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文档简介
《2.3.1平面向量基本定理》教案参赛号:70一、教材分析本节课是在学习了共线向量定理的前提下,进一步研究平面内任一向量的表示,为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。所以,本节在本章中起到承上启下的作用。平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系,是向量解决问题的理论基础。平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想一转化思想。二、教学目标知识与技能:了解平面向量基本定理及其意义,学会利用平面向量基本定理解决问题,掌握基向量表示平面上的任一向量.过程与方法:通过学习平面向量基本定理,让学生体验数学的转化思想,培养学生发现问题的能力.情感态度与价值观:通过学习平面向量基本定理,培养学生敢于实践的创新精神,在解决问题中培养学生的应用意识。教学重点:平面向量基本定理的探究;教学难点:如何有效实施对平面向量基本定理的探究过程.三、教学过程1、情景创设七个音符谱出千支乐曲,26个字母写就百态文章!在多样的向量中,我们能否找到它的基本音符呢?问题i给定一个非零向量a,允许做线性运算,你能写出多少个向量?问题2给定两个非零向量e,u,允许做线性运算,写出尽量多的向量?ururiruuitrn1、eilie通过线性运算会得到1e)2佥1e)+2e2的形式,本质上它
们表示的都是e的数乘。uruuuruu2、ei,不共线通过线性运算会得到(+2佥,它表示的是什么向量?irinuruuuruuuruu不妨我们作出几个向量ei+e?,2©+q,q-q,e|-2e2来看看。只要uruuuruu给定i和2的值,我们就可以作出向量g+2e2,本质上是q的数乘和e?的数乘的合成。随着i和2取值的变化,可以合成平面内无数多个向量。urur问题3那么我们能否这样认为:平面上的任何一个向量都可以由e和e2来合成呢?rurur我们在平面上任取一个向量a,看看它能否由q和e2来合成,也就是能否找ururrurur到这样的ei和e,使a1e1+2e2?irur这个问题可简述为:平面上有两个不共线的向量u和e2,平面上的任意一个向量能否用这两个向量来表示?rurur思考探究:根据探寻的目标aie+2Q,结合上面向量合成的做法,显rurur然a就应该是合成后的平行四边形的对角线,而平行四边形两边应该是ei和e2所在的直线,因此,只要作出这个平行四边形,问题就迎刃而解了。如图所示,在平面内任取点0,作OAei,OBe2,OCa.作平行四边形ONCM.则OCOMON.由向量共线定理可得,存在唯一的实数i,使OMiei;存在唯一的实数2,使ON2e2•即存在唯一的实数对i,2,使得a=iei+2e2.MBN强调:向量a的任意性、e1、e2不共线、系数i,2的存在性与唯一性。2、定理剖析讨论探究:同学们能否总结出平面向量基本定理的内容?如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2这里我们发现平面内的任意两个不共线向量e1、e,就类似于音乐中的7个音符,类似于英文中的26个字母。我们把任意两个不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。定理说明:(1)什么样的两个向量可以作为平面内所有向量的一组基底?不共线的两个向量(2)一个平面的基底是唯一的吗?不唯一,可以有无数多个(3)当平面的基底给定时,任意向量a的分解形式唯一的吗?由共线向量定理可知:!,2唯一确定3、例题分析例1已知向量e!、e2,求作向量-2.5e!+3e2.
例2如图平行四边形ABCD5条对角线相交于M且ABa,ADb,用a,b表ACm,BDn,试用基底m,表示AB和AD.4、课堂检测1、已知向量©、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e!+(2x-3y)e2=6e!+3e2,则x-y的值等于()A.3B.-3C.0D.22、如图,已知梯形ABCDAB//CD,且AB=2DC,M,N分别是DC,AB的中点.记向量AB2ADb,试用a,b表示向量
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