2020高考数学解答题核心素养题型《专题11 概率与统计综合问题》+答题指导(解析版)

专题11概率与统综合问【题型解读】题型特点1.概率问题的核心是概率计算．中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具．统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，它们是高考考查的核心内容．2．离散型随机变量的分布列及期望的考查是历来高考的重点，特别是与统计内容的渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.

命题趋势以统计的图为体合率的应用，考查特征数字和概率的计算，以及独立变量、相关变量间的关系判断题型一

常见概率型的计算几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主以客观题考查求的关键在于找准测度(积体或长)相互独立事件互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型恰当选择概率公式．【例1】(2018·天津)已知单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为2，采用分层抽样的方法从中抽取7人，行睡眠时间的调查．应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？若抽出的7人有4人眠不足3人眠充足，现从这7人中随机抽取人进一步的身体检．①用X表示抽取的3人中眠不足的员工人数，求随机变量X分布列与数学期望；②设A为事件“抽取的3人，有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．【答案】见解析【解析(1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比3∶2∶2.由于采用分层抽样的方从中抽取7人因此应从甲、乙、丙三个门的员工中分别抽取3人2人2人(2)①随机变量的有可能取值为0,1,2,3.CCkP(X＝)(＝0,1,2,3)C所以随机变量X的分布列为XP

0135

11235

21835

3511218412随机变量X的数学期望E(X＝0×＋1×＋2×＋3×＝.353535357②设事件B为抽取的3中，睡眠充足的员工有1人睡不足的员工有人；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人睡眠不足的员工有”，则A＝∪，B与互．由①知，(B)＝(＝2)P(C＝(＝1)6故P()P(B∪)＝(＝2)P(＝1)76所以事件A发生的概率为.7【素养解读】本题考查分层抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式，考查分问题和解决问题的能力，体现了数学运算和数据分析等核心素养．试题难度：中．【突破训练1】

(2017·天津卷)从地到乙地要过3个字路口，设各路口信号灯工作111相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.234(1)记表一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的布列和数学期望；(2)若有2辆独立地从甲地到地，求这2车共遇到1红灯的概率．【答案】见解析【解析】(1)随机变量X的所有能取值为0,1,2,3.111P(X＝0)＝234

1＝，4111P(X＝1)＝×232

1111××343

111×＝，42411111111P(X＝2)＝×＋×＋××，23423423441111P(X＝3)＝××.23424所以随机变量X的分布列为XP

014

11124

214

31241111113所以E(X＝0×＋1×＋2×＋3×＝.42442412(2)设表第一辆车遇到红灯的个数，Z表第辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y＋＝1)PY＝0，Z＋(＝1＝0)＝(＝0)(＝1)＋(＝1)(11111111＝×＋×＝.4242444811所以这2辆共到了1个红的概率为.48题型二

离散型随变量的分布、均值与方差离散型随机变量及其分布列与方差及应用是数学高考的一大热点解题的考查于档题习中应强化应用类习题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值，它是正确求随机变量分布列求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中应强解答题的规范性训练．【例2】(2018·北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型电影部数好评率

第一类1400.4

第二类500.2

第三类3000.15

第四类2000.25

第五类8000.2

第六类5100.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影总部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．从电影公司收集的电影中随机选取，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；从第四类电影和第五类电影中各随机选取部，计恰有部获得好评的概率；假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用＝1”表示第k类电得到人们喜欢＝0表示第k类电没有得到人喜(＝1,2,3,4,5,6)方差D，Dξ，的小系．【答案】见解析【解析】(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取，这部电影是获得好评的第四类电影”为事件.因为第四类电影中获得好评的电影有200×0.25，5050所以P(A＝＝＝0.025.140＋300＋200＋800＋5102000(2)设“从第四类电影和第五类影中各随机选取部，有1部获好评”为事件，则P(B)＝0.25×(1＋(1－0.25)×0.2＝0.35.(3)由题意可知，定义随机变量下：没有得到人们喜欢，ξ＝得到人们喜欢，则ξ显然服从两点分布，故D＝0.4×(1－0.4)＝0.24，Dξ＝0.16，Dξ＝0.15×(1＝0.12753Dξ＝0.25×(1－0.25)＝0.1875Dξ＝0.16，Dξ－0.1)＝0.09.综上所述，>>＝>>.【素养解读】本题考查统计中的概率计算、随机变量的方差计算，考查运算求解能力，体现了数据分析、数运算等核心素养．试题难度：中．【突破训练2

(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气(单位：℃)关．如果最高气温不低于25，需求量为500；如果最高气温位于区间20,25)，需求为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数

