高三数学(理)一轮复习讲解与练习36简单的三角恒等变换(含答案解析)

第六节简单的三角恒等变换[备考方向要了然]考什么怎么考能运用两角和与差的正弦、余弦、正切1.以选择题或填空题的形式单独观察，如2012公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进年江苏T11.行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差2.在解答题中，与三角函数的图象与性质、解化积、半角公式，但对这三组公式不要求记三角形等综合，突出观察三角恒等变换的工忆).具性作用，如2012年安徽T16等.[归纳·知识整合]1．半角公式2α2α2α(1)用cosα表示sin，cos，tan.2222α1－cosα2α1＋cosα2α1－cosαsin＝2；cos＝2；tan2＝.221＋cosαααα(2)用cosα表示sin，cos，tan.222α1－cosαsin＝±2；2α1＋cosαcos＝±2；2α1－cosαtan＝±.21＋cosαα(3)用sinα，cosα表示tan2.αsinα＝1－cosαtan＝sinα.21＋cosα[研究]如何用tanα表示sin2α与cos2α？2sinαcosα＝2tanα；提示：sin2α＝2sinαcosα＝222sinα＋cosαtanα＋1cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α1－tan2α22＝2.cosα＋sinα1＋tanα2．形如asinx＋bcosx的化简asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tanφ＝b.a[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)化简2＋cos2－sin21的结果是()A．－cos1B．cos1C.3cos1D．－3cos1解析：选C2＋cos2－sin21＝1＋cos2＋1－sin21＝2cos21＋cos21＝3cos1.21sin35°－2)2.sin20的值为(°11A.2B．－2C．－1D．121解析：选Bsin35°－2＝2sin235°－1＝－cos70°sin20°2sin20°2sin20°－sin20°＝＝－1.2sin20°22sin2x－1π3．若f(x)＝2tanx－2，则f)x的值为(x12sin2cos24A．－33B．8C．43D．－431－2sin2x解析：选B∵f(x)＝2tanx＋2＝2tanx＋2cosx＝2＝4，∴fπ＝41sinxsinxcosxsin2x12π2sinxsin68.4．(教材习题改编)函数y＝3cos4x＋sin4x的最小正周期为________．1解析：y＝3cos4x＋sin4x＝22cos4x＋2sin4xπππ2cos6cos4x＋sin6sin4x＝2cos4x－6，2ππ故T＝4＝2.答案：π2α5．若cosα＝－4，α是第三象限角，则1＋tan2＝________.5α1－tan2解析：∵cosα＝－4，且α是第三象限角，∴sinα＝－3，55ααcos2＋sin21＋tanαααα2＝cos2cos＋sin∴α＝221－tanαααα2cos－sin2cos－sin222αcos2αα2cos＋sin＝22ααααcos－sincos＋sin22223＝1＋sinα＝1＋sinα1－52αcosα＝＝－1.2α－42cos－sin2521答案：－三角函数式的化简[例1](1)化简：2α；sin2α－2cos＝________sinα－π4π(2)已知0＜x＜2，化简：lgcosx·tanx＋1－2sin2x＋lg2cosx－π－lg(1＋sin2x)．24[自主解答](1)原式＝2sinαcosα－2cos2α2＝22·cosα.2sinα－cosα(2)原式＝lg(sinx＋cosx)＋lg(sinx＋cosx)－lg(1＋sin2x)sinx＋cosx21＋sin2x＝0.＝lg＝lg＝lg11＋sin2x1＋sin2x[答案](1)22cosα———————————————————1.三角函数式的化简原则一是一致角，二是一致函数名，能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.2.三角函数式化简的要求能求出值的应求出值；尽量使三角函数种数最少；尽量使项数最少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.3.三角函数化简的方法化简的方法主要有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂.1－tanαα1．化简：α2·1＋tanα·tan2.tan2ααα解：原式＝cos2sin2·1＋sinαsin2－α·αcosααsin2cos2cos2α＝cosα·1＋sinαsin2·αααcosαsin2cos2cos2α＝2cosα2cosαsinαsin2sinα＋··αsinαcosαcos2α2α＝2cosα2sin22cosα4sin2sinα＋＝＋ααsinαsincos2α2α2α2cosα＋4sin221－2sin2＋4sin222＝sinα＝sinα＝sin[例2]3π1＝－10已知4<α<π，tanα＋tanα3.(1)求tanα的值；

