映射与函数习题

-.z.**至慧教育学生**就读年级授课日期教研院审核【知识点回忆】1.函数的概念一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按*种对应法则f，对于集合A中的每一个〔任意性〕元素*，在集合B中都有〔存在性〕唯一〔唯一性〕的元素y和它对应，这样的对应叫做集合A到集合B的一个函数〔三性缺一不可〕函数的本质：建立在两个非空数集上的特殊对应这种"特殊对应〞有何特点：1).可以是"一对一〞2).可以是"多对一〞3).不能"一对多〞4).A中不能有剩余元素5).B中可以有剩余元素判断两个函数一样：只看定义域和对应法则2.映射的概念一般地，设A、B是两个集合，如果按*一个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素*，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，则就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A到集合B的一个映射〔mapping〕。思考：映射与函数区别与联系？函数——建立在两个非空数集上的特殊对应映射——建立在两个非空集合上的特殊对应1〕函数是特殊的映射，是数集到数集的映射．2〕映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数．3〕映射与函数都是特殊的对应思考：映射有"三性〞：①"有序性〞：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；②"存在性〞：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应；③"唯一性〞：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.3.用映射定义函数(1).函数的定义：如果A、B都是非空数集，那末A到B的映射f:A→B就叫做A→B的函数。记作：y=f(*).〔2〕定义域：原象集合A叫做函数y=f(*)的定义域。〔3〕值域：象的集合C叫做函数y=f(*)的值域。定义：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B。如果元素a和元素b对应，则我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。给定映射f：A→B。则集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一的象，而集合B中的元素在集合A中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。问题1：以下图中的〔1〕〔2〕所示的映射有什么特点？答：发现规律：〔1〕对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，我们把这样的映射称为单射。〔2〕集合B中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射。定义：一般地，设A、B是两个集合。f：A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A的不同元素，在集合B中有不同的象，且B中每一个元素都有原象，则这个映射叫做A到B上的一一映射。单射满射单射满射一一一映射注意：1〕一一映射是一种特殊的映射：A到B是映射，B到A也是映射。2〕映射和一一映射之间的充要关系，映射是一一映射的必要而不充分条件3〕一一映射：A和B中元素个数相等。例2：判断下面的对应是否为映射，是否为一一映射？1〕A={0,1,2,4,9},B={0,1,4,9,64},对应法则f：a→b=(a-1)2答：是映射，不是一一映射。〔如右图所示可以很容易可能出。〕2〕A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4},对应法则f：求平方根？答：不是映射。3〕A=Z，B=N*，对应法则f：求绝对值？答：不是映射。4〕A={11,16,20,21},B={6,2,4,0},对应法则f：求被7除的余数答：是映射，且是一一映射。例3：集合Ａ＝Ｒ，Ｂ＝｛(*,y)|*,y∈Ｒ｝，f是从Ａ到Ｂ的映射f:*→(*+1,*2).〔１〕求在B中的对应元素〔２〕(2,1)在Ａ中的对应元素解:〔1〕将*=代入对应关系，可得其在Ｂ中的对应元素为〔+1，2〕〔2〕由题意得：*+1=2*2=1∴*=1即〔2,1〕在A中的对应元素为1例4：设集合A={a、b},B={c、d、e}〔1〕可建立从A到B的映射个数.〔2〕可建立从B到A的映射个数.答：9,8〔可以试着画图看看〕小结：如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有nm个。【映射例题精解】例1在以下对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，对应关系是f(*)=2*+1,*属于A设A={1,4,9},B+{-1,1,-2,2,-3,3}对应关系是‘A中的元素开平方’设A=R，B=R,对应关系是f(*)=*的3次方，*属于A设A=R,B=R,对应关系是f(*)=2*的2次方+1，*属于A解析：1、是一一映射，且是函数2、不是映射〔象是有且唯一〕3、是一一映射，且是函数4、是映射，但不是函数，因为B中不是所有值在A中都有对应。例2设A={a,b,c},B={0,1},请写出两个从A到B的映射从A到B的映射共有2^3=8个：〔a，b，c〕→〔0，0，0〕；〔a，b，c〕→〔0，0，1〕；〔a，b，c〕→〔0，1，0〕；〔a，b，c〕→〔1，0，0〕；〔a，b，c〕→〔0，1，1〕；〔a，b，c〕→〔1，0，1〕；〔a，b，c〕→〔1，1，0〕；〔a，b，c〕→〔1，1，1〕。例3假设集合m={0-11}n={-2-1012}映射f:M→N满足条件"对任意的*属于M,*+f(*)是奇数〞，这样的映射有____个①当*=-1时，*+f(*)=-1+f(-1)恒为奇数，相当于题目中的限制条件"使对任意的*属于M，都有*+f(*)是奇数〞f(-1)=-2,0,2

②当*=0时，*+f(*)=f(0),根据题目中的限制条件"使对任意的*属于M，都有*+f(*)是奇数〞可知f(0)只能等于-1和1③当*=1时，*+f(*)=1+f(1)恒为奇数f(1)=-2,0,2

