江苏省南京市2016届高三第三次模拟考试数学试题01含解析

学必求其心得，业必贵于专精一、填空题：本大题共14个小题，每题5分,共70分。1。已知全集U＝{－1,2，3,a}，会集M＝{－1,3｝．若?UM＝{2，5｝，则实数a的值为▲．【答案】5【解析】试题解析：因为UMCUM{1,3,2,5},因此a5.考点：会集补集2.设复数z满足z（1＋i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数为▲．【答案】3－i【解析】24i(24i)(1i)试题解析：因为zi(12i)(1i)3i,因此复数z的共轭复数为123－i考点：复数看法3.甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）以下表：选手第1第2第3第4第5轮轮轮轮轮甲9。89。910。11010.2乙9.410。310。89.79.8则甲、乙两位选手中成绩最牢固的选手的方差是▲．【答案】0.02学必求其心得，业必贵于专精考点：方差4.从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是▲．【答案】【解析】

35试题解析：从5个球中随机取出两个球，共有10种基本事件，其中取出的两球中恰有一个红球包含有236种基本事件，其概率为63.105考点：古典概型概率5。执行以下列图的伪代码，输出的结果是▲．S←1I←2WhileS≤100I←I＋2S←S×IEndWhilePrintI（第5题图）【答案】8【解析】试题解析:第一次循环：I4,S4，第二次循环：I6,S24,第三次循环：I8,S192100,输出I8.考点：循环构造流程图6。6．已知α，β是两个不同样的平面，l，m是两条不同样直线,l⊥α，m?β．学必求其心得，业必贵于专精给出以下命题：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l;③m∥α?l⊥β；④l⊥β?其中正确的命题是▲【答案】①④

m∥α．．(填写所有正确命题的序号)．．．．．．．．．．．．考点：线面关系判断7。设数列｛an｝的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－2，则a8＝▲．a6【答案】4【解析】试题解析：由Sn＝2an－2,得Sn—1＝2an-1－2，因此an＝2an－2an—1，(n2)an＝an—1，数列｛n｝为等比数列公比为，a82(n2)a,2224.a6考点：等比数列定义及性质8.设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为▲．【答案】5【解析】试题解析：不如设x2y21,F(c,0)，则点P(c,2b),从而有22abc24b21c25e5.a2b2a2学必求其心得，业必贵于专精考点：双曲线离心率9.如图，已知A，B分别是函数f（x）＝3sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函2数的周期是▲．【答案】4【解析】试题解析：由题意可设A(,3),B(3,3)，又∠AOB＝2,因此2223+3(3)=0T2422考点：三角函数性质10.已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2，则不等式f（x－1）≤2的解集是▲．【答案】【解析】试题解析：因为当x≥0时，f（x）＝2x－2，因此当0≤x≤2时，f（x）≤f(2）＝2，而f(x）是定义在R上的偶函数,因此当－2≤x≤2时，f(x）≤2，因此不等式f（x－1)≤2等价于－2≤x－1≤2，即－1≤x≤3，解集是考点：利用函数性质解不等式学必求其心得，业必贵于专精11。如图,在梯形ABCD中，AB∥CD,AB＝4，AD＝3，CD＝2，AM2MD．若ACBM＝－3，则ABAD＝▲．DCMAB（第11题图）【答案】32【解析】1223试题解析：因为ACBM(ADAB)(ABAD)2ABAD3，因此ABAD.2332考点：向量数量积12。在平面直角坐标系xOy中，圆M:（x－a）2＋（y＋a－3)2＝1（a＞0），点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆

M至多有一个公共点，则

a的最小值为

▲．【答案】

3考点：两圆位置关系13。设函数f（x)＝xex1,xa,g（x）＝f(x)－b．若存在实数b，使得函x1,xa数g(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为▲．【答案】(－1－12，2）e【解析】试题解析：令yxx1，则y2xx，因此当x2时，yxx1(,12]，当x2时，eeee学必求其心得，业必贵于专精yxx1(0,12]ee因此要使函数g(x)恰有3个零点,须a2且a112，即实数a的取值范e围为（－1－12，2）e考点:利用导数研究函数零点14.若实数x，y满足22x2y2的最大值为2x＋xy－y＝1，则5x22xy2y▲．【答案】【解析】

