全国高中数学联赛山西赛区预赛试卷

全国高中数学联赛山西赛区初赛试卷全国高中数学联赛山西赛区初赛试卷全国高中数学联赛山西赛区初赛试卷2020年全国高中数学联赛山西赛区初赛试卷2020年9月2日上午8：30——11：30）一、选择题（每题7分共35分）1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有[]个解：末位是0的数共有个A4-A43，末位是2或4的数共有2(A41A43-A1A2)个.533由加法原理，共有A4-A43+2(A41A43-A1A2)=252个.5332.已知数列{a}(n≥1)满足a=an1-a，且a=1,若数列的前2020项之和为2020，则nn2n2前2020项的和等于[]解：a=an2-an1=(an1-a)-an1=-an,n3n因此，对n≥1，an+an1+an2+an3+an4+an5=0，从而数列中任意连续6项之和均为0.2020=334×6+1,2020=334×6+2,因此前2020项之和为a1，即a1=2020，于是前2020项的和等于a1+a2=2020.因此选(C).3.有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，而且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是600，又侧棱与底面所成的角都是450，则这个棱锥的体积是[]B.3C.3D.342解：这个体积是底边和高均为1的正六棱锥的体积的一半，因此V11332644(2x4)2naaxax2ax2n(n∈N),3则a2a4a2n被3除的余+0122n数是D.不能够确定解：a0a2a4a2n=1[(24)2n(24)2n]=1[62n22n]22a2a4a2n=22n1(32n1)42n(1)2n1112n=-21(mod3).因此选(B).的正三角形中有n个点，用一个半径为3的圆形硬币总能够遮住其中的2个点，则n的最小值是[]解：如图(1)，作一个切割，在每个交织点上置一个点，这时任意两点间距离不小于4，4>23(硬币直径)，故这时硬币不能够遮住其中的两个点，说明n=10是不够的.如图(2)，另作一个切割，获取16个全个等的边长为3的正三角形，其中“向上”的三角形共有10个，它们的外接圆的半径正好是3.借助图(3)能够证明：只要图(2)中的10个“向上”的三角形都用硬币覆盖，则三角形ABC完好被覆盖，这时若在三角形ABC内置11个点，则必有一个硬币能够最少遮住其中的2个点.故n的最小值是11，因此选(C).

AA二、填空题（每题8分共40分）

BCBC（1）（2）（3）盒子里装有大小相同的球8个，其中三个1号球，三个2号球，两个3号球.第一次从盒子中先任取一个球，放回后第二次再任取一个球，记第一次与第二次取到的球上的号码的积为随机变量ξ，则ξ的数学希望Eξ=解：ξ可能取的值是1,2,3,4,6,9P(ξ=1)=33,P(332322332ξ=2)=82,P(ξ=3)=82,P(ξ=4)=2,88P(ξ=6)=322,P(ξ=9)=22,8282Eξ=33×1+332×2+322×3+33×4+322×6+22×9=27=3.375.8282828282828在锐角三角形ABC中，设tanA,tanB,tanC成等差数列且函数f(x)满足f(cos2C)=cos(B+C-A)，则f(x)的剖析是为解：tanA=-tan(B+C),tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB,于是有3tanB=tanAtanBtanC,由于B为锐角，因此tanB≠0,因此tanAtanC=3,令cos2C=x,则cos2C=1x，因此tan2A=9=9=9(1x)2tan2C111xcos2C因此cos(B+C-A)=cos(-2A)=-cos2A=1-2cos2A=1-2A=45x,即f(x)=45x.1tan254x54x1008.[(10i1)(10i3)(10i7)(10i9)]的末三位数是_______i1解：(10i+1)(10i+3)(10i+7)(10i+9)=[100i2+100i+9][100i2+100i+21]=10000i2(i1)2+3000i(i+1)+189189(mod1000).100100因此[(10i1)(10i3)(10i7)(10i9)]189=189×100900(mod1000).i1i1因此末三位是9009.会集A中的元素均为正整数，拥有性质：若aA，则12-aA，这样的会集共有个.解：从会集A的性质可得，A必然是六个会集{1,11},{2,10},{3,9},{4,8},{5,7},{6},中某几个的并集，因此吻合要求的A共有C1+C2+C3+C4+C5+C6=26-1=63个.666666抛物线的极点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线订交于A、B两点，且|AB|=86.在抛物线上可否存在一点C，使△ABC为正三角形，若存在，C点11.的坐标是解：设所求抛物线方程为y22px(p0)，由弦长|AB|=86建立关于p的方程.11解得p=2或p=-24(舍去)，故抛物线方程为y24x.111111设AB的中点为D(x0,y0)，抛物线上存在满足条件的点C(x3,y3)，由于△ABC为正三角形.因此CD⊥AB，|CD|=3|AB|=123.211由CD⊥AB得x3y315①由|CD|123得|x3y31|24②111111解①②得x325，y310或x31,y1411111111但点(1,14)不在抛物线上.故抛物线上存在一点(25,10)11111111三、解答题（每题25分共75分）三个等圆⊙O1,⊙O2,⊙O3,两两外切且均内切于⊙O，从⊙O上任意一点向三个小圆引三条切线，求证：其中必有一条切线长等于另两条切线长的和.证明：设三个小圆的半径为r，大圆的半径为R，并设三个小圆切大圆于A、B、C，P是大圆上任意一点，由于三角形ABC是等边三角形，有PA=PB+PC(如图).设P向⊙O1,⊙O2,⊙O3所引三条切线的切点分别是TA,TB,TC,设线段PA，PB，PC分别交⊙O,⊙O,⊙O于D，E，F，连结PO,OB,EO，易得⊿POB∽⊿EOB，12322由此得PE=RrPE=Rr×PB,PBRR同理PD=Rr×PA,PF=Rr×PC,

ACOO31ORRPRr(PB+PC)=RrPA=PTO2因此PTPT=.EBACRRBlogbalogcblogac912.设a,b,c∈(1,+∞)，证明：2(+b+)≥.abccaabc证明：∵a,b,c∈(1,+∞)，logba,logcb,logac,都是正数，而且它们的乘积等于1，logbalogcblogaclogbalogcblogac=3,∴++≥33(ab)(bc)(ca)abbcca3(ab)(bc)(ca)又∵2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)≥33(ab)(bc)(ca),∴1≥3=3,b)(bc)(c3(aa)(ab)(bc)(ca)2(abc)logbalogcblogac9,∴+b+≥babcca2(ac)logbalogcblogac9.即2(+c+)≥babbcaack个组的活动，若规定：(1)孪生兄妹不在同一组；(2)非孪生关系的任意两人都恰好共同参加过一个组的活动；(3)有一个人只参加两个组的活动.求k的最小值.解：用A,a,B,b,C,c,D,d,E,e表示5对孪生兄妹，第一考虑(3)，不如设A只参加两个组的活动，要同时满足(1)和(2)，A参加的两个组必为ABCDE和Abcde.尔后连续编组，考虑使同组的人尽可能