公式是用抛物线围成的曲边梯形来近似代替f(x)所围成的曲边梯形面积，所以辛普森公式也叫做抛物线求积公式。3、牛顿-科次(Newton-Cotes)公式牛顿-科次(Newton-Cotes)公式即把区间[a,b]n等分，其分点为x=a+ih(i=0,1,2,3,…,n)、h=^—^，过这n+1节点，可以构造一个n次差值多项式：L(x)=£―冬一f(x)

ni=0(x一七)W电)'其中w(x)=(x-x0)(x-气)…(x-x)，用L(x)代替被积函数f(x)则有\bf(x)dx^\bL(x)dx=\b[£坚^)f(x)dxaana"i=0(x-x,)W(x.)iJ=甲"a(x一x=甲"a(x一x)w'(x)i=0^ii=^^Af(x)……(3)iii=0其中A,』w⑴Jdx.a(x一x.)w'(x)公式(3)叫做牛顿-科次(Newton-Cotes)公式，使用牛顿-科次(Newton-Cotes)公式的关键是计算系数Ai，用变量替换x=a+th，于是w(x)=w(a+th)=hn+it(t-1)•••(t-n)而w'(x)=hn(-1)n-i(i!)(n-i)!这样TOC\o"1-5"\h\zA=\bw(x)dxia(x-x)w'(x)=jnhn+1t(t-1)..・(t-n)hdx0(-1)n-1hn(i!)(n-i)!h(t-i)引入记号：(-1)n-ifnt(t-1)…(t-n)/C(n)=Jdx(4)ini!(n-i)!0(t-i)则A=(b-a)C(n)……(5)ii这时C(n)是依赖于函数f(x)和区间[a,b]的常数，可以事先计算出来，叫做牛顿-i科茨系数。利用式(3)和式(5)得到牛顿-科次系数后，便可以写出相应的牛顿-科次公式。当n=1时，牛顿-科次公式为baT=亍[f(a)+f(b)]……(6)即之前讨论过的梯形求积公式，当n=2时，牛顿-科次公式为S=b—a[f(a)+4f((a^+b)+f(b)](7)62即辛普森公式。所以我们可以看出梯形求积公式和辛普森求积公式是牛顿-科次公式的特例。当n=4时，牛顿-科次公式为baC=-^0-[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]……(8)其中xi二a+k*h(k=0,1,2,3,4)、h=N-，式(8)也称为科次公式。4例1试分别用梯形求积公式、辛普森求积公式和科次求积公式计算定积分PI=j1州尤其中^=—。并用Matlab编写程序，求解积分要求给出实验结果。01+X2解：由梯形求积公式可得j1ydx牝保［土+上］=3021+11+0由辛普森求积公式得到j1ydxR^0［土+4*-^+土强3.1333°61+1j11+01^r—4利用科次求积公式，由n=4可得到x0=0,x1=0.2500,x2=0.5000,x3=0.7500,x4=1.0000则j1ydxR^^［7f(X0)+32f(X1)+12f(X2)+32f(x3)+7f(x4)］r3.1421090“原积分的准确值为3.1421，可见三个求积公式得到的数值解与准确值之间的误差是逐渐减少的。用Matlab编写程序如下：disp('已知y=4/(1+x.”2),')disp('用辛甫生公式、梯形公式和柯次公式分别求积分值PI二int(y,x,0,1)')%辛甫生公式f(x)在［a,b］上的积分为：(b-a)/6*(f(a)+f(b)+4*f((a+b)/2));%梯形公式f(x)在［a,b］上的积分为：(b-a)/2*(f(a)+f(b));%柯次公式f(x)在［a,b］上的积分为：(b-a)/90*［7*f(x0)+32*f(x1)+12*f(x2)+32*f(x3)+7*f(x4)］fprintf('\n方法一：辛甫生公式计算\n')b=1;a=0;x0=0;x1=0.2500;x2=0.5000;x3=0.7500;x4=1.0000;PI=(b-a)/6*(f(a)+f(b)+4*f((a+b)/2))fprintf('\n方法二：梯形公式计算\n')PI=(b-a)/2*(f(a)+f(b))fprintf('\n方法三：柯次公式计算\n')PI=(b-a)/90*[7*f(x0)+32*f(x1)+12*f(x2)+32*f(x3)+7*f(x4)]对应程序：(保存为文件名f.m文件)functiony=f(x)y=4/(1+x.”2);实验结果：方法一：辛普森公式计算PI=1333方法二：梯形公式计算PI=3方法三：柯次公式计算PI=3.1421>>三种求积公式的精度和误差分析：由例1可以看出，梯形求积公式、辛普森求积公式、科次求积公式的误差是递减的，也就是说，这三种基本求积公式的代数精度是逐渐提高的。代数精度是衡量数值积分公式近似程度的另一种方法，定义如下:定义1对于一个一般的求积公式：Jy(g~以/(')......⑼