24试题解析：由题意得(2xy)(xy)1，令2xyt,xy1，则x1(t1),y1(t2),t3t3tx2yt1m|m|m21因此5x2t=,其中m=t,当且仅当|m|=2时2xy2y221m22m2222|m|4ttt2取等号，故5x2x2y2的最大值为22xy2y4考点：基本不等式求最值二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15。（本小题满分14分）在△ABC中,已知a,b，c分别为角A,B，C的对边．若向量m＝(a，cosA)，向量n＝（cosC，c），且m·n＝3bcosB．(1）求cosB的值;（2）若a，b，c成等比数列，求11的值．tanAtanC【答案】（1)1（2)3234【解析】学必求其心得，业必贵于专精试题解析：(1)先由向量数量积得acosC＋ccosA＝3bcosB，再由正弦定理将边化角，得sinAcosC＋sinCcosA＝3sinBcosB，即得cosB＝．（2）由等比数列性质得b2＝ac，再由正弦定理将边化角，得sin2B3＝sinA·sinC．利用同角三角函数关系、两角和正弦公式化11得tanAtanC11132tanAtanCsinB4试题解析：解：(1)因为m·n＝3bcosB，因此acosC＋ccosA＝3bcosB．由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝3sinBcosB，···························································3分因此sin（A＋C）＝3sinBcosB，因此sinB＝3sinBcosB．因为B是△ABC的内角，因此sinB≠0，因此cosB＝．···························3·························7分(2）因为a，b，c成等比数列，因此b2＝ac．由正弦定理，得sin2B＝sinA·sinC．···············································································9分因为cosB＝1，B是△ABC的内角,因此sinB＝3232．······················································11学必求其心得，业必贵于专精分又11cosAcosCcosAsinCcosCsinAsin(CA)tanAtanCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinBsinB132··················sinAsinCsin2BsinB4···············································14分考点：向量数量积、正弦定理、同角三角函数关系16。（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中,D为棱BC上一点．（1）若AB＝AC，D为棱BC的中点，求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）若A1B∥平面ADC1，求BD的值．DCA1C1B1ACDB（第16题图）【答案】（1）详见解析(2）1【解析】试题解析：(1）证明面面垂直,一般利用面面垂直判判定理，即从线面垂直出发恩赐证明,而线面垂直的证明，一般需多次利用线面垂直判断与性质定理（2）已知线面平行，一般利用线面平行性质定理，将其转变成线线平行:连结A1C，交AC1于O,则可得A1B∥OD．再结合平面几何性质确定线段比值.学必求其心得，业必贵于专精试题解析：证明:(1）因为AB＝AC，点D为BC中点,因此AD⊥BC．·················································2分因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，因此BB1⊥平面ABC．因为AD平面ABC，因此BB1⊥AD．················································4分因为BC∩BB1＝B，BC平面BCC1B1,BB1平面BCC1B1，因此AD⊥平面BCC1B1．因为AD平面ADC1，因此平面ADC1⊥平面BCC1B1．·············································6分(2）连结A1C，交AC1于O,连结OD，因此O为AC1中点．·············································8分因为

A1B∥平面

ADC1，A1B

平面

A1BC，平面

ADC1∩平面

A1BC＝OD,所

以

A1B

∥OD．

··················································12分因为O为AC1中点，因此D为BC中点，学必求其心得，业必贵于专精因此BD＝DC1．··································································14分考点：面面垂直判判定理，线面平行性质定理17.（本小题满分14分）x2y2如图,在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：a2b21（a＞b＞0）的离心率为22,点（2,1）在椭圆C上．1）求椭圆C的方程;2）设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切,与椭圆C订交于P，Q两点．①若直线l过椭圆C的右焦点F,求△OPQ的面积;②求证：OP⊥OQ．yPFOxQ（第17题图）【答案】(1）x2y21（2)①63,②详见解析635【解析】试题解析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，即列出两学必求其心得，业必贵于专精个独立条件，解方程组即可:由c24122a2，2b21，解得a＝6,b＝3．（2）a①直线过必然点，又与圆相切，因此可先利用直线与圆地址关系确定直线方程y＝±2(x－3）．再依照弦长公式求底长PQ＝66，5依照点到直线距离求高2，最后依照面积公式求面积:63②研究直线5与椭圆地址关系，一般联立方程组，利用韦达定理求解：因为OPOQx1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m）（kx2＋m）＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2）＋m2而直线PQ方程代入椭圆方程,得(1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－6＝0。则有x1＋x2＝－4km2，x1x2＝2m26．因为直线与圆相切，因此|m|12，12k12k2k2即m2＝2k2＋2．代入化简得OPOQ＝0x2y2x4332x4332由方程组61解得5或536+666＝－y2(x3)＝＝55所以PQ＝66．····5·····························分因为O到直线PQ的距离为2，因此△OPQ的面积为653．因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－2(x－3）时，△OPQ学必求其心得，业必贵于专精的面积也为653．综上所述，△OPQ的面积为63．················5·················8分②解法二消去y得5x2－83x＋6＝0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有x1＋x2＝853．由椭圆定义可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e(x1＋x2)＝2×6－22×853＝66．···············6分5②（i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝2或x＝－2．当x＝2时，P(2,2)，Q（2，－2)．因为OPOQ＝0,因此OP⊥OQ．当x＝－2时,同理可得OP⊥OQ．·································10分（ii)若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．因为直线与圆相切，因此|m|22k22,即m＝2k＋2．1将直线PQ方程代入椭圆方程，得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－60.设P(x1，y1），Q（x2，y2），则有x1＋x2＝－4km2,x1x2＝12k2m26．·························12k2········12分学必求其心得，业必贵于专精因为OPOQ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋m）(kx2＋m)＝(1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2)＋m2＝(1＋k2）×2m226＋km×(－4km2)＋m2．12k12k将m2＝2k2＋2代入上式可得OPOQ＝0,因此OP⊥OQ．综上所述,OP⊥OQ．·····································14分考点:椭圆标准方程，直线与圆相切，直线与椭圆地址关系18。（本小题满分16分)如图,某森林公园有素来角梯形地域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC,∠ADC＝90°,AB＝5千米,BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时,乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不高出15分钟,求乙的速度v的取值范围；2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中向来能用对讲机与甲保拥有效通话，求乙的速度v的取值范围．BCAD（第18题图）学必求其心得，业必贵于专精【答案】（1）64v64(2）8＜v≤39．974【解析】试题解析：（1）由行程、速度、时间关系可得关系式：

