2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点15 基本不等式及其应用(2)(解析版)

yy考点

基本不等式其应用（2【知识图】【自主身，归纳总】191苏四市一）已知正数，b足＋＝－5，则ab的最小值为________．ab【答案】36199【解析】因为正数a，b满足＋＝－5，所以ab－5，当且仅当9＝b时等号abab成立，即ab－5－6≥0，解得≥6或≤－1(舍去)，因此ab≥36，从而(ab)＝36.min114x9y2镇期末）已知正数x，满足＝1，则＋的最小值为________．xyx－1－1【答案】25114x9y4x94x4【解析因为＝1－所以＋＝＋＝＋9＝4＋＋9(x－1)＋9＝13yxx－1－1x－11x－1x－11－＋

4x－1

4114＋9(x－1)＋9(x－1)因为>0以>1理y>1以13＋x－1yxx－154x9y＋9(x－1)≥13＋2，当且仅当＝时取等号，所以＋的最小值为3x－1－125.1123（2016苏期末）已知＝，a，∈(0,1)，则＋的最小值为________．－a1－b【答案】4＋3【解析】思路分析元问题通常化为一元问题，先尝试消去一个变量．由题意得b＝

1111218a1所以0<<1即∈(消去b＋＝＋＝4a4a41－a1－b1－a4－11－a＋

24a－1

＋2.，当且仅当＋＝－2x＋9x－9ca＋bcabcbcccc2b22tct22cab2cab，当且仅当＋＝－2x＋9x－9ca＋bcabcbcccc2b22tct22cab2cab解法1若注意到4(1－a)＋(4－1)＝3记＝

12421＋则＝＋＝[(41－a4a－1a4－134224－4a24－1a)a＋)[＋4－4a4－134a－14－4a24a－1时等号成立，4－4a42所以最小值为4＋.3

]≥2＋

424－4a34a－1

＝解法2

121－a4a－1

2a＋11－a4a－1

，令2a＋1＝，2x原式＝＝

29－2x－＋9x≥9－2

2

2x·

＝2＋9x

423

.以下同解法1.bc4苏四市期）已知正数a，，满足＋c≥，则＋的最小值为________．ca＋【答案】2－

ba2babba【解析】因为正a，，c满足＋≥a，所以＋1≥，＋1≥＋，其中>0，>0，cccccccbcb1b1所以＋＝＋≥＋，(*)2＋＋12bbt1令t＝＋1(t>1)，则＝－，cc22b1t11所以(*)可化为＋＝－＋≥2＋1

t111·－＝2－，2t1当且仅当＝即t＝2时取等号，2tbc1bc1于是＋≥2－，即＋的最小值为2－.＋＋22b4ab24b4a2bab2c－22b4ab24b4a2bab2c－2accc55、(2017无锡期末知a＞0，＞0，c＞2，且＋b，则＋－＋的最小值为bab2c－2________．【答案】10＋5【解析】思路分析据目标式的特征，进行恰当的变形，利用基本不等式知识求解．a11a＋b因为a＞0，＞0，所以＋－＝＋bab2b4ab

2

1aa＋2ab＋215ab5－＝＋－＝＋≥，accc5a1当且仅当b＝5a等号成立因为c＞2等式的性质可得＋－＋＝c＋－bab2c－2bab1555＋≥c＋.2c－22－2又因为

5555c＋＝(－2)＋＋5≥10＋5，当且仅当c＝2＋2时等号成立．2c－22c－2accc5所以＋－＋的最小值为10＋5.解后反思多变量函数的最值问题，通常需要消元．本题的关键是首先通过固定变(视a，主元)，然后利用代换齐次化)，配凑等技巧对代数式进行两次变形，为利用基本不等式创造了条件，并结合不等式的性质，巧妙地求得了最小值．6州、海、启东期末已知实数a>b>0，且a＋b＝2则

a

2

3a－b＋2ab－3b

2

的最小值为________．【答案】

＋5【解析】思路分析1

注意到问题中含有两个变量a，且满a＋b＝2，因此可以考虑进行消元，将问题转化为只含有一个变量的问题来加以处理．思路分析2

注意到所求的代数式的分子与分母分别为一次式二次式为此想到将它们转化为齐次式来加以处理，即将分子利用条件＋b＝2，通过常数代换转化为二次式，进而将齐次式化为单变量的问题来加以处理．思路分析3

