根与系数的关系练习题

精心整理一元二次方程根与系数的关系习题主编：闫老师[准备知识回首]：1、一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式为xbb24ac(b24ac0)。2a2、一元二次方程ax2bxc0(a0)根的鉴别式为：b24ac1）当0时，方程有两个不相等的实数根。2）当0时，方程有两个相等的实数根。3）当0时，方程没有实数根。反之：方程有两个不相等的实数根，则；方程有两个相等的实数根，则；方程没有实数根，则。[韦达定理有关知识]1若一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个实数根x1和x2，那么x1x2，x1?x2。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。2、假如一元二次方程x2pxq0的两个根是x1和x2，则x1x2，x1?x2。3、以x1和x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2(x1x2)xx1?x204、在一元二次方程ax2bxc0(a0)中，有一根为0，则c；有一根为1，则abc；有一根为1，则abc；若两根互为倒数,则c；若两根互为相反数，则b。5、二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax2bxc的因式时，假如可用公式求出方程ax2bxc0(a0)的两个根x1和x2，那么ax2bxca(xx1)(xx2)．假如方程ax2bxc0(a0)无根,则此二次三项式ax2bxc不可以分解.[基础运用]例1：已知方程3x2(k1)x20的一个根是1，则另一个根是，k。解：变式训练：1、已知x1是方程3x22xk0的一个根，则另一根和k的值分别是多少？精心整理精心整理2、方程x2kx60的两个根都是整数，则k的值是多少？例2：设x1和x2是方程2x24x30，的两个根，利用根与系数关系求以下各式的值：（1）x2x22（2）(x11)(x21)（）11（）x2)2x1x2变式训练：1、已知对于x的方程3x210xk0有实数根，求知足以下条件的k值：（1）有两个实数根。（2）有两个正实数根。（3）有一个正数根和一个负数根。（4）两个根都小于2。2、已知对于x的方程x22axa0。（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。（2）a取何值时，方程有两个正根。（3）a取何值时，方程有两异号根，且负杜绝对值较大。（4）a取何值时，方程到罕有一根为零？采用例题：例3：已知方程ax2bxc0(a0)的两根之比为：，鉴别式的值为1，则a与b是多少？12例4、已知对于x的方程x22(m2)xm250有两个实数根，而且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m的值。例5、若方程x24xm0与x2x2m0有一个根同样，求m的值。基础训练：1．对于x的方程ax22x10中，假如a0，那么根的状况是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不可以确立2．设x1,x2是方程2x26x30的两根，则x12x22的值是（）（A）15（B）12（C）6（D）33．以下方程中，有两个相等的实数根的是（）（A）2y2+5=6y（B）x2+5=2x（C）x2－x+2=0（D）3x2－2x+1=04．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A）y2+5y－6=0（B）y2+5y＋6=0（C）y2－5y＋6=0（D）y2－5y－6=05．假如x1，x2是两个不相等实数，且知足22x1－2x1＝1，x2－2x2＝1，那么x1·x2等于（）（A）2（B）－2（C）1（D）－1精心整理精心整理对于x的方程ax2－2x＋1＝0中，假如a<0，那么根的状况是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不可以确立设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15（B）12（C）6（D）38．假如一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根，那么k＝9．假如对于x的方程2x2－(4k+1)x＋2k2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是2210．已知x1，x2是方程2x－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）＝2211．若对于x的方程(m－2)x－(m－2)x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝.二、能力训练：1、不解方程，鉴别以下方程根的状况：（1）x2－x=5(2)9x2－6+2=0(3)x2－x+2=02、当m=时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；2当m=时，方程mx+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知对于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0，如有一个根为0，则m=，这时方程的另一个根是；若两根之和为－，则m=，这时方程的两个根为.4、已知3－是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。222没有实数根。5、求证：方程(m+1)x－2mx+(m+4)=06、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－和1+。7、设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根，利用根与系数关系求以下各式的值：(1)(x1+1)(x+1)(2)+（3）x+xx+2x21212122是一个完整平方式，则m=;8、假如x－2(m+1)x+m+59、方程2x(mx－4)=x2－6没有实数根，则最小的整数m=;10、已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)两根的和与两根的积相等，则m=;212、设方程4x2－7x+3=0的两根为x1,x2，不解方程，求以下各式的值:22（3）（）2＋x1(1)x1+x2(2)x1－x2x1x21x24x13、实数ｓ、ｔ分别知足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式的值。14、已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试鉴别方程x2+2ax+1－(a2x2－a2－1)=0有无实根？15、求证：无论k为何实数，对于x的式子(x－1)(x－2)－k2都能够分解成两个一次因式的积。精心整理精心整理16、实数K在什么范围取值时，方程kx22(k1)x(k1)0有实数正根？训练（一）1、不解方程，请鉴别以下方程根的状况；(1)2t2+3t－4=0,;(2)16x2+9=24x,;(3)5(u2+1)－7u=0,;222、若方程x－(2m－1)x+m+1=0有实数根，则m的取值范围是;23、一元二次方程x+px+q=0两个根分别是2+和2－，则p=,q=;24、已知方程3x－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是，m=;25、若方程x+mx－1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是;2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根，则代数式n6、m,n是对于x的方程xm=。