[10,15)2

[15,20)16

[20,25)36

[25,30)25

[30,35)7

[35,40)4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．求六月份这种酸奶一天的需求量(单位：)的分布列．设六月份一天销售这种酸奶的利润为单位：元．当六月份这种酸奶一天的进量单位：)为多少时，的数学望达到最大值？【答案】见解析【解析】(1)由题意知，所可能取值为200,300,500，由表格数据知2＋1636P(X＝200)＝＝0.2(X＝＝0.4909025＋7P(X＝500)＝＝0.490因此X的分布列为XP

2000.2

3000.4

5000.4(2)由题意知，这种酸奶一天的求量至多为500至少为200因此只需考虑200≤≤500.当300≤≤500时，若最高气温不低于25，＝6－4＝2；若最高气温位于区间20,25)，则Y＝6×300＋2(－300)－4＝1－2；若最高气温低于20，＝6×200＋2(n－200)－4＝800n，因此E(Y＝2×0.4200－2)×0.4－2)×0.2＝640－0.4.当200≤时，若最高气温不低于20，Yn－4＝2；若最高气温低于20，＝6×200＋2(n－200)－4＝800n因此E(Y＝2×(0.4＋0.4)＋(800－2)×0.2＝160＋1.2.所以当n＝300时，Y的数期达到最大值，最大值为520元．题型三

概率与统的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点．主要依托点是计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键．复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算【例3】(2017·全卷)海养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时随机抽取了个箱，测量各箱水产品的产(位：，其频率分布直方图如下．设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的产量不低于50kg”估计A的率；填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量50kg

箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方，求新养殖法箱产量的中位数的估计(精确到0.01)．(b)(cd)(a(b)(cd)(ac)(bd)附：P()k

0.0503.841

0.0106.635

0.00110.828K

n(－＝.＋＋＋＋【答案】见解析【解析记B表事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”．由题意知(＝(BC＝()P()．旧养殖法的箱产量低于50kg的率为＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62故P()估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50kg的率为＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66故P()估计值为0.66.因此，事件A的概估计值为0.62×0.66＝0.4092.(2)根据箱产量的频率分布直方得如下列联.旧养殖法新养殖法

箱产量50kg6234

箱产量≥50kg3866K

200×(62×66－34×38)＝100×100×96×104

≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的握认为箱产量与养殖方法有关．因新殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的方图面积为＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55kg的方图面积为＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5故新养殖法箱产量的中位数的估计值为0.5－0.3450＋≈52.35(kg)．0.068【素养解读】本题考查频率分布直方图、独立性检验、中位数、相互独立事件的概率，考查学生的阅读理解力、数据处理能力．主要体现了数据分析，数学运算等核心素养．【突破训练3】

(2017·北京卷为研究一种新的疗效，选100患者随机分成两组，每组各50名一组服药，另一不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和的据，并制成下图，其中“*”表示服药者，＋”表示未服药者．从服药的50名患中随机选出人，求此人指标y的小于60的率；从图中，，C，四中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)试判断这100名者中服药者指标y数的方差未服药者指标y数的方差的大小(只写出结论)．【答案】见解析【解析】(1)由题图知，在服药的名患中，指标y值小于60的15．15所以从服药的50名者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概为＝0.3.50(2)由题图知，，，，四中，指标x的值于的2人和C所以ξ的所有可能取值为0,1,2.C1CC2C1P(ξ＝0)＝＝，(ξ＝1)＝，(ξ＝2)＝＝.C6C36所以ξ的分布列为ξP

016

216121故ξ的期望E(ξ＝0×＋1×＋2×＝1.636(3)在这100名者中，服药者指标y数的方差大于未服药者指标数方差．题型四统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在择或填空题中常涉及频率分布直方图茎图及样本的数字特如平均数差等)的考查答题中也有考查．【例4】(2018·全国卷)下图某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位元的线图．为了预测该地区2018年环境基础设施投资额，建立了y与时变量t的两个线性回归模型．根据2000年至年数据(时间变量t的依次为1,2，…，17)建模①＝－30.4；根据2010年至2016年的据时变量t的值次为，…，7)立模型②＝99.分析利用这两个模型，求该地区2018年环境基础设施投资额的预测值；你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由．【答案】见解析^【解析利模型①区2018年环境基础设施投资额的预测值＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元．^利用模型②，该地区2018年环境基础设施资源额的预测值y＝99＋17.5×9＝256.5(亿)．(2)利用模型②得到的预测值更靠．理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出2000年年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年2016年数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变趋势，2010年相2009年的环境基础设施投资额有明显增加2010至2016年的数据对应的点位于一直线附近，这说明从2010年始环境础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2年2016的数据^建立的线性模型＝99t可较好地描述2010年的数据建立基础设施投资额的变化趋势此利用模型②得到的预测值更可靠．(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿，由模型①得到的预测值226.1亿的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更靠．(以上给出了2种理，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)【素养解读】本题以统计图为背景，考查线性回归方程，考查运算求解能力和数形结合思想，体现了数学运的核心素养．【突破训练4】

下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理单位：亿)的折线图．由折线图看出