综上①②③可知，只有第②种情况有限制，所以这样的映射共有3×2×3=18个例4设集合A={-1，0，1}B={2，3，4，5，6}从A到B的映射f满足条件：对每个*∈A有f〔*〕+*为偶数则这样的映射f的个数是多少？映射可以多对一，要让f〔*〕+*＝偶数，当*＝－1和1时，只能从B中取奇数，有3，5两种可能，当*＝0从B中取偶数有246三种，则一共有2×2×3＝12个以后你学了分步与分类就很好理解啦，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法.则完成这件事共有N=m+n中不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.则完成这件事共有N=m×n种不同的方法例5：集合，，映射满足，则映射的个数是多少？思路提示：满足，则只可能，即、、中可以全部为，或各取一个．解：∵，且∴有．当时，只有一个映射；当中恰有一个为，而另两个分别为，时，有个映射．因此所求的映射的个数为．例6给出以下四个对应：①②③④其构成映射的是〔〕只有①②只有①④只有①③④只有③④答案：提示：根据映射的概念，集合到集合的映射是指对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的值与之相对应，应选择．例7．假设函数满足，则以下各式不恒成立的〔〕答案：提示：令有，，正确．令，有，正确．令，有，，正确．令，则．由于，，于是当时，，故不恒成立，应选．例8．集合，，以下不表示从到的映射是〔〕答案：提示：选项中，则对于集合中的元素4，对应的元素，不在集合中，不符合映射的概念．例9．集合，，则可建立从到的映射个数是__________，从到的映射个数是__________．答案：提示：从到可分两步进展：第一步中的元素可有3种对应方法〔可对应5或6或7〕，第二步中的元素也有这3种对应方法．则不同的映射种数．反之从到，道理一样，有种不同映射．例10．如果函数对任意都有，试求的值．解：∵对任意，总有，∴当时应有，即．∴．又∵，∴．故有〔，则．∴．∴．【课堂练习】1．设f:A→B是集合A到集合B的映射，则正确的选项是〔〕A．A中每一元素在B中必有象B．B中每一元素在A中必有原象C．B中每一元素在A中的原象是唯一的D．A中的不同元素的象必不同2．集合A={3,4},B={5,6,7},则可建立从A到B的映射个数是_______，从B到A的映射个数是__________.3．设集合A和B都是自然数集N，映射f:A→B把集合A中的元素n影射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是〔〕A.2B.3C.4D.54．如果(*,y)在映射f下的象是(*+y,*-y)，则(1,2)在映射下的原象是〔〕A.〔3，1〕B.〔〕C.〔〕D.〔-1，3〕5.点(*，y)在映射f下的象是(2*－y，2*＋y)，求(1)点〔２，３〕在映射f下的像；〔２〕点(4，6)在映射f下的原象.6.设集合A＝{1,2,3,k},B＝{4,7,a4,a2＋3a},其中a,k∈N,映射f:A→B，使B中元素y＝3*＋1与A中元素*对应，求a及k的值.【综合练习】一、选择题：1．以下对应是从集合A到集合B的映射的是〔〕A．A=R，B={*|*＞0且*∈R}，*∈A，f：*→|*|B．A=N，B=N＋，*∈A，f：*→|*－1|C．A={*|*＞0且*∈R}，B=R，*∈A，f：*→*2D．A=Q，B=Q，f：*→2．映射f:AB，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是〔〕

A．4 B．5 C．6 D．73．设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是〔〕A．2 B．3 C．4 D．54．在*克a%的盐水中，参加y克b%的盐水，浓度变成c%(a,b>0,a≠b)，则*与y的函数关系式是〔〕A．y=* B．y=* C．y=* D．y=*5．函数y=的值域是〔〕A．(－∞，－1)∪(－1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)6．以下各组中，函数f(*)和g(*)的图象一样的是〔〕A．f(*)=*，g(*)=()2 B．f(*)=1，g(*)=*0C．f(*)=|*|，g(*)= D．f(*)=|*|，g(*)=7．函数y=的定义域为〔〕A．{*|－1≤*≤1} B．{*|*≤－1或*≥1}C．{*|0≤*≤1} D．{－1，1}8．函数f(*)的定义域为［0，1］，则f(*2)的定义域为〔〕A．(－1，0) B．[－1，1]C．(0，1) D．［0，1］9．设函数f(*)对任意*、y满足f(*＋y)=f(*)＋f(y)，且f(2)=4，则f(－1)的值为〔〕A．－2 B．± C．±1 D．210．函数y=2－的值域是〔〕A．[－2，2] B．[1，2] C．[0，2] D．[－，]11．〔〕A． B．[，4] C．[，3] D．[，＋∞]12．函数f(＋1)=*＋1，则函数f(*)的解析式为〔〕A．f(*)=*2 B．f(*)=*2＋1(*≥1)D．f(*)=*2－2*＋2(*≥1) C．f(*)=*2－2*(*≥1)二、填空题：13．己知集合A={1，2，3，k}，B={4，7，a4，a2＋3a}，且a∈N*，*∈A，y∈B，使B中元素y=3*＋1和A中的元素*对应，则a=___，k=__.14．假设集合M={－1，0，1}，N={－2，－1，0，1，2}，从M到N的映射满足：对每个*∈M，恒使*＋f(*)是偶数，则映射f有____个.15．设f(*－1)=3*－1，则f(*)=_________.16．函数f(*)=*2－2*＋2，则f(1)，f(－1)，f()之间的大小关系为.三、解答题：17．〔1〕假设函数y=f(2*＋1)的定义域为[1，2]，求f(*)的定义域.〔2〕函数f(*)的定义域为［－，］，求函数g(*)=f(3*)＋f()的定义域.18．〔1〕已f()=，求f(*)的解析式.〔2〕y=f(*)是一次函数，且有f[f(*)]=9*＋8，求此一次函数的解析式.19．求以下函数的值域：〔1〕y=－*2＋*，*∈[1，3]〔2〕y=〔3〕20．函数(*)=f(*)＋g(*)，其中f(*)是*的正比例函数，g(*)是*的反比例函数，且()=16，(1)=8．〔1〕求(*)的解析式，并指出定义域；〔2〕求(*