2020高考数学新题型多项选择题专项训练《06 不等式》(解析版)

𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏2𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏2𝑎𝑏专题06

不等式多选题1秋山区校级期末何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现明，也称之为无字证明．现有图形如图所示为段上点，且＝＝O为的点，以AB为直径作半圆点C作的线交半圆于结OD点作OD的线足为E该图形可以完成的所有的无字证明为（）．𝑎（＞，＞）2．2b2≥2ab（＞，＞）C．𝑎𝑏

211𝑎𝑏

（＞，＞）D．

2

𝑏2

2

𝑎𝑏2

（≥0，＞）【分析】直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：根据图形，利用射影定理得CDDEOD，由于：≥CD，所以：𝑎（＞，＞2由于CD＝•CB＝，所以

𝐶

𝑎𝑏𝑎𝑏2所以由于CDDE，整理得𝑎𝑏故选：．

2𝑎𝑏11𝑎𝑏

（＞，＞/11𝜋𝜋12121214𝑦𝑥𝑦𝑥当且仅当4𝑦𝑥1𝜋𝜋𝜋12121214𝑦𝑥𝑦𝑥当且仅当4𝑦𝑥1𝜋2秋胶市期末）已＜＜，且2

，tan

是方程x

﹣

kx

+20两不等实根，则下列结论正确的是（）A．

+

tan

＝﹣k（β）＝﹣C．

＞2

D．+【分析】由题意利用韦达定理，基本不等式，得出结论．【解答】解：∵已知

＜，tan2

，tan

是方程x﹣＝的不等实根，∴

+

tan

＝＞，

•

tan

＝，∴＞𝑎𝛽，故选：．3秋南期末）下列说法中正确的有（）．不式𝑏恒成立．存在a，使得不等式成C若ab∈（，D．正数x，满+2y＝，则𝑥𝑦【分析】结合基本不等式的一正，二定三相等的条件检验各选项即可判断．【解答】解：不等式恒立的条件是≥0，≥0，不确；当a为数时，不等

1

成．故正确；由基本不等式可知C正；对于𝑥𝑦)𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥

⋅，𝑦𝑥𝑦，即𝑥，时等号，故D正确．𝑥𝑦故选：．4秋南期末）下列函数中，最小值为2的（）A．＝+2+3B＝eC．𝑦𝑖𝑛𝑥

1𝑥

，𝑥2/11sinsin111𝑏𝑎𝑏𝑎44𝑏𝑎𝑏𝑎sinsin111𝑏𝑎𝑏𝑎44𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎D．＝【分析】结合二次函数的性质可判断选项A；结合指数函数与正函数的性质及基本不等式的条件可判断B，，接利用指数函数的性质可判断D/【解答】解＝2+2x＝（+1）≥2即小值为2，合题意；由基本不等式可得，＝ex

≥2，即最小值为，合题意；由可∈（，而可得＝2𝑠𝑖𝑛

2，没有最小值，不符合题意；由指数函数的性质可知，＝故选：．

x

+2，没有最小值，不符合题意．5秋泽期末）在下列函数中，最小值是2的（）A．

1B＝

xC．𝑖𝑛

1𝑖𝑛𝑥

，2D．＝2

﹣x+3【分析】结合基本不等式的一正，二定三相等的条件分别检验选项，合二次函数的性质可求D．【解答】解A：x＜时显然不符合题意；B：于2x

＞，＝

x

+2x≥2，故最小值，符合题意；C由得sinx∈，＝x2𝑖𝑛

＞，没有最小值，不符合题意；D：＝2

﹣x+3＝x﹣）即小值2，符合题意．故选：．6秋陵县期末）下列不等式的证明过程正确的是（）A．a0，＜，则2√⋅2𝑎𝑏𝑎𝑏．若，∈，2√．若为负实，−2√−4D．负实数，

2

⋅2

【分析】结合基本不等式的应用条件：一正，二定，三相等，对各选项进行检验判断即可．【解答】截：由a＜，＜可＞，由基本不等式可得，√⋅2，故正确；𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏/114＞＞4＞＞x，∈R时，lg

