23特征分解与正弦频率估计课件

§4.6白噪声中的正弦波频率估计引言

本节讨论如何估计白噪声中的正弦波的频率.这里所指“正弦波”的主要特征是:

●是正弦波过程,其初相位是内均匀分布的随机变量;●如果是多个正弦波的组合,它们之间是非谐波关系(因此不能采用周期图法分析).估计方法——特征分解法,这是一种特别适合于多个正弦波加白噪声序列的频率估计方法.本节介绍以下两种方法:

（1）Pisarenko(皮萨伦科)法主要思路是:将白噪声中的正弦过程作为一个特殊的ARMA模型,用特征方程求该模型参数,从而计算正弦波的频率,功率以及噪声功率等.§4.6白噪声中的正弦波频率估计引言1（2）子空间法(多信号分类法——MUSIC方法)主要思路是:把数据自相关阵中的信息空间分解成信号子空间和噪声子空间,这两个子空间中的矢量函数(并不是功率谱)在正弦波频率上呈现尖峰(最大值),据此即可估计正弦波的频率.这种带白噪声的正弦波频率估计,也是评价谱分析的性能的基础.MUSIC——MultipleSignalClassification其它估计方法评述:①Burg法——会产生谱分裂，谱峰偏移;②修正协方差法——较为适用,但对低信噪比情况,难以估计淹没在噪声中的正弦波频率.（2）子空间法(多信号分类法——MUSIC方法)MUSI24.6.1用退化的AR模型表示纯正弦波过程1.纯实正弦波过程为了将纯正弦波过程与AR模型联系起来,现研究下列三角恒等式:或者表示为(4.6.1)令则式(4.6.1)可表示为下列二阶差分方程(4.6.2)注:利用和差化积公式:即可证明该式.4.6.1用退化的AR模型表示纯正弦波过程1.纯实正弦波过程3取上式的Z变换,得式中称为特征多项式(4.6.3)当时,可解得两个根:

其特点是:与共轭成对;,均在单位园上.由以上两个根可确定正弦波的频率为,(只取正频率)

式(4.6.2)可看作为一个特殊的二阶AR过程,称为“退化的”二阶AR模型,其特征如下:正规AR(p)模型的差分方程表示为取上式的Z变换,得正规AR(p)模型的差分方程表示为4模型的激励白噪声方差趋于0;退化的AR(2)模型极点趋于单位园;两个系数分别为和1.现将以上处理扩展到由个实正弦波组成的随机过程:(4.6.4)式中,和——第个正弦波的振幅和角频率;——初相位,是在区间内均匀分布的独立随机变量,它在一次实现中为常量.与单个正弦信号类似,存在下列特征多项式:(4.6.5)显见,应是的阶多项式,(4.6.6)

5考虑到根的共轭成对性,式(4.6.5)与(4.6.6)的等价性可用下式表示:(4.6.7)这样,由式(4.6.6),可用下列阶差分方程描述个实正弦波组合的模型:(4.6.8)注意:个实正弦波组合是退化的过程,独立参量为个.2.复正弦波过程若是由个复正弦波组成的正弦波过程,即(4.6.9)用一个退化的AR(p)模型表示该过程的差分方程为(4.6.10)考虑到根的共轭成对性,式(4.6.5)与(4.6.6)6其特征多项式为,(4.6.11)

其根为,(4.6.12)注意:这里的根不是共轭成对的.因此,个复正弦波组合是退化的过程,独立参量也是个.其特征多项式为74.6.2用特殊的ARMA模型表示白噪声中的正弦波过程附加白噪声的个正弦波组合信号为(4.6.13)式中,满足:;;将式中个正弦波组合用模型表示,得到(4.6.14)

由式(4.6.13),可得

将上式代入式(4.6.14),得(4.6.15)这是一个特殊的模型.