注意到所求的代数式的分母可以因式分解为a＋3b)(a－b)，因此，a＋3b，－u22－u22a－b分别作为两个新的变量，n，从而将问题转化为以新变量m，n的形式来加以处理．解析消元法)：因为a，所以解得1<a<2，从而

3a－ba2＋2ab－3b

2

＝3a－（2－a）2a－13a－b＝，令，则＝a2＋2a（2－a）－3（2－a）－2（a2－4a＋3）a2＋2ab－3b2－t2

2t2＝＋6t－556－（t＋）t

23＋5≥＝，当且仅当t＝5时等号成立．6－254解析化齐次式法)因为a＝2，所以

a

2

3a－b（a＋b）（3a－b）3＝＝＋＋2ab－3b22（a2＋2ab－3b2）2a2（2－）2（－ab＋2b2）3ba＝＋，令u＝2－，因为a＋b＝2，a>b>0，所以2－b>b>0，a2＋2ab－3b22aab（）2＋2·－3bba2－b23a－b32u3故0<b<1，从而u＝2－＝2－＝3－∈(－∞，则＝＋＝＋bbba2＋2ab－3b22u2－6u＋5225u＋－6u53a－b3当u∈(0，1)时，u＋－6>0，此时>；ua2＋2ab－3b22553a－b32当u<0时，u＋－6＝－－65，此时≥＋＝ua＋2ab－3b2－6－25＋5

，当且仅当u＝－5时等号成立．3a－b3＋5因此的最小值为.a2＋2ab－3b24解析换元法)：因为

a

2

3a－b3a－b＝，令＝a－b，n＝a＋3b，从而＋2ab－3b2（a－b）（a＋3b）a＝

3m＋nn－m3a－b3a－b5m＋n115，b＝，从而＝＝＝(＋)，由a＝244a2＋2ab－3b2（a－b）（a＋3b）2mn2mn15n5m得m＋n＝4(mn>0)故由(m＋n)(＋)＝6＋＋≥6＋25当且仅当n＝5m时等号成立，mnmn此时

3a－b1153＋5＝(＋)≥a2＋2ab－3b22mn4

.【问题探，变式训练题型一运用本不式解决参问题知识点：对于不等中的成问题，通常取通过数分离后，化为求值问题，例扬州末）知正实数x满足x＋4y－xy＝0，若x≥m恒成立，则实数m的取值范围为_________．【答案－∞，9]【解析≤x＋y恒成立，m≤(x＋y).min解法1(消元法)由x＋4y－xy＝0，得y＝

xx－4

，因为x，y是正实数，所以，x>4，则x

xx－4＋444＝x＋＋＋1＝(x＋＋5≥2x－4x－4x－4x－4

－4）·

4x－4

＋5＝9，当且仅当x＝6时，等号成立，即＋y的最小值是9，故m≤9.41解法“1”的代换因为x，y是正实数，由，得＋＝1，x＋y＝(x＋xy14yxy)·＋＋＋5≥2yxy最小值是9，故m≤9.

4yx·＋5＝9，当且仅当x＝6，y＝3时，等号成立，即x＋y的xy解法函数法)

令t＝x＋y＝t－x入＋4y－xy＝0x

2

－(3＋t)x＋4t＝0.Δ＝(t＋3)2－16t＝t2

x－10t＋q≥0，得t≤1≥9.又y＝>0，且x>0，则，故t>4，x－4从而t≥9.所以m≤9.解后反思对于含有多个变量式的最值如何求？解法1用了最基本的方法一消元转化为一元变量，对于一元变量的求量值的方法就很多了，这里用了基本不等式法，解2直接运用了不等式中的“1”的代换法的技巧显得很方便．一般地，在条件与结论中分别含有mx＋ny以ab及＋(m，n，a，b为正常数，，y为正参数形式的代数式时，要求相关的最值，利用两式xy相乘来构造基本不等式的形式求最值是一种基本手段解法则采用了方程的思想通过将问题转化为方程有解进而转化为方程有解来解决这种解法用来求二元函数的最值问题是非常有效的．这里的解1是虽然是通法，但往往计算相对比较复杂，而解2有一定的技巧，但求解比较方便．解法3则比较通用，没有技巧，计算也不复杂．【变式、(2017镇江期末已知不等式(m－n)＋(m－n＋λ)2≥2对任意m∈R，∈(0，＋∞)恒成立，则实数λ取值范围为________．【答案，＋∞)【解析分析由于条件“(－)

2

＋(m－ln＋λ)

