一元二次方程根与系数的关系8

初三数学优新学案专经典解析一二方根系的系对于一元二次方程，当判别式△＝

时，其求根公式为：；若两根为，当eq\o\ac(△,)时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，

时，那么

则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛在中学数学中占有极重要的地位也是数学学习中的重点习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外常常要求同学们熟记一元二次方程

根的判别式

存在的三种情况以及应用求根公式求出方程

的两个根

进而分解因式，即

。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。一、根判别式，讨一元二方程的根。例：知关于的方程（1）根，且关于的方程（）方程（1有整数解？

有两个不相等的实数没有实数根，问取什么整数时，分析：在同时满足方程（1条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。解∵方程（）有两个不相等的实数根，∴解得；初三数学优新学案专经典解析∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1条件的的取值范围是其中，的整数值有当时，方程（1为当时，方程（1为解得：

或

，无整数根；，有整数根。所以，使方程（1）有整数根的的整数值是

。说明熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。二、判一元二次方两根的号。例：解方程，判别方程分析：对于

两根的符号。来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知可据此求出根的判别式△但△只能用于判定根的存在与否若判定根的正负则需要确定

或

的正负情况因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定

或

的正负情况。解：∵

，∴△＝

——＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为，∵＜初三数学优新学案专经典解析∴原方程有两个异号的实数根。说明：判别根的符号需要把根的判别式”和根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中

＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑

的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、已一元二次方的一个，求出另一根以及母系数的值例2：已知方程

的一个根为2，求另一个根及

的值。分析：此题通常有两种解法一是根据方程根的定义，把

代入原方程，先求出

的值再通过解方程办法求出另一个根二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及

的值。解法一把

代入原方程，得：即解得当

时，原方程均可化为：，解得：∴方程解法二设方程的另一个根为根据题意，利用韦达定理得：，

的另一个根为4，，

的值为3或。∵∴把

，∴把代入

代入，可得：，可得：初三数学优新学案专经典解析，即解得∴方程

的另一个根为4

的值为3或。说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。例已知方程

有两个实数根且两个根的平方和比两根的积大21，求

的值。分析：本题若利用转化的思想，将等量关系两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于

的方程，即可求得

的值。解：∵方程有两个实数根，∴△解这个不等式，得设方程两根为

≤0则

，∵∴∴整理得：解得：又∵

，∴说明：出

后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。四、运判别式及根系数的系解题。初三数学优新学案专经典解析例：已知、零实数根，问和

是关于的一元二次方程能否同号？若能同号，请求出相应的

的两个非的取值范围；若不能同号，请说明理由，解为关于的一元二次方程∴则有∴

有两个非零实数根，又∵、

是方程

的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：假设（1）

、

同号，则有两种可能：（2）若，则有：；即有：解这个不等式组，得∵

时方程才有实树根，∴此种情况不成立。若，

则有：即有：初三数学优新学案专经典解析解这个不等式组，得；又∵，∴当

时，两根能同号说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具知识的运用方法灵活多样是设计考察创新能力试题的良好载体在中考中与此有联系的试题出现频率很高应是同学们重点练习的内容。六、运一元二次方根的意及根与系数关系解。例：已知、

是方程

的两个实数根，求

的值。分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。设

解法一于是方程，

与

的实数根，所以相加，得：）（变形目的是构造

和）根据根与系数的关系，有：，于是，得：∴

=0解法二于、∴∴

是方程

的实数根，初三数学优新学案专经典解析说明：既要熟悉问题的常规解法也要随时想到特殊的简捷解法是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时如果方程的系数是有理数利用根与系数的关系解题可起到化难为易化繁为简的作用这类问题在解法上灵活多变式子的变形具有创造性重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。七、运一元二次方根的意及判别式解。例已知两方程

和

至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。分析当设两方程的相同根为时根据根的意义可以构成关于和二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。

的解：设两方程的相同根为，有

根据根的意义，两式相减，得当

时，，方程的判别式方程无实数解当

时，有实数解代入原方程，得所以

，于是，两方程至少有一个相同的实数根，个实数根的相乘积为初三数学优新学案专经典解析说明1）本题的易错点为忽略对

的讨论和判别式的作用