拉格朗日插值法分析报告

拉格朗日插值法分析报告一、拉格朗日插值法介绍1、插值概念简介已知f(x)在区间［a,b］上n+1个不同点x。/］,…x处的函数值Ji=f(i)(i=0,1,…,n)，求一个至多n次的多项式中(x)=a+axdFaxn使其在给定点处与f3)同值，既满足插值条件中n(x^)=f(x^)=约(i=0,1,...,n)中n(x)称为插值多项式，x.(i=0,1,.,n)称为插值节点，［a,b］称为插值区间。从几何上看，n次的多项式插值就是过n+1个点(x,f(x))(i=0,1,.,n)，作ii图1多项式曲线以及近似曲线2、拉格朗日插值法原理在求满足插值条件n次插值多项式p(x)之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点x(i=0,1,…,n)中任一点x(0<k<n)，作一n次多项式l(x)，ikk使它在该点上取值为1，而在其余点x.(i=0,1,k-1,k+1,...,n)上取值为零，上式表明n个点x,x,.,x,x01k-1k+1…,xn都是n次多项式lk(x)的零点，故可设l(x)=A(x-x)(x-x)…(x-x)(x-x)…(x-x)kk01k-1k+1n其中，Ak为待定系数。由条件lk(x「=1立即可得k(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)k0kk-1kk+1kn士后7/、(x—x)•••(x—x)(x—x)•••(x—x)故l(x)=0k-1k+1nk(x-x上式表明n个点x,x,.,x,x01k-1k+1…,xn都是n次多项式lk(x)的零点，故可设由上式可以写出n+1个n次插值多项式l0(x),l](x),...,l(x)。我们称它们为在n+1个节点x,x，…,x上的n次基本插值多项式或n次插值基函数。01n利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的n次插值多项式yl(x)+yl(x)+…+yl(x)0011nn1i=k根据条件lk(xi)="5，容易验证上面多项式在节点xi处的值为yi(i=0,1,…,n)，因此，它就是待求的n次插值多项式P(x)。形如yl(x)+yl(x)+…+yl(x)的插值多项式就是拉格朗日插值多项式，0011nn记为L(x)，即L(x)=yl(x)+yl(x)+…+yl(x)n1122nn(x—x),…(x—x)(x—x),…(x—x)=0k-1k+1n(x-x)•..(x-x)(x-x)•..(x-x)k0kk—1kk+1kn作为常用的特例，令n=1，由上式即得两点插值公式L(x)=y+(x-x)，这是一个线性函数，故又名线性插值。TOC\o"1-5"\h\z0气-x00若令n=1，则又可得到常用的三点插值公式T/、(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)L(x)=y12+y02+y010(x-x)(x-x)1(x-x)(x-x)2(x-x)(x-x)010210122021这是一个二次函数，故又名二次插值或抛物线插值。二、算法设计1、算法描述输入已知点的个数；分别输入已知点X的坐标；分别输入已知点Y的坐标；调用拉格朗日插值函数，求得某点对应的函数值。2、算法流程图yy3、程序源代码#include<stdio.h>#include<malloc.h>floatlagrange(float*x,float*y,floatxx,intk){inti,j;floatl,yy=0.0;for(i=0;i<=k-1;i++){l=1.0;for(j=0;j<=k-1;j++)if(j!=i)l=l*(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);yy=yy+y[i]*l;}returnyy;}intmain(){inti,n,k;floatx[50],y[50],xx,yy;printf("插值次数k:〃)；scanf("%d",&k);printf("输入差值点个数n:〃)；scanf("%d",&n);for(i=0;i<=n-1;i++){printf("x[%d]:",i);scanf("%f",&x[i]);}printf("\n");for(i=0;i<=n-1;i++){printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]);}printf(