2

≥2”中平方和的特征可联想到两点(m，＋λ)，(，ln)的距离公式，而点(m，＋λ，(n，ln)分别是直线＝x＋和曲线f()＝lnx动点可转化为直线y＝＋λ和曲线()＝lnx上点之间的距离大于等于2.条件“不等式(m－)

2

＋(m－ln＋λ)

2

≥2对任意m∈R∈(0∞)恒成立”可看作“直线y＝＋λ及曲线()＝lnx上点之间的距离恒大于等于2”如图当与直线＝x＋1平行的直线与曲线f()＝lnx相切时行线间的距离最短′(x)＝切点A(1,0)，x此切点到直线y＝＋λ距离为

|1＋λ|2

≥2，解得λ≥1或λ≤舍去，此时直线与曲线相交)．【变式2、(2016州、连港、迁三检已知对满足＋＋4＝2xy的任意正实数，，4→→→→→→→→→→→4→→→→→→→→→→→→→→都有x

＋2xy＋2

－ax－＋1≥0，则实数a取值范围是________．17【答案【解析路分析不等式x

＋2xy＋2

－ax－＋1≥0的构造比较特殊，可以化为关于＋y的不等式，再根据不等式及x＋y＋4＝2xy出＋y的范围即可．对于正实数x，，由x＋＋4＝2xy得x＋＋4＝2≤

x＋2

2

，解得x＋≥4，不等式x＋2xy＋2－－ay＋1≥0化为(＋y2－(＋y)＋1≥0，1令t＝＋y(t≥4)该不等式可化为t－at＋1≥0a≤＋对于任意的≥4恒成立，t112－1令u(t)＝＋(≥4)′(t)＝1－＝>0对于任意的t≥4恒成立函数(t)t2t111717＝t＋(≥4)为单调递增函数，所以u()＝(4)＝4＋＝，于是a≤.tmin4441易错警示在求函数ut)＝(≥4)的最小值时，有的考生直接用基本不等式求出(t)＝2，没有注意到t≥4的限制，从而得到错误的答案a≤2.min【关联、

在平面直角坐标系xOy，设点A(1,0)，(0,1)，(，b)，(c，)，若不等式2

≥(m－2)·OD＋(·OB)·(·OA)对任意实数a，，c，成立，则实数m最大值是________．【答案5－1【解析路分析本题首先将所给不等式中的向量用坐标代入，然后再将其转化为关于，b，，d元的不等式问题，再利用基本不等式处理最值问题．CD

≥(m－2)·OD＋(OC·)·(OD·)对任意实数，b，，d都成立等价于2

＋b＋c＋d≥m(＋bd＋)对任意a，，c，都成立，由于求m最大值，所以可只考虑>0的情形，当ac＋＋≤0时，a

＋b

＋c

＋d

≥m(＋＋bc)恒成立，当ac＋＋>0时，则需m≤

a＋b＋c＋dac＋＋bc

恒成立，的最小值，＝ac＋＋bc＋22的最小值，＝ac＋＋bc＋22下面用待定系数法求

a＋b＋c＋d2＋b＋2＋2ac＋＋bc＋bd＋a

＋xc

＋yb

＋d

＋1－yb

＋1－xc2ac＋＋bc≥

2＋2＋21－xac＋＋bc

1－ybc

，令

xy＝1－x

1－y

，其中x，y∈(0,1)得x＝

3－55－12＋b2＋c＋d，＝以≥5－1以m≤22

a＋b＋c＋dac＋＋bcmin

＝5－1，故m最大值为5题型二不等的综运用知识点多变量子的值的求的基本处理略是“元”或应用本不等，中“减元策略的常见方法：①通消元以达到少变量个数，从而用函数或方程有解条件来究问题；②过“合变元”以代的方式达到“减元，一般，关于多变的“齐式”多用此．而应基本不等式最值时要紧紧抓住和”与积”的关系进行处，为了凸现和”与积”的关系可以通换元的方法简化问的表现形式从而达更易处理的的，例2镇江期）已知，b∈Ra＋＝4，则

a

11＋1b＋1

的最大值为________．【答案

2＋54【解析分析1

将

11＋通分，变形为关(a＋b)和ab的式子将ab作为一个变a2＋1b2＋1元，用导数作为工具求最大值，或用不等式放缩求最大值，但要先求出的取值范围．思路分析2

注意到所研究的问题的条件与所求均为对称形式直接进行消元去处理会打乱它的对称性，为此，应用均值换元来进行处理．解法为一个变元)ab≤

a＋b＝4，11a2＋b2＋2（a＋b）2－2ab＋22（9）＋＝＝＝.设＝9－a2＋1b2＋1（a2＋1）（b2＋1）（a＋b）2－2ab＋a2b2＋117－2ab2b222222222ab≥5，则

