新人教版初三数学反比例函数知识点和例题

-.z.新人教版初三数学反比例函数知识点和例题〔一〕反比例函数的概念

1．〔〕可以写成〔〕的形式，注意自变量*的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；

2．〔〕也可以写成*y=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与*轴、y轴无交点．

〔二〕反比例函数的图象

在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量*的取值不能为0，且*应对称取点〔关于原点对称〕．

〔三〕反比例函数及其图象的性质

1．函数解析式：〔〕

2．自变量的取值范围：

3．图象：

〔1〕图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．

〔2〕图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．

当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随*的增大而减小；

当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随*的增大而增大．

〔3〕对称性：图象关于原点对称，即假设〔a，b〕在双曲线的一支上，则〔，〕在双曲线的另一支上．

图象关于直线对称，即假设〔a，b〕在双曲线的一支上，则〔，〕和〔，〕在双曲线的另一支上．

4．k的几何意义

如图1，设点P〔a，b〕是双曲线上任意一点，作PA⊥*轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是〔三角形PAO和三角形PBO的面积都是〕．

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．

图1图2

5．说明：

〔1〕双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．

〔2〕直线与双曲线的关系：

当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．

〔3〕反比例函数与一次函数的联系．

〔四〕实际问题与反比例函数

1．求函数解析式的方法：

〔1〕待定系数法；〔2〕根据实际意义列函数解析式．

2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．

三、例题分析

1．反比例函数的概念

〔1〕以下函数中，y是*的反比例函数的是〔〕．

A．y=3*B．C．3*y=1D．〔2〕以下函数中，y是*的反比例函数的是〔〕．

A．B．C．D．2．图象和性质

〔1〕函数是反比例函数，

①假设它的图象在第二、四象限内，则k=___________．

②假设y随*的增大而减小，则k=___________．

〔2〕一次函数y=a*+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．

〔3〕假设反比例函数经过点〔，2〕，则一次函数的图象一定不经过第_____象限．

〔4〕a·b＜0，点P〔a，b〕在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是〔〕．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

〔5〕假设P〔2，2〕和Q〔m，〕是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=k*+m的图象经过〔〕．

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限

〔6〕函数和〔k≠0〕，它们在同一坐标系内的图象大致是〔〕．

A．B．C．D．

3．函数的增减性〔1〕在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为〔〕．

A．正数B．负数C．非正数D．非负数

〔2〕在函数〔a为常数〕的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是〔〕．

A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜

〔3〕以下四个函数中：①；②；③；④．y随*的增大而减小的函数有〔〕．

A．0个B．1个C．2个D．3个〔4〕反比例函数的图象与直线y=2*和y=*+1的图象过同一点，则当*＞0时，这个反比例函数的函数值y随*的增大而〔填"增大〞或"减小〞〕．

4．解析式确实定〔1〕假设与成反比例，与成正比例，则y是z的〔〕．

A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定

〔2〕假设正比例函数y=2*与反比例函数的图象有一个交点为〔2，m〕，则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．

〔3〕反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．

〔4〕一次函数y=*+m与反比例函数〔〕的图象在第一象限内的交点为P〔*0，3〕．

①求*0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．

〔5〕为了预防"非典〞，*学校对教室采用药薰消毒法进展消毒．药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y〔毫克〕与时间*〔分钟〕成正比例，药物燃烧完后，y与*成反比例〔如下图〕，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答以下问题：

①药物燃烧时y关于*的函数关系式为___________，自变量*的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于*的函数关系式为_________________．

②研究说明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，则从消毒开场，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；

③研究说明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，则此次消毒是否有效？为什么？

．

5．面积计算

〔1〕如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向*轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与*轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则〔〕．

A．B．C．D．

第〔1〕题图第〔2〕题图

〔2〕如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//*轴，△ABC的面积S，则〔〕．

A．S=1B．1＜S＜2C．S=2D．S＞2

〔3〕如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．

第〔3〕题图第〔4〕题图

〔4〕函数的图象和两条直线y=*，y=2*在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作*轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作*轴、y轴的垂线P2Q2，P2R2，垂足分别为Q2，R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长，并比拟它们的大小．〔5〕如图，正比例函数y=k*〔k＞0〕和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作*轴垂线交*轴于B，连接BC，假设△ABC面积为S，则S=_________．

第〔5〕题图第〔6〕题图

〔6〕如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥*轴于B且S△ABO=．

①求这两个函数的解析式；

②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．

〔7〕如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在*轴、y轴上，点B在函数〔k＞0，*＞0〕的图象上，点P〔m，n〕是函数〔k＞0，*＞0〕的图象上任意一点，过P分别作*轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的局部的面积为S．

①求B点坐标和k的值；

②当时，求点P的坐标；

③写出S关于m的函数关系式．6．综合应用

〔1〕假设函数y=k1*〔k1≠0〕和函数〔k2≠0〕在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2〔〕．

A．互为倒数B．符号一样C．绝对值相等D．符号相反

〔2〕如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A〔，1〕，B〔1，n〕．

①求反比例函数和一次函数的解析式；

②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的*的取值范围．

〔3〕如下图，一次函数〔k≠0〕的图象与*轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数〔m≠0〕的图象在第一象限交于C点，CD垂直于*轴，垂足为D，假设OA=OB=OD=1．

①求点A、B、D的坐标；

②求一次函数和反比例函