生化-物理3iv第7章静电场new

1第七章

静电场2电荷量子化是个实验规律。§7-1

电荷的量子化电荷守恒定律一、电荷的量子化原子是电中性的,原子核中的中子不带电、质子带正电、核外电子带负电，并且所带电量的绝对值相等。自然界中有两种电荷：正电荷、负电荷。电子是自然界中存在的最小负电荷：e

=1.602

177

33×10-19

C实验证明微小粒子带电量的变化是不连续的，它只能是元电荷

e

的整数倍,

即粒子的电荷是量子化的：Q

=

n

e

;

n

=1,

2

,

3,…强子的夸克模型具有分数电荷（

3或

3

电子电荷）但实验上尚未直接证明.1

2在相对论中物质的质量会随其运动速率而变化，但是实验证明一切带电体的电量不因其运动而改变，电荷是相对论性不变量。二

电荷守恒定律在孤立系统中,电荷的代数和保持不变.（自然界的基本守恒定律之一）34F21

F120

12eˆ12r

24F12§7-2

库仑定律q2

受到

q1

的作用力F12

：r12F121

q

q221Fr1212F

q12

q2

)1081127C128/7(8540

8.称为真空电容率或真空介电常量。§7-3电场强度一、静电场在电荷周围空间存在一种特殊物质，它可以传递电荷之间的相互作用力，这种特殊物质称为电场。电荷周围存在的电场，称静电场。电荷

电场

电荷任何进入该电场的带电体，会受到电场所引起的力的作用，这种力称为静电场力。当带电体在电场中移动时，电场力对带电体作功,表明电场具有能量。5

Q0

q二

电场强度单位

N

C1

V

m1电场中某点处的电场强度等于位于该点处的单位试验电荷所受的力，其方向为正电荷受力方向.EF

qE电荷q

在电场中受力FFq0E

（试验电荷为点电荷、且足够小,故对原电场几乎无影响）6

Q：场源电荷0

q：试验电荷rer2001 Q

Fq 4π

E

三

点电荷的电场强度q0rE

QrQ

QEq0E

QE78q1q23q四

电场强度的叠加原理0qr11Fr2r32F3F由力的叠加原理得

q0

所受合力iF

Fi

i

rir30

i1π

4Fi

0i点电荷

q

对

q

的作用力i

iFFE

q0

q0故

q0

处总电场强度iE

Ei电场强度的叠加原理err

201

dq

dE

4π

电荷连续分布情况dq1

err

20

dE

E

4π

q

dEdq

r9P

电偶极矩（电矩）p

qr0五

电偶极子的电场强度

q

qpr0电偶极子的轴

r01011（1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度

q

q00r

2

r

2AxOxEEq001E

4π

(x

r

2)2

iq002)2

i1(x

rE

4π

iq

E

E

E

22020

4)(x

r2xr04

πx

r0x301 2r

q

4

πE

31 2

p4π

0

x

0

i

q

qEE00r

2

r

2AxO12x

qr0

q（2）电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度EEEr

rxyBy

eeer201

q

E

4π

r201

q

E

4π

ery2r

r

r

(

0

)2213E

E

E

q

q0rEEr

rxyByeeE20r1

q4

πE

E

000r3r/

2

1

qrr

4

πE

2E

0

140r3qr

i14

πE

1500r3

1

qr i4

πE

3/

2241r

20

(

yqr0

i

0

)

4π

y

r001y3qr

i4π

E

0y31

p4π

0

q

qr0EEE

r

rxyByee16qyxzoPRerr

201

dl

dE

4π

E

dE由对称性有E

Exi解例1

正电荷q均匀分布在半径为R的圆环上.计算在环的轴线上任一点P的电场强度.dq

dlrx2π

R(

q

)xqxzoyRdq

dlrerr

204π

dE

1

dl

)2πRPq(

xl

ldE

E

dE

cos

204π

r

rdl

x2π

R0304π

rxdl3

20qx4π

(x2

R2

)180qxE

4π

(x2

R2

)3

2xzoyq

Rrdq

dlPxEx

R（1）20q4π

xE

（点电荷电场强度）x

0,E0

0（2）192

3

220q

x4π

(x

R

)20q

π

R例2

均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度..求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度.有一半径为R0