4.6.2用特殊的ARMA模型表示白噪声中的正弦波过程8与一般的模型比较,主要有下列不同:（1）式(4.6.15)的AR部分与MA部分具有相同的阶数和相同的参数,它们存在共同的因子(这正是该模型的特殊之处);（2）由于特征多项式(4.6.7)式的根的模为1,故AR部分特征多项式不满足平稳性条件,MA部分特征多项式也不满足可逆性条件.（3）AR部分的,可见是含白噪声的观测值,而作为信号的却不含白噪声.与一般的模型94.6.3特征分解法谱估计1.皮萨伦科(Pisarenko)谱分解法特殊的模型结构,不能采用一般的模型谱估计方法获得各正弦信号的频率与功率.为此介绍特征分解技术.将式(4.6.15)写成矩阵形式:(4.6.16)式中式(4.6.16)两边左乘,并取数学期望,得到(4.6.17)4.6.3特征分解法谱估计1.皮萨伦科(Pisarenko10式中将以上关系式代入式(4.6.16),得到下列特征方程(4.6.18)其中,是数据的自相关函数;是的特征值;是对应的特征矢量.可以证明:（1）是的最小特征值;（2）当的维数是时,是的单量特征值,因此与对应的特征矢量是唯一的.式中11

正弦波的频率:当的维数是时,由算出对应于最小特征值的特征矢量以后,就可由特征多项式的根获得正弦信号的频率信息.由特征方程,(4.6.19)解出该方程的个根,这些根均在z平面的单位园上,它们是:,(4.6.20)式中的即是正弦波的频率.正弦波的功率:已知,且正弦波的频率:12其中,和()是彼此独立的随机变量；;的概率密度().的自相关函数为(4.6.21),(4.6.22)式中,是正弦波的功率,即由式(4.6.22),令,可得以下矩阵方程由以上矩阵方程,可解出().其中,和(13说明:（1）Pisarenko谱分解法的关键一步，是求自相关函数的最小特征值及对应的特征矢量.（2）当正弦波的个数不知道时,可按以下准则估计ARMA模型的阶数:假定正弦波个数为,若的最小特征值与假定阶数为时的最小特征值已十分接近,则即为ARMA模型的阶数.（3）以上分析对为复正弦过程适用.（4）当的维数为,且,则Pisarenko谱分解法实际上不能使用,采用子空间法可从根本上解决这一问题.2.子空间法（1）复高斯白噪声中的多个复正弦信号矢量●单个复正弦信号说明:14设单个复正弦信号为(4.6.23)式中,,,分别是该复正弦信号的振幅,频率和初相位,其中,是确定参量;是在内均匀分布的独立随机变量.由的个取样值构成的矢量为(4.6.24)设为正弦波的复振幅(4.6.25)定义信号矢量(4.6.26)显然,中含有正弦波频率信息.由上可得复正弦信号的矢量形式为(4.6.27)设单个复正弦信号为15●复高斯白噪声中的复正弦信号假设一个平稳随机过程，它由个复正弦信号与复高斯白噪声组成.一次实现的个取样值为(4.6.28)式中,即为待估计的频率未知的确定信号.上式用矢量形式表示如下:(4.6.29)其中，为的个数据构成的矢量：●复高斯白噪声中的复正弦信号16为的个数据构成的矢量：为的第个正弦波分量的个数据构成的矢量：为信号矢量：，为复高斯白噪声的个样值构成的矢量（2）数据的自相关阵由于与互不相关,因此数据的自相关函数为

(4.6.30)将Rx=E[xxH]展开,可知Rx是Hermitiam(埃尔米特)对称的托布列兹矩阵.为的个数据构成的矢量：将17其中,是的共轭转置,是第个复正弦波的功率,即,(4.6.31)是白噪声矢量的自相关矩阵,是维单位矩阵.式(4.6.30)说明,数据自相关矩阵可以分解为信号自相关矩阵与噪声自相关矩阵之和,其中(4.6.32a)(4.6.32b)与都是维方阵,秩分别为由于归一化信号矢量含有正弦信号的频率信息,因此,可用自相关矩阵分解法估计正弦波频率,其基本思路是:将Rs是埃尔米特阵,即满足共轭对称:其中,是的共轭转置,是第个复18已知求正弦波频率估计下面分别求,(即单位矩阵)的特征值分解,从而进一步求的特征值分解,并由此导出信号子空间和噪声子空间的概念.（3）自相关阵的特征值分解维自相关矩阵的特征值及其对应的特征矢量满足下列关系:,(4.6.33)由于是埃尔米特对称阵，即满足因此，它的不同特征值所对应的特征矢量是正交的。假设已经归一化，则就是归一化正交矢量，即(归一化)或(正交)已知19现以个特征矢量作为列矢量构成阶特征矢量矩阵：(4.6.34)由于中的与两两正交,所以是正交矩阵,即有。再以个与特征矢量对应的特征值构成阶对角线矩阵,即(4.6.35)则式(4.6.33)可写成(4.6.36)利用，则由上式得到(4.6.37)上式即称为“信号自相关矩阵的特征值分解”.