，lg

有可能为0或数，不符合基本等式的条件B错；若＜，x＜，错；𝑥x＜时2＞，基不等式可得2x，正．故选：．7秋淄期末）关于x的元二次不等式x﹣+a（∈）的解集中有且仅有个数，则a的取值可以是（）A．78D．【分析】设（）x﹣，画出函数图象，利用数形结合的方法得出关于的等式组，从而求出的值．【解答】解：设（）＝2

﹣xa，其图象是开口向上，对称轴是x3的抛物线，如图所示；若关于x的元二次不等式x2﹣xa解集中有且仅有3个整数，则4{，{解得＜≤8，a∈，所以＝，，．故选：．

，8秋城期末）已知a、b、、d是实数，则下列一定正确的有（）/11111112111122211122221111112111122211122221A．

22

2

2B．C若，a＜D．ab＜，＜＜，则＞

bd【分析】结合基本不等式及不等式的性质检验各选项即可判断．【解答】解：由于（22

）﹣（b2a2+b﹣2＝（a）2，故

22

2

，故A正；中，当a＝﹣时显然不成立，错；中：＝，＝1显有，a＞，错；D中若＜＜，＜＜，﹣＞b＞，＞﹣＞，根据不等式的性质可ac＞＞，故D正．故选：．9秋照期末）若b为数，则（）A．

B当时，+bC

时，+b≥2D．a＝时，

1+𝑏

13【分析】结合基本不等式及公式的变形形式对各选项进行检验即可判断．【解答】解：对，，以𝑎，a＝时取等号，错；对B，(2，当a＝b时等号，正确；22对Cab

11

，则ab＝，𝑏2，当a＝＝时等号，正确；对，

)(112

(1+

(1+

(21，当时等号，正确．2/11𝜋2coscosx＜，0＜＜，基本𝜋2coscosx＜，0＜＜，基本不式可得，当且仅当221故选：．10秋南期末）对于给定的实数，于实数x的一元二次不等式（﹣）＞的集可能为（）A．C，1）

B，）D∞，﹣，）【分析】根据函数＝（﹣）的图象和性质，对a进讨论，解不等式即可．【解答】解：对于（﹣）＞0，当a＞时，y＝（﹣）开口向上，与x轴交点为，﹣，故不等式的解集为∈﹣，﹣（，+当a＜时，y＝（﹣）开口向下，若a＝﹣，等式解集为；若﹣＜＜，等式的解集为（，若a＜﹣，等式的解集为（，综上，都成立，故选：．秋启市校级期末）在下列函数中，最小值是2的数有（）A．

2

12B．C．2

1

2D．3

4𝑥

2【分析】利用基本不等式即可判断出结果，但一定要注意验证等号是否能够成立．【解答对于选项∵2

＞∴基本不等式可得x2

12

2当且仅当2

1

即x1或1时等号成立，故选项正确；对于选项：∵

𝜋112𝑥

，即

cos

＝时等号成立，但是

cos

取不到1，所以等号不能成立，选项B不确；对于选项C本等式可

2

2+3)2

23

2仅

23

，2+3/11𝑥𝑥4𝑥4即2

＝﹣时，等号成立，显然不可取到，故选项C不确；对于选项D：3

＞，由基本不等式可得（）3

4𝑥

24，且仅当3

4𝑥

，即x＝log2时等号成立，故选项D正．3故选：．𝑥12秋海区校级期末）不等式的集记为，下列四个命题中真命题是（）A．（，）∈，+2﹣2C（，）∈，+2≤3

B．（，）Dx+2D．（，）D，+2﹣𝑥【分析】作出不等式的示的区域，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域为线+y＝与x﹣y＝相交的上部角型区域，：区域D在y﹣区的上方，故（，），y≥﹣立；：在直线x+2＝2的右上方和区域D重的区域内，（，），y≥2，故p：（，）D，2x+2正；C由图知，区域D部分在直线+2＝的方，因此p：（，）∈，xy≤3错；3D：y﹣1的域（左下方的虚线区域）恒在区域D下，故p：（，）∈D，+2y﹣1错；4故选：．13秋芦岛月考已正数ab满+＝ab的最大值为不式x+3﹣t＜的集为M，则（）A．＝B．＝C．＝x﹣＜x＜}D．＝x﹣＜＜/112222【分析】由基本不等式ab