,电荷均匀分布的薄圆盘,其电荷面密度为RdR(x2

R2

)1/

2x2

3

220xdq

xdE

4π

(x

R

)02

(x2

R2

)3

2P

dE

xy

dq

2π

RdR

xRdR

zo0R解

由例１E

20xE

dE)10x2x2

R220E

x

(

10RxyzodERPdR0R00

R2

)3/

2(x2RdR2

x0xRdRx2

(x2

R2

)3

2dE

0x

R02E

0x

R20q4π

xE

（点电荷电场强度）0

121(1

0

)21x2R2x2R2无限大均匀带电平面的电场强度)10x2x2

R220E

x

(

1217-4电场强度通量定理22—

电场线（电场的图示法）曲线上每一点切线方向为该点电场方向,通过垂直于电场方向单位面积电场线数为该点电场强度的大小.E

E

dN

/

dS规定E23S

点电荷的电场线正点电荷+负点电荷24一对等量异号点电荷的电场线+25一对等量正点电荷的电场线++26带电平行板电容器的电场线+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+27电场线特性28始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去向无穷远).电场线不相交.静电场电场线不闭合.E二

电场强度通量通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面的电场强度通量.均匀电场，E垂直平面Φ

ESeen

S均匀电场，E

与平面夹角Φe

ES

cosΦe

E

SE29S

30EΦe

dΦe

s

E

cosdS2e222

π

,

dΦ

0e11dΦ

0

π

,非均匀电场强度电通量dS

dS

endΦe

E

dSΦe

s

E

dSS

为封闭曲面EdSendS22EdS11E21ESSΦ

E

dS

eE

cosdS闭合曲面的电场强度通量dΦe

E

dSEdSS

E31三

定理niSqi10Φe

1E

dS

在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,等于该曲面内所包围的所有电荷的代数和除以

0

.（闭合曲面称为

面）32点电荷位于球面中心20q4π

rE

SSqdS20e4π

r

Φ

E

dS

0eΦ

q+dSrnSqiΦ

i10e1

E

dS

定理成立33qES1S2S穿过球面S1和S2的电场线，必定也穿过闭合曲面S。所以穿过任意闭合曲面S的电通量必然为q

/

0

，即0qS

E

dS

定理成立点电荷在任意封闭曲面内34点电荷在封闭曲面之外EdS

''dS

'q由于从q

发出的电场线，凡是穿入S

面的，必定又会从S面某处穿出，所以穿过S面的电场线净条数必定等于零，曲面S的电通量必定等于零。e

E

dS

0S定理成立35由多个点电荷产生的电场1E

E

E

2SiSΦ

Ei

dSE

dS

e

S

Ei

dS

S

Ei

dSi(内）

i（外）0e1i

(内36）ii（内）Si

q

Φ

E

dS

i（外）

S

Ei

dS

01qq2qs

iEdS定理成立niSΦ

qi10eE

dS

1

定理1）面为封闭曲面.穿出

面的电场强度通量为正，穿入为负.仅

面内的电荷对

面的电场强度通量有贡献.静电场是有源场.总结3738四定理的应用（用

定理求解的静电场必须具有一定的对称性）其步骤为对称性分析；根据对称性选择合适的

面；应用

定理计算.3940++++++O+

R例2

均匀带电球壳的电场强度S1

E

dS

0E

00QS2

E

dS

r+

+S+

+

1+204π

rE

Q

Q04π

r

2

E

r2s度.一半径为R

,

均匀带电

Q

的薄球壳.

求球壳内外任意点的电场强2

Q

4π

0

RrRoE解（1）0

r

R（2）

r

R41例3：求半径为R的均匀带电球体在球内外各点的场强分布。设球体电荷密度为

，总电量为Q

。0R31

rQ4πE

r

Rr

R0r

21

Q4πE

解：选取同心的球面为

面QERr032er

Q

R3

E4πr

S面内

0SqiE

dS

42+++oxyz例4无限长均匀带电直线的电场强度s(下底）s(上底）s(柱面）E

dS

E

dS

E

dS

无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为，求距直线为r处的电场强度.解对称性分析：轴对称hS选取闭合的柱形

面

E

dS

s(柱面）E

dSenneenE++r0h

2π

0rE

0h2π

rhE

E

dS

EdSS

s

(柱面）+++oxyzhenE++r43例5

无限大均匀带电平面的电场强度无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度为

，求距平面为r处的电场强度.E

20解对称性分析：E垂直平面S选取闭合的柱形

面

E

dS0

底面积S＇ESES02S

E

S＇4420E

E

EEE4546

00

0

0

0

0无的限电大场带叠电加平问面题q—

静电场力所做的功0q0dW

q

E

dr

rπ40r3

r

dr

r

dr

cos

rdr204π

rdW

0

dr点电荷的电场drdrrrAABrB

E7-5静电场的环路定理电势能dr2004π

rdW

Ar2W

0

rB

dr4π

0

r)0BArr

11

0

(4π

结果:W

仅与q0

的始末位置有关，与路径无关.q0qBrBdrdrrrAAE48任意电荷的电场（视为点电荷的组合）E

EiiW

q0

l

E

dli

q0

l

Ei

dl结论：静电场力做功与路径无关.49二

静电场的环路定理E0A1B0q

E

dl

q

E

dlA2

B0A1B

B

2

Aq

(

E

dl

E

dl

)