.α三角函数求值5sin2ααα2α＋8sincos＋11cos2－8(2)求222的值．π2sinα－4[自主解答]1＝－10，(1)∵tanα＋tanα33tan2α＋10tanα＋3＝0，解得tanα＝－1或tanα＝－3.33π4<α<π，∴－1<tanα<0.1∴tanα＝－.3(2)∵tanα＝－1，35sin2ααα2α＋8sincos＋11cos－8∴2222π2sinα－42α2α＋4sinα＋1＋cosα5sin＋cos6·－8＝222sinα－cosα5＋4sinα＋3＋3cosα－8＝4sinα＋3cosαsinα－cosαsinα－cosα＝4tanα＋35＝－.tanα－141－cos2α－sin2α保持本例条件不变，求的值．1＋cos2α－sin2α解：1－cos2α－sin2α2sin2α－2sinαcosα＝1＋cos2α－sin2α2cos2α－2sinαcosα2sinαsinα－cosα＝－tanα＝1.32cosαcosα－sinα———————————————————已知三角函数式的值，求其他三角函数式值的一般思路1先化简所求式子；2观察已知条件与所求式子之间的联系从三角函数名及角下手；3将已知条件代入所求式子，化简求值.3，sinβ＝－12，且α∈ππ，π，β∈－，0，求sinα的值．2．已知sin(2α－β)＝51322π解：∵2＜α＜π，∴π＜2α＜2π.ππ5π∵－＜β＜0，∴0＜－β＜，π＜2α－β＜，222而sin(2α－β)＝35＞0，∴2π＜2α－β＜5π4，cos(2α－β)＝.25π125又－2＜β＜0且sinβ＝－13，∴cosβ＝13，cos2α＝cos[(2α－β)＋β]cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sinβ4531256＝5×13－5×－13＝65.又cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝1309.π3130又α∈2，π，∴sinα＝130.asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)的应用[例3](2013西·域模拟)已知函数f(x)＝3sin2x＋sinxcosx，x∈π2，π.(1)求f(x)的零点；(2)求f(x)的最大值和最小值．[自主解答](1)令f(x)＝0，得sinx·(3sinx＋cosx)＝0，因此sinx＝0或tanx＝－33.π，得x＝π；，π由sinx＝0，x∈23π5π由tanx＝－3，x∈2，π，得x＝6.综上，函数5πf(x)的零点为或π.631(2)f(x)＝2(1－cos2x)＋2sin2x3sin2x－3＋2.ππ2π5π由于x∈2，π，因此2x－3∈3，3.π2ππ因此当2x－＝，即x＝时，332f(x)的最大值为3；π3π11π当2x－＝，即x＝时，32123f(x)的最小值为－1＋2.———————————————————公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)的应用及注意事项22把形如y＝asinx＋bcosx＋k的函数化为一个角(1)利用asinx＋bcosx＝a＋bsin(x＋φ)的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等．(2)该公式是逆用两角和的正弦公式获取的．当φ为特别角即a的值为1或33时要b3熟练掌握．对φ是非特别角时，只要求会求最值即可．3．(2013·川模拟银)已知函数f(x)＝sin2x－23sin2x＋3＋1.(1)求f(x)的最小正周期及其单调递加区间；ππ(2)当x∈－，时，求f(x)的值域．662π＋1.解：f(x)＝sin2x＋3(1－2sinx)＋1＝sin2x＋3cos2x＋1＝2sin2x＋32π(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π.2πππ由正弦函数的性质知，当2kπ－2≤2x＋3≤2kπ＋2，5πππ即kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈Z)时，函数y＝sin2x＋3为单调递加函数，故函数f(x)的单5ππ调递加区间为kπ－12，kπ＋12(k∈Z)．πππ2π(2)∵x∈－，，∴2x＋∈0，，6633πsin2x＋3∈[0,1]，π∴f(x)＝2sin2x＋3＋1∈[1,3]．f(x)的值域为[1,3]．个公式——辅助角公式可利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．y＝asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tanφ＝b有a2＋b2≥|y|.a2个方向——三角恒等变换的基本方向三角函数求值、化简的基本思路是“变换”、经过合适的变换达到由此及彼的目的．变换的基本方向有两个：一是变换函数名称，可以使用引诱公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；二是变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式、对角进行代数形式的变换等．3个步骤——三角恒等变换的步骤三角恒等变换可以归纳为以下三步：创新交汇——三角恒等变换与函数性质的交汇问题1．三角恒等变换作为高考命题的重点内容之一，主要与三角函数的求值、化简以及三角函数的性质相结合命题，有时也与向量等其他知识交汇命题．2．解决此类问题时，一要重视三角变化中的诸多公式，熟悉它们之间的内在联系；二要熟悉三角变换中各方面的技巧，特别是切化弦、降幂和升幂、角的变换等技巧．