7、已知对于x的方程x2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值;8、假如α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于α+和β+;9、已知a,b,c是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形取什么实数时，二次三项式2x2－(4k+1)x+2k2－1可因式分解.已知对于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝＋，求ｓ的取值范围。训练（二）1、已知方程x2－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β=,αβ=;2、假如对于x的方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根同样，则m的值为;3、已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2，则k=;4、若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a=;25、方程4x－2(a-b)x－ab=0的根的鉴别式的值是;6、若对于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;7、已知p<0,q<0，则一元二次方程2x+px+q=0的根的状况是;8、以方程x2－3x－1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是;9、设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求以下各式的值：(1)x12x2+x1x22(2)－2210．m取什么值时，方程2x－(4m+1)x+2m－1=0（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；精心整理精心整理11．设方程x2+px+q=0两根之比为1:2，根的鉴别式=1，求p,q的值。12．能否存在实数k，使对于x的方程9x2(4k7)x6k20的两个实根x1,x2，知足x1＝，假如x2存在，试求出全部知足条件的k的值，假如不存在，请说明原因。一元二次方程根与系数关系专题训练主编：闫老师1、假如方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1、x2，那么x1+x2=，x1·x2=。2、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：x1+x2=；x1·x2=；11；x21+x22=；(x1+1)(x2+1)=；｜x1－x2｜=。x1x23、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。4、假如对于x的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是，a的值为。5、假如对于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，那么k=。6、已知方程2x2+mx－4=0两根的绝对值相等，则m=。7、一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)的两根为0和－1，则q∶p=。8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m=。9、已知对于x的一元二次方程(a2－1)x2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a=。2－4x－6=0的两根为x1和x2，且x1+x2=－2，则m=，(x1+x2)x1x2=。10、已知对于x的一元二次方程mx11、已知方程3x2+x－1=0，要使方程两根的平方和为13，那么常数项应改为。912、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。(此中二次项系数为1)14、已知对于x的一元二次方程x2－2(m－1)x+m2=0。若方程的两根互为倒数，则m=；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m=。15、已知方程x2+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α=；β=；m=。16、已知对于x的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=3，则。17、已知对于x的方程x2－3mx+2(m－1)=0的两根为x、x，且1112x1x2m=418、对于x的方程2x2－3x+m=0，当时，方程有两个正数根；当m时，方程有一个正根，一个负根；当m时，方程有一个根为0。19、若方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根同样，则m=。20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x－2=0两根的二倍，则所求的方程为。21、一元二次方程2x2－3x+1=0的两根与x2－3x+2=0的两根之间的关系是。223、已知2+3是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。精心整理精心整理24、证明：假如有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+B的无理数(A、B均为有理数)，那么另一个根必是A－B。25、不解方程，判断以下方程根的符号，假如两根异号，试确立是正根仍是负根的绝对值大?26、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值：x31x2+x1x3227、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值：28、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值：(x21－x22)229、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值：x1－x230、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值：231、已知x1和x2是方程2x－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值：32、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+6和2－6。33、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。34、造一个方程，使它的根是方程3x2－7x+2=0的根；(1)大3；(2)2倍；(3)相反数；(4)倒数。35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根知足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。36、已知对于x的方程2x2－(m－1)x+m+1=0的两根知足关系式x1－x2=1，求m的值及两个根。