广东省揭阳市2022―2022学年度高三学业水平考试 省赛获奖

绝密★启用前广东省揭阳市2022—2022学年度高三学业水平考试数学文试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式,其中是锥体的底面积，为锥体的高．一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则 A． B． C． D．2．已知命题P：“”，则命题P的否定为A.B.C.D.3．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是A． B． C． D．4．已知是定义在上的奇函数，当时（为常数），则函数的大致图象为5．已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为A.B.C.D.6．已知双曲线的一个焦点为，则它的离心率为A.B.C.7．如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则的值为第7题图A.B.1C.第7题图8．某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为A.B.C.D.9．已知向量，且，若变量x,y满足约束条件，则z的最大值为第8题图.2C第8题图10．已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若，则所有这九个数的和为．A.16B.32C.36二.填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．函数的定义域为.12．近年来，随着以煤炭为主的能源第12题图消耗大幅攀升、机动车保有量急第12题图24小时平均浓度(毫克/立方米)剧增加，我国许多大城市24小时平均浓度(毫克/立方米)象频发，造成灰霾天气的“元凶”之一是空气中的（直径小于等于微米的颗粒物）.右图是某市某月（按30天计）根据对“pm2.5”24小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过毫克/立方米为达标，那么该市当月有天“pm2.5”13．在△ABC中，已知则=.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．(坐标系与参数方程选做题)直线被圆所截得的弦长为．15．(几何证明选讲选做题)如图，从圆外一点P引圆的切线PC和割线PBA，已知PC=2PB，,则的长为____．第15题图三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的最大值和最小值；(3)若，求的值．17.（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品．（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率．18.（本小题满分14分）如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积；（3）求点E到平面PDF的距离．19．（本小题满分14分）第18题图已知直线，．①②第18题图（1）若以点为圆心的圆与直线相切与点，且点在轴上，求该圆的方程；（2）若直线关于轴对称的直线与抛物线相切，求直线的方程和抛物线的方程．20．（本小题满分14分）已知数列是公比的等比数列，且，又．（1）求数列{}的通项公式；（2）若（），且求证：对有．21．（本小题满分14分）已知函数.().（1）当时，求函数的极值；（2）若对，有成立，求实数的取值范围．揭阳市2022—2022学年度高中三年级学业水平考试数学试题(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一．选择题：BCBBCADBCC解析：1．∵,，故选B.4．由该函数的图象过原点且关于原点对称可排除A、C，由在为增函数，可排除D，故选B.5．依题意知：，从而,选C.6．由，选A.7．==0，选D.8.由三视图知，该几何体为圆锥，其底面的半径为高，母线，故，故选B.9．∵∴，点的可行域如图示，当直线过点（1,1）时，z取得最大值，，选C.10．依题意得,选C.二．填空题：11.(或；12.27；13.．14.；15..解析：11．由.12．该市当月“pm2.5”含量不达标有（天）;13．14．把直线和圆的参数方程化为普通方程得，于是弦心距弦长.15.∵∴∽∴三．解题题：16．解：（1）∵------------------------------2分∴函数的最小正周期--------------------------------------3分（2）函数的最大值和最小值分别为．----------------------------------5分（3）由得∴，------------------------------------------------------6分----------------------------------------------------7分∴---------------------------------------9分∵，∴∴．------------------------------------------------------12分17．解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-----------------------------------------------------------3分∴样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为；-------4分二等品的频率为，故估计该厂生产的产品的二等品率为；---------------5分三等品的频率为，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为．-----------6分（2）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，--7分记等级系数为7的3件产品分别为、、，等级系数为8的3件产品分别为、、.则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：,,.共15种，-------------------------------10分记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”则A包含的基本事件有共3种，-------------------------11分故所求的概率.-------------------------------------------------12分18．（1）证明：依题意知图①折前,-------------------------------1分∴,-------------------------------------------------------2分∵∴平面-----------------------------------4分又∵平面∴----------------------------------------5分(2)解法1：依题意知图①中AE=CF=∴PE=PF=，在△BEF中,-----6分在中，∴-------------------8分∴．-----10分【(2)解法2：依题意知图①中AE=CF=∴PE=PF=，在△BEF中,-----------------------6分取EF的中点M，连结PM则,∴-------------7分∴---------------8分∴．------------------------------10分】(3)由（2）知,又∴平面---------------------12分∴线段的长就是点E到平面PDF的距离--------------------------------------13分∵,∴点E到平面PDF的距离为.-------------------------------------14分19．解（1）解法1．依题意得点的坐标为．-------1分∵以点为圆心的圆与直线相切与点，∴．，解得．----3分∴点的坐标为．设所求圆的半径，则,------------------------------------5分∴所求圆的方程为．--------------------------------------6分【解法2．设所求圆的方程为，--------------------------------1分依题意知点的坐标为．----------------------------------------------2分∵以点为圆心的圆与直线相切于点，∴解得-------------------------------------------5分∴所求的圆的方程为．------------------------------------6分】（2）解法1．将直线方程中的换成，可得直线的方程为．--------------------------------------------7分由得，-----------------------------------9分，--------------------------------------------------------------10分∵直线与抛物线相切∴，解得．----------------------------------------------------12分当时，直线的方程为，抛物线的方程为，-------------13分当时，直线的方程为，抛物线的方程为．----------14分【解法2．将直线方程中的换成，可得直线的方程为．-----7分设直线与抛物线相切的切点为，---------------------------8分由得，则---①-----------------------------------10分------②．---------③①②③联立得，----------------------------12分当时，直线的方程为，抛物线的方程为，-------------13分当时，直线的方程为，抛物线的方程为．----------14分】20．解：（1）解法1：∵，且解得---------------2分∴∴---------------------------------4分∴=--------------------------------------------6分【解法2：由，且得∴---------------------------------------------------2分∴----------------------------3分又-------------------------------------------------------4分∴是以3为首项，2为公差的等差数列，----------------------------------------5分∴；----------------------------------------------------6分】（2）当时，∴＝---------------8分∵当时，，----------------------------10分∴=＝-------------------------