2π2[典例](2012安·徽高考)设函数f(x)＝2cos2x＋4＋sinx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意x∈R，有gx＋π＝g(x)，且当x∈0，π时，g(x)＝1－f(x)．求g(x)222在区间[－π，0]上的解析式．2π2[解](1)f(x)＝2cos2x＋4＋sinx＝2cos2xcosππ－sin2xsin＋1－cos2x2442＝1－1sin2x，22故f(x)的最小正周期为π.π11(2)当x∈0，2时，g(x)＝2－f(x)＝2sin2x，故πππ①当x∈－，0时，x＋∈0，2.22π由于对任意x∈R，gx＋2＝g(x)，π1π从而g(x)＝gx＋2＝2sin2x＋211＝2sin(＋π2x)＝－2sin2x.②当x∈－π，－ππ2时，x＋π∈0，2，11sin2x.从而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝22综合①②得g(x)在[－π，0]上的解析式为1π2sin2x，x∈－π，－2，g(x)＝1π.－sin2x，x∈－，022[名师谈论]1．本题拥有以下创新点(1)命题方式：本题打破过去依照函数图象确定三角函数解析式的传统，而是将抽象函数与函数的周期性等相结合，观察函数解析式的求法．(2)观察内容的创新：本题观察了函数周期性及分类谈论思想在求抽象函数及分段函数解析式中的应用，观察了考生解析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力．2．解决本题的重点有以下几点π(1)正确鉴别函数g(x)的周期T＝2；ππ(2)依照周期合适地将区间[－π，0]分成－π，－2和－2，0两部分，并正确求出相应的解析式；(3)具备较强的逻辑推理能力和运算能力．[变式训练]1．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若n·m＝1＋cos(A＋B)，则C的值为________．解析：m·n＝3sinAcosB＋3cosAsinB＝3sin(A＋B)＝3sin(π－C)＝3sinC，又cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，故3sinC＝1－cosC，即3sinC＋cosC＝1，即2sinC＋π6＝1，即sinπ1ππ7ππ5π2πC＋6＝，由于＜C＋＜，故只有C＋＝，即C＝3.266666答案：2π32．(2013江·南十校联考)已知函数f(x)＝sinx＋cosx.cos2x－sinxcosx的值；(1)若f(x)＝2f(－x)，求1＋sin2x2(2)求函数F(x)＝f(x)·f(－x)＋f(x)的最大值和单调递加区间．解：(1)∵f(x)＝sinx＋cosx，∴f(－x)＝cosx－sinx.又∵f(x)＝2f(－x)，sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)，且cosx≠0，tanx＝1，3∴cos2x－sinxcosx＝cos2x－sinxcosx＝1－tanx＝6.22221＋sinx2sinx＋cosx2tanx＋111(2)由题知F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx，F(x)＝cos2x＋sin2x＋1，π即F(x)＝2sin2x＋4＋1.π当sin2x＋4＝1时，[F(x)]max＝2＋1.πππ3ππ由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，故所求函数F(x)的单24288调递加区间为－3ππ＋kπ，＋kπ(k∈Z).88一、选择题(本大题共6小题，每题5分，共30分)π1．(2013济·南模拟)函数y＝sinxsin2＋x的最小正周期是()πB．πA.2C．2πD．4π解析：选B12π∵y＝sinxcosx＝sin2x，∴T＝＝π.221＋cos2α1，则tan2α等于()2．(2013沈·阳四校联考)若sin2α＝255A.4B．－444C.3D．－31＋cos2α2cosα1解析：选D∵2cosα＝，＝＝sin2α2sinαcosαsinα2∴tanα＝2，∴tan2α＝2tanα442＝＝－.1－tanα1－43133．已知α∈(－π，0)，tan(3＋πα)＝aloga3(a＞0，且a≠1)，则cos2π＋α的值为()1010A.10B．－10310310C.10D．－10解析：选B∵由题意可知tan(3π＋α)＝1，3tanα＝1.33π又∵cosπ＋α＝cos－α＝sinα，22∴cos3π10＋α＝－10.2∵α∈(－π，0)，∴sinα＝－1010.π4．已知x∈2，π，cos2x＝a，则cosx＝()A.1－aB．－1－a22C.1＋aD．－1＋a22解析：选D依题意得cos2x＝1＋cos2x＝1＋a；22π1＋a又x∈2，π，因此cosx＝－2.5．若cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为()7π2sinα＋4A．－2B．－1221D.7C.22解析：选C由已知三角等式得cos2α－sin2α＝－2，整理得sinα＋cosα＝1.2222sinα－cosαπ3α3α，则sin＋cos的最小值为()6．设α∈0，2cosαsinα2732A.64B.553C.6D．