2（9－ab）2t2t5＋2＝≤＝，当且仅当t17－2ab＋a2bt＋80－16t85t－16t4

2

＝80时等号成立，所以，

115＋2＋的最大值为.a2＋1b2＋14解法均值换元)因为a＋b＝4，所以，a＝2＋t＝2－t，则f(t)

11＋＝a2＋1b2＋1t

2

112（t2＋5）2u＋＝u＝t2＋5≥5g(u)＝＝＋4t＋5t2－4t＋5（t2＋5）2－16t2u2－16u

u＋

280u

－16≤

22＋5115＋2＝，当且仅当5时等号成立．所以＋的最大值为.85－164a＋1b＋14解后反思“减元”是解决不等式求最值问题的重要途径，常用的减元方法有代入消元、换元消元、二合一消元、放缩消元，本题通过变形先将条件代入，所求式子就变成了的数

2（9－ab）17－2ab＋a2b

2

而这样的分式常将低次的看成一个整体进行换元，从而达到化简的目的当然题也可以直接进行消元后利用导数的方法来求它的最大值过法比较繁琐应用均值换元的方法保持了它的对称性，从而运算比较简单，比较容易操作．【变式1扬州期）已知正实数x，y满足2＋4xy－y2

＝1，则2＋8xy－y2

的最小值为________．7【答案】3【解析路分析1

注意到所给出的条件比较复杂，且左边能进行分解因式，因此，通过双变量换元，将它转化为以新的变量为元的问题来加以处理．思路分析2

注意到条件与所研究的结论是关于x，y二次齐次式，因此，利用“常数1的代换”，将所研究的问题转化为“单变量”的问题来加以解决．思路分析3

注意到条件与所研究的结论是关于x，y的二次齐次式，因此，利用“基本不等式”进行放缩，将所研究的问题转化为条件等式的“倍式”来加以解决．62x2262x22思路分析4

令t＝12x

2

＋8xy－y2

，这样，它就与已知条件构成了两个方程，它们所构成的方程组有解，通过消元后，得到关于一个元的方程，利用方程有解来进行处理．解法1(双变量换元)因为x>0，y>0，且满足5x

2

＋4xy－y2

＝1，由此可得(5x＋y)＝1，令u＝5x－y，v＝x＋y，则u>0，v>0，uv，并且x＝

u＋v5v－u，y＝，代入12x66

2

＋8xy－y

2

u＋vu＋v5v－u·－66

v－u

2

＝

u2＋9v2＋22uv2u2·9v2＋22uv28uv28×1≥＝＝1212121273233＝，当且仅当u＝3v，uv＝1，即＝3，v＝，亦即x＝，y＝时，12x3399

2

＋8xy－y27取得最小值.3解法2(常数1的代换)因为x>0且满足5x

2

＋4xy－y2

＝1由此可得(5x－y)(x＋y)＝1，yy因为，y>0，x＋y>0，所以5x－y>0，即有0<<5，令t＝，则，所以2＋8xy－xx12x2＋8xy－y212x2＋8xy－y2y2＝＝15x2＋4xy－y2

y7＋4·7x2＋4xyx4t＋7＝1＋＝1＋＝1＋.5x＋4xy－y2y－t2＋4t＋55＋4·－x再令f(t)＝1＋

4t＋7－t2＋4t＋5

(0<t<5)．4（－t2令f′(t)＝

＋4t＋5）－（4t＋7）（＋4）2（2t－1）（t＋4）＝（－t2＋4t＋5）2（－t2＋4t＋5）2

＝0，因为10<t<5，所以t＝.2当t∈′(t)<0单调递减；当t∈，5′(t)>0单调递增，17所以当t＝时，f(t)取极小值，也是最小值f.23222222333333222222333333此时x＝2y结合5x2＋4xy－y2