、α、β是对于229，求的37x的方程4x－4mx+m+4m=0的两个实根，而且知足(1)(1)1m100值。38、已知一元二次方程8x2－(2m+1)x+m－7=0，依据以下条件，分别求出m的值：两根互为倒数；两根互为相反数；有一根为零；有一根为1；(5)两根的平方和为1。6439、已知方程x2+mx+4=0和x2－(m－2)x－16=0有一个同样的根，求m的值及这个同样的根。40、已知对于x的二次方程x2－2(a－2)x+a2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a的值。41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b、c的值。、设：3a2－6a－11=0，3b2－6b－11=0且a≠b，求a4－b4的值。、试确立使x2+(a－b)x+a=0的根同时为整数的整数a的值。、已知一元二次方程(2k－3)x2+4kx+2k－5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k取何整数时，方程有两个整数根。精心整理精心整理45、已知：α、β是对于x的方程x2+(m－2)x+1=0的两根，求(1+mα+α2)(1+mβ+β2)的值。46、已知x1,x2是对于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是对于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。47222、已知x1、x2是对于x的方程x+mx+n=0的两个实数根；y1、y2是对于y的方程y+5my+7=0的两个实数根，且x1－y1=2,x2－y2=2，求m、n的值。482222、对于x的方程mx+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x+2(a+m)x+2a－m+6m－4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值。49、对于x的一元二次方程3x2－(4m2－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m的值。50、已知：α、β是对于x的二次方程：(m－2)x2+2(m－4)x+m－4=0的两个不等实根。若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；若α2+β2=6时，求m的值。5122、已知对于x的方程mx－nx+2=0两根相等，方程x－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。求证：方程x2－(k+n)x+(k－m)=0必定有实数根。52、对于x的方程x22mx1n2=0，此中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。4求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。53、已知对于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1≠x2)，在数轴上，表示x2的点在表示x1的点的右侧，且相距p+1，求p的值。54、已知对于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个对于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有独一的公共根，求a、b、c的关系式。55222β、假如对于x的实系数一元二次方程x+2(m+3)x+m+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)+(－1)2的最小值是多少?56、已知方程2x2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3，方程x2－2nx+8m=0的两根相等(mn≠0)。求证：对随意实数k，方程mx2+(n+k－1)x+k+1=0恒有实数根。57、(1)方程x2－3x+m=0的一个根是2，则另一个根是。(2)若对于y的方程y2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m，n应知足。58、不解方程,求以下各方程的两根之和与两根之积x2+3x+1=0；59、不解方程,求以下各方程的两根之和与两根之积3x2－2x－1=0；60、不解方程,求以下各方程的两根之和与两根之积2x2+3=0；61、不解方程,求以下各方程的两根之和与两根之积2x2+5x=0。262、已知对于x的方程2x+5x=m的一个根是－2，求它的另一个根及m的值。263、已知对于x的方程3x－1=tx的一个根是－2，求它的另一个根及t的值。精心整理精心整理64、设x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值：(1)(x1－4)(x2－4)；(2)x13x24+x14x23；(3)x11x21；3x23x1(4)x13+x23。65、设x1，x2是方程2x2－4x+1=0的两个根，求｜x1－x2｜的值。66、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7，求m和n的值。67、以2，－3为根的一元二次方程是()22A.x+x+6=0B.x+x－6=0C.x2－x+6=0D.x2－x－6=068、以3，－1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是()A.3x2－2x+3=0B.3x2+2x－3=0C.3x2－6x－9=0D.3x2+6x－9=069、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是()A.x2+2x－3=0B.x2－2x+3=022C.x+2x+3=0D.x－2x－3=070、以－3，－2为根的一元二次方程为，以31，31为根的一元二次方程为，22以5，－5为根的一元二次方程为，以4，1为根的一元二次方程为。471、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。72、已知方程2x2－3x－3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是：(1)a+1.b+12b,2aab773、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm，面积为2cm2，求这个直角三角形斜边的长。74、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应当是什么?75、对于x的方程x2－ax－3=0有一个根是1，则a=，另一个根是。76、若分式x22x3的值为0，则x的值为()x1A.－1B.3C.－1或3D.－3或177、若对于y的一元二次方程y2+my+n=0的两个实数根互为相反数，则()A.m=0且n≥0B.n=0且m≥0C.m=0且n≤0D.n=0且m≤078、已知x1，x2是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值：精心整理精心整理(1)(2x1－3)(2x2－3)；(2)x13x2+x1x23。79、已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，求(a－1)(b－1)的值。80、假如x=1是方程2x2－3mx+1=0的一个根，则m=，另一个根为。81211，m，n为实数，且m1，则m1。n240nn=n82、两根为3和－5的一元二次方程是()A.x2－2x－15=