k=0k其中A/是不依赖于函数f(x)的常数，若求积公式(9)中的f(x)为任意一个次数不高于m次的多项式xm时，等号成立。而f(x)为m+1次多项式xm+1时，公式(9)不能精确成立，则说求积公式(9)具有m次代数精度(或代数精度)。梯形求积公式具有1次代数精度，误差分析如下：若/(x)eC2[a,b],则梯形求积公式(1)有误差估计：R(f)=Jbf(x)dx-\bL(x)dx=\bf(x)dx-^-^-[f(a)+f(b)]=-：))f〃(门)TOC\o"1-5"\h\z『aa1a212a〈门<b(10)辛普森求积公式具有3次代数精确度，误差分析如下：f(x)eC4[a,b],则辛普森求积公式(2)有误差估计：『b「/b—a「「/、.Ja+b)一”、〕(b—a)5RS(f)=Jf(x)dx——^[f(a)+4f\—^pf(b)]=一f(4)但)a〈门Vb(11)柯茨求积公式Jbf(x)dx^8]jb——Wdxf(x)a.ta(x—x)W'(x))》i=0'ii/其中w(x)=(x—x)(x—x)…(x—x)，x…x为[a,b]区间上的n等分点。01n0n当f(x)eCn[a,b],f(n+1)(x)在区间[a,b]存在，对n次插值多项式P(x)逼近'(x)有表达式:nf(n+1)(&)了f(x)=P(x)+f—W(x)…a<^<b……(12)n(n+1)!若f(x)是n次插值多项式，则f(n+1)(x)三0，因此f(x)三p(x)，所以牛顿-柯茨求积公式的代数精确度至少是n。特别是当n=4时，柯茨求积公式（9）具有5次代数精确度。定理当n为偶数时，牛顿-柯茨公式的代数精确度可达到n+1。从以上定理可知，当n为偶数时，精度可达到n+1；当n为奇数时，精度可达到n。所以从这个定理可以看出，当n=2时，辛普森公式的代数精确度有三次。假设f3）（x.为等分点）的舍入误差为£,且设£=maxi£I，则牛顿=柯茨公式'110<i<n1的误差为e=I(b-a)1-1£c(n)£.|<|(b-a)I•£•I£c(n)Ii=0i=0当n<8时，C（n）>0，有XIC（n）I=1Lc（n）=1，从而有e<Ib-aI£i=0i=0此时f（x）的值足够精确，所以对计算结果的影响不大，因此牛顿-柯茨公式（4）i是数值稳定的。当n>8时，C（n）的值有正有负，则XIC（n）I随n的增大而增大，这样就会引起计i=0算结果的误差增大，所以牛顿-柯茨公式（4）是不稳定的。因此，在实际计算中很少采用n>8的牛顿-柯茨公式。4、分析结论数值积分是利用函数在一些节点上的函数值推算导数或积分近视值的方法，在实际应用中非常需要。对于数值积分，各个公式使用的效果如何，不但与公式本身有关，而且还与被积积函数的性态及对计算结果精度的要求有关。单从计算结果就可以得出这样的结论：梯形公式没有辛甫生公式的精度高；它的相对误差大一些。而相三种求积公式来说牛顿-柯茨公式的精度是最高；它的相对误差要小一些。我们可以看出低阶牛顿-柯茨公式计算简单、使用方便、计算结果的精度较高，相对误差小；又因为梯形求积公式和辛普森求积公式是牛顿-科次公式的特例；所以低阶牛顿-柯茨公式被人们广泛的利用。而高阶牛顿-柯茨公式不但计算复杂，而且稳定性又差，因此很少被人使用。那么在实际应用中，对于不同的工程函数问题我们应该慎重选择不同的求积公式，那样能够使你的计算简单、使用方便、结果准确。在这里我极力的像大家推荐低阶牛顿-柯茨公式。因为它的适用性比较强，精度高，误差小，结果准确；并且利于计算机编程。参考文献（1）数值软件的研究和开发，施吉林，胡德焜等编著，复旦大学出版社，1992（2）数值方法引论，第二版，徐萃薇，