＝1解得x＝

233233，y＝即当x＝＝时12x29999＋8xy－y2

7取得最小值.3解基本不等式)因x>0u>0ux2

＋vy

2

≥2uvxy.12x

2

＋8xy－y2

≥12x

2＋8xy－y2

＋(2uvxy－ux

2

－vy

2

)，即12x

2

＋8xy－y2

≥(12－u)x

2

＋(8＋2uv)xy－(v＋1)y

2

.令(12－u)x2

＋(8＋2uv)xy＋1)y

2

＝t(5x2

＋4xy2

)＝t，则12－u，8＋2uv＝4t，v714＋1＝t，解得t＝，u＝，v＝，333所以2＋8xy－y2

747＝x＋8xy－y＋y＋8xy－y

1435x2·y2＝333x

2

＋

28777xy－y2＝(5x2＋4xy－y2)＝，当且仅当x＝2y，结合5x3333

2

＋4xy－y2

23，解得x＝，9y＝

32337，即当x＝，y＝时，12x2＋8xy－y2取得最小值.9993解法利用方程组有解令t＝12x

2

＋8xy－y2

＝7x

2

＋4xy＋1，则y＝

t－7x4x

2

，代入5x

2＋4xy－y2

＝1并化简得4－(30t－46)x2＋(t－1)＝0，从而以u2(u>0)为元的二次方程81u2－(30t－46)u＋(t－1)＝0有正数解，（15t－23）2故－46>0，

－4×81（t－1）2

≥0，77233解得t≥，当t＝时，x＝，y＝，3399故等号成立，从而12x2＋8xy2

7取得最小值.3【变式2、(2017南通、州、淮安、迁、泰、徐六市二）

已知对任意的x∈R,3ax＋cos)sin2x≤3(，∈R)恒立，则当a＋b取最小值时a的值是________．4【答案】－522a＋222a＋2【解析＋b最小值，故3(sin＋cosx)＝2sin2＝λ＜0则a＋≥

3，即a＋的λ最小值是

3.设sinx＋cos＝t，其中∈[－2，2]，则sin2x＝2λ

－1.由λ＝3＝2(2

133－1)，解得t＝－，则λ＝－，此时－(a＋)≤3，所以a＋≥－2.222当a＋最小值－2时，3at＋2(－a－2)(2－1)≤3对t∈[－2，2]恒成立，即2(a＋2)2

－3at－2－1≥0对∈[－2，2]恒成立．记f(t)＝2(＋2)t－3－2a－1，∈[－2，2]．因为f()的最小值，所以只能把f()看成以t为自变量的一元二次函，所以

a＋2＞0，3a1＝－，2

解得＝－.2323a＋8b【变式、(2017京三模）已知a，，c为正实数，且＋2≤8c，＋≤，则的abcc取值范围为▲．【答案，30]ab【解析所给条件为关的三元不等式以首先利用整体思想将其转化为,的cc二元问题，再根据条件和结论的特征，利用线性规划的思想解决取值范围由题意可得：

2c3b

ya，设y，则，所求可转化为：tx.又ccy

x3xy

可化为

y3x33xx

，可行域如下图所示，当直线

t与曲线3y相切时有最小值，当直ty经过点A时有最大值.21515633633222min1515633633222miny3x，解得2

，t

.又

32

，所以'

8

9，解得，y即切点坐标4,

,所t

min

27，t的取值范围为[27，30].【变式、(2017苏锡镇调研一）若正数x，满足－y＝22，则x

＋y

－x－2

的最小值为________．【答案【解析路分析题最主要的解法是代入消元，然后用导数解决，但计算比较复杂，其余解法是猜特殊值．解法1由已知y＝15－22，所x

＋y

－(x

＋y

)＝x

＋(15x－22)

3

－[x

＋(15x－22)

2

]＝3376x

－15076x

＋22440x－11132.令f()＝33763

－15076x

＋22440x－11132，∈，＋∞′(x)＝8(633－935)(2x－3)，3所以f()在，递增，在，递减，在，＋∞递增．所以f()＝f解法2由f()＝3

－x

，得f′()＝32

－2x.令g(x)＝(x)－′(x)(－x－f(x)，000故g(x)＝(－x)(＋2x－1)0028222282221当x时，g()≥0，023159令x，则3－2≥x－；0242111令x，则3－2≥－x，即y－y≥－，0244所以x