|1216|1，解6v4简单含绝对值不等式即可,注意单位一致（2)第一乙先到达D地，故16＜2,即v＞8．尔后乙从A到D的过程中与甲最大距离不高出5千v米:分三段谈论①当0＜vt≤5，由余弦定理得甲乙距离（6t)2＋(vt）2－2×6t×vt×cos∠DAB≤25，②当5＜vt≤13，构造直角三角形得甲乙距离(vt－1－6t）2＋9≤25,②当5＜vt≤13，由直角三角形得甲乙距离(12－6t)2＋（16－vt)2≤25，三种情况的交集得8＜v≤39．4试题解析：解：（1）由题意，可得AD＝12千米．因此(v2－48v＋36)×(5)2≤25，解得vvv≥15．···················4······················9分②当5＜vt≤13，即5＜t≤13时，vvf(t)＝（vt－1－6t)2＋9＝（v－6)2（t－1)2＋9．v6因为v＞8，因此1＜5，(v－6）2＞0，因此当t＝13时，f（t）v6vv取最大值，学必求其心得，业必贵于专精因此（v－6)2(13－1)2＋9≤25,解得vv639≤v≤39．·····················84···················13分1316时，③当13≤vt≤16，≤t≤vv(t)＝(12－6t）2＋（16－vt）2，因为12－6t＞0，16－vt＞0,因此当f(t)在（13,16)递减,因此当t＝13vvv时,f(t）取最大值，12－6×13）2＋(16－v×13）2≤25,解得39≤v≤39．vv84因为v＞8，因此8＜v≤39．···············4·····························16分考点：实质应用题，分段函数求函数最值19。(本小题满分16分)设函数f(x)＝－x3＋mx2－m（m＞0）．1）当m＝1时，求函数f(x）的单调减区间；2)设g(x）＝|f（x)|，求函数g(x)在区间上的最大值；3)若存在t≤0，使得函数f（x）图象上有且仅有两个不同样的点，且函数f(x)的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t），试求m的取值范围．43－，m36【答案】（1)(－∞，0)和(2(3）（0，8],＋∞)（2）ymax＝27323m,0m632∪∪∪≥(5·x＋2·4x)2，即得函数f（x）＝5x＋82x的最大学必求其心得，业必贵于专精值为63．试题解析：解：函数定义域为，且f（x)≥0．由柯西不等式得≥(5·x＋·4x)2,······················5分2即27×4≥（5·x＋2·4x)，因此5x＋82x≤63．27因此，函数f(x)＝5x＋82x的最大值为63．··································10分考点：利用柯西不等式求最值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷．．卡指定地域内作答．解答应写出．．．．．．文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）从0，1,2，3，4这五个数中任选三个不同样的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．（1）求X是奇数的概率;(2)求X的概率分布列及数学希望．【答案】(1)7（2)25124【解析】试题解析：（1)因为X是奇数，因此三个数字必是一奇二偶：按可否取0谈论，有C21(C212A22A33)28而能组成的三位数的个数是C422A22A4348，因此所求概率为P(A）＝28=7．（2)先确定随机变量取法3,4，5，6，4812学必求其心得，业必贵于专精7，8,9．再分别求对应概率,最后利用公式求数学希望，注意按可否取0谈论试题解析：解:（1）记“X是奇数”为事件A，能组成的三位数的个数是48．·································2分是奇数的个数有28，因此P（A)＝28=7．4812答:X是奇数的概率为7．·············12····················4分(2）X的可能取值为3，4,5，6，7，8，9．当X＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，因此P（X＝3)＝4=1；12当X＝4时，组成的三位数只能是由0,1，3三个数字组成,因此P(X＝4）＝4=1；12当X＝5时,组成的三位数只能是由0，1，4或0