由于的秩为,所以它有个零特征值,于是上式可进一步写成现以个特征矢量20(4.6.38)上式中的特征矢量则称为“主特征矢量”.对于单位矩阵,其个特征值为,它的特征值分解为(4.6.39)将上式代入式(4.6.32b)，得到噪声自相关矩阵的特征值分解为(4.6.40)将式(4.6.38)和(4.6.40)代入式(4.6.30),得到(4.6.41)(4.6.38)21上式表明,的特征矢量与的特征矢量相同,其对应的特征值为.[讨论]维矢量空间可以分为两个子空间:一个是信号子空间;一个是噪声子空间.其中:

●噪声子空间(维),它的个基是正交特征矢量(称为噪声特征矢量),对应的特征值均为(即噪声功率).

●信号子空间(维):它的个基是正交的主特征矢量,对应的特征值为,其中包含信号和噪声两者的功率,这说明白噪声对于无噪声情况下的信号子空间的特征值产生了影响.

可以证明,由主特征矢量张成的子空间与由信号矢量张成的子空间是相同的.所以,常把由主特征矢量张成的子空间称为信号子空间.噪声子空间由N-M个噪声特征矢量张成.证明见:张玲华.随机信号处理.p.111上式表明,的特22（b）由于各个特征矢量相互正交,因此,信号子空间与噪声子空间是正交的.这就意味着,信号矢量与噪声子空间中的任意矢量都正交.根据式(4.6.41)表示的自相关矩阵的特征分解,可以分别在信号子空间和噪声子空间完成谱估计或频率估计.下面介绍其中一种方法.(4)多信号分类法(MUSIC方法)

●基于噪声子空间的频率估计方法:由于信号矢量与噪声子空间中的所有矢量(即噪声矢量)都是正交的,根据正交原理,可以得到,(4.6.42)上式说明:(1)(),即与两两正交;(2)与的任何线性组合也正交;

（b）由于各个特征矢量相互正交,因此,信号子空间与噪声子23(3),其中为M个正弦信号的频率.式(4.6.42)表示的正交关系,是噪声子空间频率估计的基础.MUSIC频率估计方法,就是基于上述正交关系.令当(4.6.43)时,应有即现定义一种类似于功率谱的函数,且令(3)24,则(4.6.44)显然,当满足式(4.6.43)时,理论上有即在处出现峰值(最大化),这些峰值所对应的M个,就是所要估计的正弦信号频率.由于式(4.6.42)定义的函数能够对多个空间信号进行识别(分类),故这种方法称为多信号分类法(MUSIC方法).其中令

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●基于信号子空间的频率估计方法:式(4.6.42)的最大值也可以利用信号子空间特征矢量进行计算.现将该式分母表示成利用,则(4.6.45)将上式右端与式(4.6.44)比较,式(4.6.44)的最大化,等效于

(4.6.46)的最小化.可见,利用上式表示的信号子空间,同样可得到正弦信号频率的估计.●基于信号子空间的频率估计方法:26§4.6白噪声中的正弦波频率估计引言

本节讨论如何估计白噪声中的正弦波的频率.这里所指“正弦波”的主要特征是:

●是正弦波过程,其初相位是内均匀分布的随机变量;●如果是多个正弦波的组合,它们之间是非谐波关系(因此不能采用周期图法分析).估计方法——特征分解法,这是一种特别适合于多个正弦波加白噪声序列的频率估计方法.本节介绍以下两种方法:

（1）Pisarenko(皮萨伦科)法主要思路是:将白噪声中的正弦过程作为一个特殊的ARMA模型,用特征方程求该模型参数,从而计算正弦波的频率,功率以及噪声功率等.§4.6白噪声中的正弦波频率估计引言27（2）子空间法(多信号分类法——MUSIC方法)主要思路是:把数据自相关阵中的信息空间分解成信号子空间和噪声子空间,这两个子空间中的矢量函数(并不是功率谱)在正弦波频率上呈现尖峰(最大值),据此即可估计正弦波的频率.这种带白噪声的正弦波频率估计,也是评价谱分析的性能的基础.MUSIC——MultipleSignalClassification其它估计方法评述:①Burg法——会产生谱分裂，谱峰偏移;②修正协方差法——较为适用,但对低信噪比情况,难以估计淹没在噪声中的正弦波频率.（2）子空间法(多信号分类法——MUSIC方法)MUSI284.6.1用退化的AR模型表示纯正弦波过程1.纯实正弦波过程为了将纯正弦波过程与AR模型联系起来,现研究下列三角恒等式:或者表示为(4.6.1)令则式(4.6.1)可表示为下列二阶差分方程(4.6.2)注:利用和差化积公式:即可证明该式.4.6.1用退化的AR模型表示纯正弦波过程1.纯实正弦波过程29取上式的Z变换,得式中称为特征多项式(4.6.3)当时,可解得两个根:

其特点是:与共轭成对;,均在单位园上.由以上两个根可确定正弦波的频率为,(只取正频率)

式(4.6.2)可看作为一个特殊的二阶AR过程,称为“退化的”二阶AR模型,其特征如下:正规AR(p)模型的差分方程表示为取上式的Z变换,得正规AR(p)模型的差分方程表示为30模型的激励白噪声方差趋于0;退化的AR(2)模型极点趋于单位园;两个系数分别为和1.现将以上处理扩展到由个实正弦波组成的随机过程:(4.6.4)式中,和——第个正弦波的振幅和角频率;——初相位,是在区间内均匀分布的独立随机变量,它在一次实现中为常量.与单个正弦信号类似,存在下列特征多项式:(4.6.5)显见,应是的阶多项式,(4.6.6)

31考虑到根的共轭成对性,式(4.6.5)与(4.6.6)的等价性可用下式表示:(4.6.7)这样,由式(4.6.6),可用下列阶差分方程描述个实正弦波组合的模型:(4.6.8)注意:个实正弦波组合是退化的过程,独立参量为个.2.复正弦波过程若是由个复正弦波组成的正弦波过程,即(4.6.9)用一个退化的AR(p)模型表示该过程的差分方程为(4.6.10)考虑到根的共轭成对性,式(4.6.5)与(4.6.6)32其特征多项式为,(4.6.11)

其根为,(4.6.12)注意:这里的根不是共轭成对的.因此,个复正弦波组合是退化的过程,独立参量也是个.其特征多项式为334.6.2用特殊的ARMA模型表示白噪声中的正弦波过程附加白噪声的个正弦波组合信号为(4.6.13)式中,满足:;;将式中个正弦波组合用模型表示,得到(4.6.14)

由式(4.6.13),可得

将上式代入式(4.6.14),得(4.6.15)这是一个特殊的模型.

4.6.2用特殊的ARMA模型表示白噪声中的正弦波过程34与一般的模型比较,主要有下列不同:（1）式(4.6.15)的AR部分与MA部分具有相同的阶数和相同的参数,它们存在共同的因子(这正是该模型的特殊之处);（2）由于特征多项式(4.6.7)式的根的模为1,故AR部分特征多项式不满足平稳性条件,MA部分特征多项式也不满足可逆性条件.（3）AR部分的,可见是含白噪声的观测值,而作为信号的却不含白噪声.与一般的模型354.6.3特征分解法谱估计1.皮萨伦科(Pisarenko)谱分解法特殊的模型结构,不能采用一般的模型谱估计方法获得各正弦信号的频率与功率.为此介绍特征分解技术.将式(4.6.15)写成矩阵形式:(4.6.16)式中式(4.6.16)两边左乘,并取数学期望,得到(4.6.17)4.6.3特征分解法谱估计1.皮萨伦科(Pisarenko36式中将以上关系式代入式(4.6.16),得到下列特征方程(4.6.18)其中,是数据的自相关函数;是的特征值;是对应的特征矢量.可以证明:（1）是的最小特征值;（2）当的维数是时,是的单量特征值,因此与对应的特征矢量是唯一的.式中37