1解析：选D3α3αsin4α＋cos4αsin2α＋cos2α2－2sin2αcos2α1－2sinsin＋cos＝sinαcosα＝sinαcosα＝cosαsinαsinαcosααcosα.令sinαcosα＝t，则t＝1sin2α.2π1∵α∈0，2，∴t∈0，2.令g(t)＝1－2t，g(t)在0，1上是减函数，t21∴当t＝2时，g(t)min＝2－1＝1.二、填空题(本大题共3小题，每题5分，共15分)7．若α、β是锐角，且sinα－sinβ＝－1，cosα－cosβ＝1，则tan(α－β)＝________.22解析：∵sinα－sinβ＝－12，cosα－cosβ＝12，两式平方相加得：2－2cosαcosβ－2sinαsinβ＝1，213即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.24π∵α、β是锐角，且sinα－sinβ＝－1<0，∴0<α<β<.22π∴－<α－β<0.2∴sin(α－β)＝－27.∴tan(α－β)＝sinα－β71－cosα－β＝－4＝－3.cosα－β答案：－738．设α是第二象限角，tanα＝－4ααα3，且sin<cos，则cos＝________.222解析：∵α是第二象限角，∴αααα可能在第一或第三象限．又sin<cos，∴为第三象限2222α角，∴cos<0.2∵tanα＝－4，3∴cosα＝－3α1＋cosα55，∴cos＝－2＝－25.5答案：－59．(2012江·苏高考)设α为锐角，若cosα＋π＝4，则sin2α＋π的值为________．6512解析：由于α为锐角，cosα＋π＝4，因此sinα＋π＝3，sin2α＋π＝24，cos2α＋π656562567πππππππ172＝25，因此sin2α＋12＝sin2α＋6－4＝sin2α＋6cos4－cos2α＋6sin4＝50.答案：17250三、解答题(本大题共3小题，每题12分，共36分)10．(1)化简4cos4x－2cos2x－1；π2πtan＋xsin4－x4(2)化简[2sin50＋°sin10(1°＋3tan10)]°·2sin280°.2222解：(1)原式＝1＋cos2x－2cos2x－1＝cos2x＝2cos2x＝2cos2x＝π2ππππcos2xtan4＋xcos4＋xsin4＋xcos4＋xsin2＋2x2cos2x.(2)原式＝2sin50cos10＋°3sin10°°＋°sin10·°cos10°·2·sin80＝1cos10＋°3sin10°°22·2cos102sin50＋°2sin10·°cos10°＝22[sin50·°cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]22sin(50°＋10°)＝22×23＝6.11．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；(2)当x∈0，π时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域．2解：(1)由题意可知，f′(x)＝cosx－sinx＝－2·sinx－π，4因此y＝f′(x)的最小正周期为T＝2π.22(2)F(x)＝cosx－sinx＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x＋cos2xπ＝1＋2sin2x＋4.πππ5π∵x∈0，2，∴2x＋4∈，，44sin2x＋π∈－2，1.42∴函数F(x)的值域为[0,1＋2]．π的最小正周期为π，且其图象经过点5π.12．已知函数f(x)＝3cos(ωx＋φ)－＜φ＜0，0212(1)求函数f(x)的解析式；xππ，且g(α)＝1，g(β)＝32，求g(α－β)(2)若函数g(x)＝f2＋6，α，β∈0，24的值．2π解：(1)依题意函数的最小正周期T＝ω＝π，解得ω＝2，因此f(x)＝3cos(2x＋φ)．5π由于函数f(x)的图象经过点12，0，5π因此3cos2×12＋φ＝0，获取ππ由－＜φ＜0得φ＝－.23

2×5πππ＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.1223故函数f(x)的解析式为f(x)＝3cos2x－π3.xππ(2)依题意有g(x)＝3cos2×2＋6－3＝3cosx，由g(α)＝3cosα＝1，得cosα＝1，3同理g(β)＝3cosβ＝342，得cosβ＝24.π而α，β∈0，2，因此sinα＝1－12223＝3，sinβ＝1－22＝14，44因此g(α－β)＝3cos(α－β)＝3(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝3×1×2＋22×14＝34342＋47.41．求值：(1)sin10sin°30sin°50sin°70；°(2)2cos10－°sin20°cos20°.解：(1)原式＝sin10cos°10sin°50sin°70°2cos10°＝sin20sin°50sin°70°sin20cos°20sin°50°＝4cos10°4cos10°＝sin40sin°50°sin80°1＝16cos10＝8cos10°°16.2cos30°－20°－sin20°(2)原式＝cos20°＝2cos30cos°20＋°2sin30sin°20－°sin20°cos20°2cos30cos°20°＝cos20°＝3.2．已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tan