＋y

－x

－y

19≥(15x－)－＝1.42解法3因为y

－y

11113＋y＝y(4y－4＋1)＝y(2－1)2≥0.当＝时，＝.44422所以y

－y

1≥－y①.4令u＝3

－x

，则u′x

－2x.315当x＝时，u′＝，u＝324

－x

9过点，切线为y＝

154

39159x－即＝－，842即证x

－x

≥

159x－②.42令h(x)＝3

－x

159－x＋，42h′()＝3x

155－2x－＝4

3x－3令h′()＝0得＝.23159当x＝时，h()＝0，所以x－x≥x－(x＞0)恒成立，2min42①＋②得x

＋y

－x

－y

≥

15x－922911－9－＝－＝＝1.4242222解法4由题意y＝15－22＞0，则x＞，＞0，15又x＋y

－x

－y

＝(x

－x

)＋(y

－y

)，其中y

－y

11≥－y，当且仅当＝时取等号．4233那么，当x＝时，(x)＝3－xx＝处的导数为k＝22

3x

－2xx＝

32

＝

154

.22yyy22yyyx

－x

159≥x－等价于42

3x－

2

(x＋2)≥0，此式成立．因此有(x

－x

)＋(y

－y

y15931)≥－＋x－＝1，当且仅当x＝，y＝时取等号．44222解法5x3

＋y

－x

－y

＝x

919191＋x＋3＋－x－2－－≥3x＋y－x－2－x－y＝2x4444449199191511815x－－183＋2×x－－≥6－x－y－＝－－＝＝1，当且仅当＝，y＝44244244442

时等号成立．解后反思本题考查代数推理与等价转化的数学思想方法，能力要求高，运算较繁．如何找到解决问题的突破口是关键．我们可以这样思考，从条件正数，y足15－＝22出发，可以发现x＞1，将3＋3－x－y写成x(－1)＋y(－1)，如果y＞1，那么3＋3－x－213不可能有最小值，因此估计＜y＜1，从二分法的角度思考，猜y＝，代入条件可得x＝，22此时可以猜得其最小值为1下面再用基本不等式的方法加以证明．【变式5泰州末）若正实数xy足(2－1)

2

＝(5y＋2)(－2)，x＋

1

的最大值为________．32【答案】－12【解析路分析理双元最值问题，常用消元法或整体法，也可以构建方程转化为方程有解去处理．如本题，思考方向一，可以x＋

1＝z，代入之后转化为关y方程(4z－5)22y－8(z－1)＋8＝0在(2，＋∞)上应有解，由≥0解出z的范围，并验证最大值成立；思考1方向二，消x再用均值不等式去处理；思考方向三，观察得直接通过均值不等式整体去处理；思考方向四，通过等比中项，引用一个新的参数，把x＋

1用2y来表示再整理求最值．1解法1令x＋＝z，则＝2yz－1，代入2－1)2y

2

＝(5y＋2)(－2)整理得(4z

－5)y－8(z－1)＋8＝0(*)，由题意得y－2≥0，该方程在2，＋∞)应有解，故≥0，即64(12yyyyyyyyyyy22yy4y4y2yyyyyyyyyy2yy2y22y2y2y2yyy12yyyyyyyyyyy22yy4y4y2yyyyyyyyyy2yy2y22y2y2y2yyy－1)2－32(4z

－5)≥0，化简得2z

＋4z－7≤0,故0<≤－1＋

322

.检验：当z＝

322

－1时，方程(*)可化为(17－122)y－(122－16)y＋8＝0，此时yy＝12

122－1681>0·y＝>4方程必有大于2的实根以x＋的17－12217－1222y最大值为

322

－1.解法2(2xy－1)

2

22＝(5y＋2)(－2)

212

，所以11x＋＝2y2＝≤

219－＋1＋492＋＋132＝－1，2当且仅当

9141－＋1＝＋1，即＝>2时等号成立，所以x＋的最大值为32－4322

－1.122解法3由(2xy－1)y＋2)(－2)得11即－＋2

2

＝9，112132所以9＝x－＋＋22，所以x＋≤－1.解法(2xy－1)＝(5＋2)(y－2)即

11111151x－－，x－，＋成225x5x1等比数列，设公比为q(>1)，将x，用示，y13q－1则x＋＝2y2＋1

1＋＝2

3q－1＋

2q－1

＋2

1322＋≤－1当且仅当q－1＝即q22－1＝2＋1时等号成立．解后反思处理此类双元最值问题，要有方程、减元和整体意识，要多观察题中给出式子的结构特点及条件与所求的联系，要带着方向和目标去解题，并能熟练掌握和运用不等式链：ab≤

a＋≤2

a

＋b2

2＋b(a，>0)和ab≤2

(a，∈R).【变式6、(2016南京三）若实数，y满足22

＋xy－2

＝1，则

x－2－2xy＋2y

的最大值为________．【答案】

24【解析分析在22

＋xy－2

＝1中，独立变量有两个，因为用x表示y用y示x均不方便，可引入第三个变量来表示x，y.由x

＋xy－2

11＝1，得(2x－)(＋)＝1，设x－＝t，＋＝，其中≠0.则x＝t3121111