𝑎𝑏2

2

，可求ab的最大值，然后解二不等式求解，合选项即可断．【解答】解：∵正数a，满+＝，则ab

𝑎𝑏2

24，即的大值为t＝，而2+3x﹣＜的集为M＝（4，1故选：．14秋昆市期中）下列函数中，最小值的（）A．

2

B．𝑥

2C．

2

22

D．＝x+2ex【分析】利用基本不等式的使用法则一正二定三相即可判断出正误．【解答】解A．＜时y＜，最小值．B．𝑥

2

2，当且仅当2时等号，正确．C＝2

224

4≥22

4)(24

22，且仅当x2+4

224

时，等号成立，显然不可能取到，故选项不正确；D．＝ex

≥2

⋅2

2，当且仅当x0时等号，正确．故选：．15秋薛区校级期中）设＞，＞，且ab﹣（+）＝，么（）A．+有最小值（1）Cab有大值3+2．

B+b有大值（21）D．有小值3+2．【分析根a＞＞即得出𝑎𝑏2√𝑎从得出𝑎𝑏𝑎𝑏进而得𝑎𝑏≥2，从而得出ab有小值；样的方法可得出𝑎𝑏

𝑎𝑏2

2

，从而得出（+b2

﹣（+）≥4进而解出𝑎𝑏≥2(2，得出+的最小值√2．【解答】解：∵＞，＞，∴𝑎𝑏，＝取等号，∴𝑎𝑏𝑎𝑏)𝑎𝑏2𝑎，得，∴𝑎𝑏≥(2

2，/1121𝑥𝑏21𝑥𝑏∴有小；∵

，当a＝时取等号，∴，∴（+）﹣（+b，∴（+）﹣2≥8，√，即，∴+最小．故选：．16秋北市校级月考）下列各小题中，最大值是的是

）A．

2

B．

，

，C．

4

D．

4

，【分析】利用基本不等式的性质即可判断出结论．【解答】解A．没最大值；B．＝2

（﹣2

）

2

2

，≥0，∴，当且仅当时等号．4C＝时＝．x时，

2

2

，当且仅当x＝时等号．D．＝+2

4

≥2⋅

4

2＝，＞﹣，当且仅当0时等号．故选：．17秋莱市校级月考）若正实数a，满足ab＝，则下列选项中正确的是（

）A．有大值4

B．有小值C

有最小值4D．a+

有最小值

【分析】由ab＝，根据𝑏

2

2

逐一判断即可．【解答】解：∵＞，＞，+＝；𝑏；；4∴有大值，∴选项A正；4𝑏𝑎，√，∴的小值不，∴错误；/11111𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎＜＞111𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎＜＞)2，1111𝑏𝑎1𝑎

1𝑎+𝑏𝑏𝑎𝑏

1𝑎𝑏

，𝑎𝑏

有最小值4，∴正；a2+b≥2ab，𝑎𝑏，∴a2+b2故选：．

的最小值不是，∴D错．18秋临县期末）给出下面四个推断，其中正确的为（）A．ab∈（，𝑎𝑏B若，∈（lgyC若∈，≠0，𝑎𝑎

≥2⋅𝑙D．x，∈，

＜，2【分析】根据基本不等式的应用条件一正，二定，三相等逐个判断即可．【解答】解A正确，＞、＞，2⋅2当且仅当a＝时式取等号；𝑎𝑏𝑎𝑏不正确，∵x和y不定是正实数，故不可用基本不等式；不正确，∵＜时则𝑎不立；𝑎D正xRxy

当且仅当x与互相反数时取等号．故选：．19秋肥市校级月考）给出四个选项能推出＜的有（）𝑎𝑏A．＞＞．＞＞b＞＞Da＞＞【分析】利用不等式的性质，代入验证即可．【解答】解：＜（b）＞，𝑎𝑏𝑎𝑏，＜，﹣＜，（﹣）＞成，＞，﹣＞，（﹣）＞成．＜，﹣＞，（﹣）＜，不成立，．＞，﹣