0l

E

dl

012A50B静电场是保守场静电场中的场强沿任意闭合环路的积分为零，称为静电场的环路定理。51它与“静电场力作功与路径无关”的说法完全等价。三

电势能静电场是保守场，静电力是保守力.52静电场力做功与路径无关.静电场力所做的功就等于电荷电势能增量的负值.WAB

AB

q0

E

dl

(EpB

EpA

)

Ep定义一个新的函数，叫做“电势能”，使其满足：WAB

AB

q0

E

dl

(EpB

EpA

)

Ep实际中为了确定q0在电场中一点的电势能，必须选择一个电势能为零的参考点。常选择无限远处的电势能为零。试验电荷q0在电场中某点的电势能，在数值上就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功.53EpA

A

q0

E

dl54(积分大小与q0无关)—

电势Eq0ABVA

AB

E

dl

VBq0EEpAq0pBAB

)E

dl

(EpAq0AV

A点电势EpBq0BV

B点电势

EpA

)AB

q0

E

dl

(EpBB（

V

为参考电势，值任选）7-6电势55ABAV

E

dl

VB令VB

0ABAV

E

dl电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电势零点，实际问题中常选择地球电势为零.VA

A

E

dlABUAB

VA

VB

E

dl电势差VA

E

dlAV

0点物理意义时，静电场力所作的功.把单位正试验电荷从点A移到无穷远(将单位正电荷从A移到B电场力作的功.)ABBUAB

VA

V

E

dl电势差电势差是

，与电势零点的选择无关；电势大小是相对的，与电势零点的选择有关.注意静电场力的功56原子物理中能量单位1eV

1.6021019

J单位：伏特WAB

q0VA

q0VB

q0UBAVqrdlEqˆ204

π

r二

点电荷的电势E

er

令

V

0rre

q

V

dlˆ4

π

r

2q4π

0rV

drq

0,

V

0q

0,

V

057r200qdr4

π

rq12qq3三

电势的叠加原理点电荷系iEE

AA

iAiV

E

dl

E

dl

iiAiAV

V

iqi4π

0ri电荷连续分布V

P0

dq

4π

rAr11Er2r3E23E

dEr

q

Pdq

dq

dV58求电势的方法V

P0dq

4π

r利用则若已知在积分路径上

E

的函数表达式，VA

E

dlAV

0点59Pqdl2π

R104π

rdV

qP001

qdl4π

rV

4π

r

2π

R600q4π

x2

R2+++

+++++++r例1

正电荷

q均匀分布在半径为

R的细圆环上.求圆环轴线上距环心为x处点P

的电势.dlxPqdldq

dl

2π

R +

R

oy+

+zx004π

Rx

0，V

q

qP4π

0

xx

R，V

22qPV

4π

0

x

Rq4π0

RxoV0

q

4π

(x2

R2

)1

261Rx0(

x2

R2

x)2

Pdq

(2πr

dr)x2

r2xr

odrPV

0x2

r

201

R

2π

rdr4π

x

R2xR222x

R

x

V

Q

4π

x0（点电荷电势）均匀带电薄圆盘轴线上的电势62+++++++

+Q+

R例2

均匀带电球壳的电势.真空中，有一带电为

Q

，半径为

R

的带电球壳.试求（1）球壳外两点间的电势差；（2）球壳内两点间的电势差；（3）球壳外任意点的电势；（4）球壳内任意点的电势.解r204π

r

q

r

R，E2

er

R，E1

0ABArV

（1）Vr

B

E

dr2Arr204

π63B0

AQ(

1

1

)Q

rB

dr

4π

r

rr+o

e

+A

dr

BrrArBr1ABArrB

E

dr

0V

V

（3）r

RV

0令

rB

,Q04π

rQdr

20r4π

rr

V

(r)

E2

dr外（2）r

R+

++++++Q+Ro

eA

dr

Brr++

+

rArrB64（4）r

R

R

R

E2

drV

(r)

r

E1

dr内Q04π

RQ04π

rV

(r)

外Q04π

RV

(r)

内RroVQ4

π

0

R065Q4π

r7-7电场强度与电势梯度一、等势面将电场中电势相等的点连接起来所形成的一系列曲面叫做等势面。等势面上的任一曲线叫做等势线。等势面的性质：电荷沿等势面移动，电场力不作功。dV

0dW

q0dV

0正电荷等势面66等势面处处与电场线正交。dW

q0

E

dl

q0

E

dlcos

0因为将单位正电荷从等势面上M点移到N点，电场力作功为零，而路径不为零dl

02

πMNdlE正电荷等势面67规定两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。正电荷的场负电荷的场均匀电场68两平行带电平板的电场线和等势面+

+