正弦波的频率:当的维数是时,由算出对应于最小特征值的特征矢量以后,就可由特征多项式的根获得正弦信号的频率信息.由特征方程,(4.6.19)解出该方程的个根,这些根均在z平面的单位园上,它们是:,(4.6.20)式中的即是正弦波的频率.正弦波的功率:已知,且正弦波的频率:38其中,和()是彼此独立的随机变量；;的概率密度().的自相关函数为(4.6.21),(4.6.22)式中,是正弦波的功率,即由式(4.6.22),令,可得以下矩阵方程由以上矩阵方程,可解出().其中,和(39说明:（1）Pisarenko谱分解法的关键一步，是求自相关函数的最小特征值及对应的特征矢量.（2）当正弦波的个数不知道时,可按以下准则估计ARMA模型的阶数:假定正弦波个数为,若的最小特征值与假定阶数为时的最小特征值已十分接近,则即为ARMA模型的阶数.（3）以上分析对为复正弦过程适用.（4）当的维数为,且,则Pisarenko谱分解法实际上不能使用,采用子空间法可从根本上解决这一问题.2.子空间法（1）复高斯白噪声中的多个复正弦信号矢量●单个复正弦信号说明:40设单个复正弦信号为(4.6.23)式中,,,分别是该复正弦信号的振幅,频率和初相位,其中,是确定参量;是在内均匀分布的独立随机变量.由的个取样值构成的矢量为(4.6.24)设为正弦波的复振幅(4.6.25)定义信号矢量(4.6.26)显然,中含有正弦波频率信息.由上可得复正弦信号的矢量形式为(4.6.27)设单个复正弦信号为41●复高斯白噪声中的复正弦信号假设一个平稳随机过程，它由个复正弦信号与复高斯白噪声组成.一次实现的个取样值为(4.6.28)式中,即为待估计的频率未知的确定信号.上式用矢量形式表示如下:(4.6.29)其中，为的个数据构成的矢量：●复高斯白噪声中的复正弦信号42为的个数据构成的矢量：为的第个正弦波分量的个数据构成的矢量：为信号矢量：，为复高斯白噪声的个样值构成的矢量（2）数据的自相关阵由于与互不相关,因此数据的自相关函数为

(4.6.30)将Rx=E[xxH]展开,可知Rx是Hermitiam(埃尔米特)对称的托布列兹矩阵.为的个数据构成的矢量：将43其中,是的共轭转置,是第个复正弦波的功率,即,(4.6.31)是白噪声矢量的自相关矩阵,是维单位矩阵.式(4.6.30)说明,数据自相关矩阵可以分解为信号自相关矩阵与噪声自相关矩阵之和,其中(4.6.32a)(4.6.32b)与都是维方阵,秩分别为由于归一化信号矢量含有正弦信号的频率信息,因此,可用自相关矩阵分解法估计正弦波频率,其基本思路是:将Rs是埃尔米特阵,即满足共轭对称:其中,是的共轭转置,是第个复44已知求正弦波频率估计下面分别求,(即单位矩阵)的特征值分解,从而进一步求的特征值分解,并由此导出信号子空间和噪声子空间的概念.（3）自相关阵的特征值分解维自相关矩阵的特征值及其对应的特征矢量满足下列关系:,(4.6.33)由于是埃尔米特对称阵，即满足因此，它的不同特征值所对应的特征矢量是正交的。假设已经归一化，则就是归一化正交矢量，即(归一化)或(正交)已知45现以个特征矢量作为列矢量构成阶特征矢量矩阵：(4.6.34)由于中的与两两正交,所以是正交矩阵,即有。再以个与特征矢量对应的特征值构成阶对角线矩阵,即(4.6.35)则式(4.6.33)可写成(4.6.36)利用，则由上式得到(4.6.37)上式即称为“信号自相关矩阵的特征值分解”.

由于的秩为,所以它有个零特征值,于是上式可进一步写成现以个特征矢量46(4.6.38)上式中的特征矢量则称为“主特征矢量”.对于单位矩阵,其个特征值为,它的特征值分解为(4.6.39)将上式代入式(4.6.32b)，得到噪声自相关矩阵的特征值分解为(4.6.40)将式(4.6.38)和(4.6.40)代入式(4.6.30),得到(4.6.41)(4.6.38)47上式表明,的特征矢量与的特征矢量相同,其对应的特征值为.[讨论]